Математика
Русский язык

Пирамида. Прямоугольная пирамида. Правильная пирамида. Объем пирамиды. Тетраэдр

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Факт 1. Про произвольную пирамиду \(PA_1A_2...A_n\)
\(\bullet\) Многоугольник \(A_1...A_n\) – основание;
треугольники \(PA_1A_2, PA_2A_3\) и т.д. – боковые грани;
точка \(P\) – вершина;
отрезки \(PA_1, PA_2, ..., A_1A_2\) и т.д. – ребра.
\(\bullet\) Если в основании пирамиды лежит треугольник, то она называется \({\color{red}{{\small{тетраэдром}}}}\).
\(\bullet\) \({\color{red}{{\small{Правильный \ тетраэдр}}}}\) — это треугольная пирамида, все грани которой – равносторонние треугольники.
\(\bullet\) Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины \(P\) к основанию.
\(\bullet\) \({\color{red}{{\small{Объем \ пирамиды}}}}\) \[{\color{red}{{\large{V=\dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h}}}}\] где \(S_{\text{осн}}\) – площадь основания, \(h\) – высота пирамиды.
\(\bullet\) Площадь боковой поверхности – сумма площадей всех боковых граней.
Площадь полной поверхности – сумма площади боковой поверхности и площади основания.



\(\bullet\) Заметим, что принято записывать название пирамиды, начиная с вершины.  

Факт 2. Про прямоугольную пирамиду
\(\bullet\) Пирамида называется прямоугольной, если одно из ее боковых ребер (\(SR\)) перпендикулярно основанию (оно же будет и высотой).
\(\bullet\) Грани, образованные этим ребром, будут представлять собой прямоугольные треугольники (\(\triangle SMR, \triangle SPR\)).


 

Факт 3. Про правильную пирамиду
\(\bullet\) Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник (все углы равны и все стороны равны) и выполнено одно из эквивалентных условий:

\(\sim\) боковые ребра равны;
\(\sim\) высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;
\(\sim\) боковые ребра наклонены к основанию под одинаковым углом.
\(\bullet\) Заметим, что у правильных многоугольников центры описанной и вписанной окружностей совпадают.



\(\bullet\) Заметим, что у правильной пирамиды все боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
Высота этих треугольников, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой.