Математика
Русский язык

Реальные варианты ЕГЭ 2017

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты «Школково». Резервная волна. 28 июня 2017. Первая и вторая часть. Вариант 1

Задание 1

Карандаш стоит \(13\) рублей \(50\) копеек. Какое наибольшее число таких карандашей можно будет купить на \(210\) рублей?

В рублях карандаш стоит \(13,5\) руб. Тогда \(210=13,5\cdot 15+7,5\), следовательно, можно купить \(15\) карандашей и еще \(7,5\) рублей останется.

 

Ответ:

15

Задание 2

На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Москве каждый день с 6 по 19 мая 2017 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за указанный период температура была выше \(7^\circ C\).

По графику видно, что температура была выше \(7^\circ C\) в дни: 7, 13, 16, 17, 18, 19. То есть 6 дней.

Ответ:

6

Задание 3

На клетчатой бумаге изображены два концентрических круга. Известно, что площадь меньшего круга равна \(5\). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Заметим, что если радиус меньшего круга равен \(x\), то радиус большего круга равен \(4x\). Следовательно, \(\pi x^2=5\). Нужно найти \(\pi (4x)^2-\pi x^2=\pi\cdot 15x^2=15\cdot 5=75\).

 

Ответ:

75

Задание 4

По понедельникам вероятность того, что в автобусе в случайный момент времени окажется менее 22 человек, равна \(0,86\). Вероятность того, что в автобусе окажется менее 9 человек, равна \(0,5\). Найдите вероятность того, что в случайный момент времени в понедельник в автобусе окажется не менее 9, но не более 21 человека.

Нужно найти разность вероятностей \(0,86\) и \(0,5\), и тогда мы найдем вероятность того, что в автобусе количество человек будет равно одному из чисел: \(9, 10, \dots, 21\). Следовательно, ответ \(0,36\).

Ответ:

0,36

Задание 5

Решите уравнение \[\log_5(5-x)=2\log_53\]

ОДЗ уравнения: \(5-x>0\). На ОДЗ: \(2\log_53=\log_59\), следовательно, \[\log_5(5-x)=\log_59\quad\Rightarrow\quad 5-x=9\quad\Rightarrow\quad x=-4\] Данное значение подходит по ОДЗ.

 

Ответ:

-4

Задание 6

Высота равнобедренной трапеции \(ABCD\), проведенная из вершины \(B\), делит основание \(AD\) на отрезки длиной \(3\) и \(7\). Найдите среднюю линию трапеции.



Проведем \(CK\perp AD\). Тогда \(\triangle ABH=\triangle DCK\) как прямоугольные по гипотенузе и катету. Следовательно, \(AH=KD=3\). Тогда \(HK=7-3=4\). Так как \(HBCK\) прямоугольник, то \(BC=HK=4\). Тогда средняя линия трапеции равна \(0,5(AD+BC)=0,5(10+4)=7\).

Ответ:

7

Задание 7

На рисунке изображены график функции \(y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\).

Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ABC\).



\(BC\) параллельна оси абсцисс, следовательно, \(\angle ACB\) равен углу, смежному с \(\angle AOK\), где \(\angle AOK\) – угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс, следовательно, \(\mathrm{tg}\angle AOK=f'(x_0)\). Так как у смежных углов тангенсы противоположны, то \(\dfrac25=\mathrm{tg}\angle ACB=-\mathrm{tg}\angle AOK=-f'(x_0)\).
Следовательно, \(f'(x_0)=-\dfrac25=-0,4\).

Ответ:

-0,4

Задание 8

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами \(2\) и \(7\), высота призмы равна \(6\). Найдите ее объем.

Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту. Следовательно, \[V=\dfrac 12\cdot 2\cdot 7\cdot 6=42\]

Ответ:

42

Задание 9

Вычислите значение выражения \[\dfrac{20^{-4,86}\cdot 5^{6,86}}{4^{-5,86}}\]

Так как \((ab)^x=a^x\cdot b^x\), то выражение преобразуется в виде: \[\dfrac{4^{-4,86}\cdot 5^{-4,86}\cdot 5^{5,86}}{4^{-5,86}}= 4^{-4,86-(-5,86)}\cdot 5^{-4,86+5,86}=4^1\cdot 5^1=20\]

Ответ:

20

Задание 10

Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела \(P\), измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры: \(P=\sigma ST^4\), где \(\sigma =5,7 \cdot 10^{-8}\) Вт/м\(^2\cdot\)К\(^4\) – постоянная, площадь \(S\) измеряется в квадратных метрах, а температура \(T\) – в кельвинах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности \(\dfrac1{25}\cdot 10^{20}\) м\(^2\), а излучаемая ею мощность \(P\) не менее \(1,425\cdot 10^{26}\) Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в кельвинах.

Из условия получаем неравенство (где \(P_0=1,425\cdot 10^{26}\) Вт): \[\sigma ST^4\geqslant P_0\quad\Rightarrow\quad T\geqslant \sqrt[4]{\dfrac{P_0}{\sigma S}}\] (так как \(T>0\))
Подставляя значения: \[T\geqslant \sqrt[4]{\dfrac{1,425\cdot 10^{26}}{5,7\cdot 10^{-8}\cdot \frac1{25}\cdot 10^{20}}}=\sqrt[4]{\dfrac{1425\cdot 25\cdot 10^{12}}{27}}= \sqrt[4]{25\cdot 25\cdot 10^{12}}=5\cdot 10^3=5000\] Таким образом, наименьшая температура равна \(5000\) кельвинов.

 

Ответ:

5000

Задание 11

Два велосипедиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна \(7\) км. Через сколько минут велосипедисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на \(5\) км/ч больше скорости другого?

Рассмотрим картинку:
Пусть \(x\) км/ч – скорость медленного, \(x+5\) км/ч – скорость быстрого. Пусть их первая встреча произошла в точке \(B\). Тогда с начала движения и до встречи медленный прошел дугу \(AB\), а быстрый – сумму дуг \(CA\) и \(AB\). Следовательно, разность путей, которые прошли быстрый и медленный, равна дуге \(CA\), то есть половине всей круговой трассы.
Пусть \(t\) – время движения обоих велосипедистов. Тогда \((x+5)t-xt=7:2\), откуда \(5t=3,5\), следовательно, \(t=0,7\) часов. В минутах это \(42\) минуты.

Ответ:

42

Задание 12

Найдите точку минимума функции \[y=(1-5x)\cos x+5\sin x+5\]

на отрезке \([0;1]\).

Найдем производную функции: \[y'=(1-5x)'\cdot \cos x+(1-5x)\cdot (\cos x)'+5(\sin x)'=-5\cos x -(1-5x)\sin x +5\cos x= (5x-1)\sin x\] Найдем нули производной: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &5x-1=0\\ &\sin x=0 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac15\\[1ex] &x=\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Отметим эти точки на оси и найдем знаки на промежутках:



Так как точку минимума нужно найти на отрезке \([0;1]\), то мы нашли знаки производной только на промежутках \(\left(0;\frac15\right)\) и \(\left(\frac15;\pi\right)\).
Отсюда следует, что \(x=\dfrac15\) – точка минимума.

Ответ:

0,2

Задание 13

а) Решите уравнение \[\log_3(x^2-24x)=4\]

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку \([\log_2(0,1); 12\sqrt5].\)

а) ОДЗ уравнения: \(x^2-24x>0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;0)\cup (24;+\infty)\).
Решим уравнение на ОДЗ. \[x^2-24x=3^4 \quad\Leftrightarrow\quad x^2-24x-81=0 \quad\Leftrightarrow\quad x_1=-3\quad {\small{\text{или}}}\quad x_2=27\] Заметим, что оба корня подходят по ОДЗ.

 

б) Так как \(\log_2(0,1)=-\log_210\) и \(3=\log_28<\log_210<\log_216=4\), то \(-4<\log_2(0,1)<-3\).
Так как \(\sqrt5>2\), то \(12\sqrt5>24\). Следовательно, корень \(x_1=-3\) принадлежит отрезку \([\log_2(0,1);12\sqrt5].\)
Проверим, принадлежит ли отрезку \([\log_2(0,1);12\sqrt5]\) корень \(x_2=27\). Для этого сравним \(12\sqrt5\) и \(27\): \[\begin{aligned} 12\sqrt5 \quad &\lor \quad 27\\ 4\sqrt5\quad &\lor \quad 9\\ 80\quad&\lor\quad 81 \end{aligned}\] Таким образом, \(12\sqrt5<27\). Следовательно, корень \(x_2=27\) не принадлежит отрезку \([\log_2(0,1);12\sqrt5]\).

Ответ:

а) \(-3; 27\)

б) \(-3\)

Задание 14

Дана треугольная пирамида \(PABC\), причем высота пирамиды, опущенная из точки \(P\), падает в точку \(C\). Известно, что \(PA\) перпендикулярно \(BC\).

а) Докажите, что треугольник \(ABC\) прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды \(PABC\), если известно, что \(PB=15\), \(AB=13\), \(\cos \angle PBA=\dfrac{48}{65}\).

а) Из условия следует, что \(PC\) – высота пирамиды. Следовательно, \(PC\perp CA\) и \(PC\perp CB\). По теореме о трех перпендикулярах так как наклонная \(PA\) перпендикулярна прямой \(BC\), то и ее проекция \(CA\) перпендикулярна прямой \(BC\). Следовательно, \(\angle ACB=90^\circ\), то есть \(\triangle ABC\) прямоугольный.

 

б) По теореме косинусов из \(\triangle PAB\): \[PA^2=15^2+13^2-2\cdot 15\cdot 13\cdot \dfrac{48}{65}=106\] Обозначим \(PC=h\), \(CA=y\), \(CB=x\). Тогда, применяя три раза теорему Пифагора, получим равенства: \[\begin{cases} x^2+h^2=15^2\\ x^2+y^2=13^2\\ y^2+h^2=106 \end{cases}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} x=12\\ y=5\\ h=9\end{cases}\] Следовательно, объем пирамиды равен \[V=\dfrac 13\cdot \dfrac12\cdot CA\cdot CB\cdot PC=90\]

Ответ:

б) 90

Задание 15

Решите неравенство \[9^{-x^2+4x-1}-36\cdot 3^{-x^2+4x-1}+243\geqslant 0\]

ОДЗ неравенства: \(x\in \mathbb{R}\).
Сделаем замену: \(3^{-x^2+4x-1}=t\). Тогда неравенство примет вид: \[t^2-36t+243\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (t-9)(t-27)\geqslant0 \quad\Leftrightarrow\quad t\in (-\infty;9]\cup[27;+\infty)\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &3^{-x^2+4x-1}\leqslant 9\\ &3^{-x^2+4x-1}\geqslant 27 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &-x^2+4x-1\leqslant 2\\ &-x^2+4x-1\geqslant 3 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2-4x+4\geqslant 1\\ &x^2-4x+4\leqslant 0\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Так как \(x^2-4x+4=(x-2)^2\), то получаем: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &(x-2)^2\geqslant 1\\ &(x-2)^2\leqslant 0\end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\in (-\infty;1]\cup[3;+\infty)\\ &x=2\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Ответ:

\((-\infty;1]\cup \{2\}\cup[3;+\infty)\)

Задание 16

В трапецию \(ABCD\) с большим основанием \(AD\) вписана окружность, которая касается боковых сторон \(AB\) и \(CD\) в точках \(N\) и \(M\) соответственно, причем \(AN:NB=8:1\), \(DM:MC=2:1\).
а) Докажите, что \(AD=4BC\).
б) Найдите \(MN\), если известно, что радиус данной окружности равен \(\sqrt6\).

а) Продлим боковые стороны трапеции до пересечения в точке \(P\).



Так как \(AN:NB=8:1\), то можно принять \(AN=8x, NB=x\). Аналогично \(CM=y, MD=2y\). Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то \(BK=x, CK=y, AL=8x, LD=2y\), где \(K, L\) – точки касания окружности с основаниями.
Аналогично \(PN=PM\) как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности.
Так как \(\triangle APD\sim \triangle BPC\) по двум углам, то \[\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{AD}{BC}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{PB+AB}{PB}=\dfrac{AD}{BC}\quad\Rightarrow\quad PB=\dfrac{AB\cdot BC}{AD-BC}=\dfrac{9x\cdot (x+y)}{8x+2y-x-y}\] По той же причине \[\dfrac{PD}{PC}=\dfrac{AD}{BC}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{PC+CD}{PC}=\dfrac{AD}{BC}\quad\Rightarrow\quad PC= \dfrac{3y\cdot (x+y)}{7x+y}\] Так как \(PN=PM\), то \[x+\dfrac{9x\cdot (x+y)}{7x+y}=y+\dfrac{3y\cdot (x+y)}{7x+y} \quad\Leftrightarrow\quad 4x^2=y^2\quad\Rightarrow\quad y=2x\] Таким образом, \(AD=12x\), \(BC=3x\), то есть \(AD=4BC\).

 

б) Из пункта а) следует, что \(PB=3x, PC=2x\). Обозначим \(\angle APD=\alpha\).



Тогда по теореме косинусов из \(\triangle NPM\): \[MN=\sqrt{(4x)^2+(4x)^2-2\cdot 4x\cdot 4x\cdot \cos\alpha}= 4x\cdot \sqrt{2-2\cos\alpha}\] Найдем \(x\) и \(\cos \alpha\). По теореме косинусов из \(\triangle APD\): \[AD^2=AP^2+DP^2-2\cdot AP\cdot DP\cdot \cos\alpha \quad\Rightarrow\quad \cos\alpha=\dfrac{64x^2}{2\cdot 12x\cdot 8x}=\dfrac13\quad\Rightarrow\quad \sin \alpha=\dfrac{2\sqrt2}3\] По формуле \(S=p\cdot r\) для \(\triangle APD\): \[\dfrac 12\cdot AP\cdot DP\cdot \sin \alpha=\dfrac{AP+PD+AD}2\cdot \sqrt6 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\sqrt3}2\] Таким образом, \[MN=4\]

Ответ:

б) \(4\)

Задание 17

На двух заводах выпускают одинаковую продукцию. Известно, что если на заводе рабочие суммарно трудятся \(t^2\) часов в день, то завод выпускает \(t\) единиц продукции. Заработная плата на первом заводе для одного рабочего составляет \(500\) рублей в час, на втором заводе – \(300\) рублей в час. Определите, какое наибольшее количество товаров могут выпустить в месяц оба завода, если на зарплату в месяц рабочим выделяется \(1\,200\,000\) рублей.

Пусть на первом заводе рабочие трудились \(t^2\) часов, тогда завод выпустил \(t\) единиц продукции; пусть на втором трудились \(p^2\) часов, тогда завод выпустил \(p\) продукции. Следовательно, необходимо найти наибольшее значение величины \(T=t+p\). Так как заработная плата в час составляет \(500\) и \(300\) рублей на первом и втором заводах соответственно, то \(1\,200\,000=100(5t^2+3p^2)\).
Выразим \(t=T-p\) и подставим в уравнение: \[1\,200\,000=100(5(T-p)^2+3p^2) \quad\Leftrightarrow\quad 8p^2-10Tp+5T^2-12000=0\] Данное уравнение должно иметь корни, следовательно, его дискриминант должен быть неотрицательным: \[D=100T^2-4\cdot 8(5T^2-12000)=4\cdot 8\cdot 12000-60T^2\geqslant 0\] Отсюда получаем, что \(T^2\leqslant 4\cdot 8\cdot 200=8^2\cdot 10^2\), следовательно, \(T\in [0;80]\) (учитывая, что \(T\geqslant 0\), так как это количество продукции). Следовательно, наибольшее возможное \(T\) – это \(T=80\).
Проверим, получаются ли при этом целые неотрицательные значения для \(t\) и \(p\) (так как это количество продукции).
При \(T=80\) дискриминант \(D=0\), следовательно, \[p=\dfrac{10\cdot 80}{2\cdot 8}=50 \quad\Rightarrow \quad t=80-50=30.\] Таким образом, проверка удалась и ответом является \(T=80\).

Ответ:

80

Задание 18

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[x\sqrt{x-a}=\sqrt{6x^2-(6x+3a)x+3a}\]

имеет единственный корень на отрезке \([0;1].\)

Уравнение равносильно: \[x\sqrt{x-a}=\sqrt{3a(1-x)}\] ОДЗ уравнения: \[\begin{cases} x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end{cases}\] На ОДЗ уравнение перепишется в виде: \[x^3-a(x^2-3x+3)=0\]

1) Пусть \(a<0\). Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\). Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \([0;1]\), этот корень должен быть равен \(1\). Проверим: \[1^3-a(1^2-3\cdot 1+3)=0 \quad\Rightarrow\quad a=1.\] Не подходит под \(a<0\). Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.

 

2) Пусть \(a=0\). Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 0\). Уравнение перепишется в виде: \[x^3=0 \quad\Rightarrow\quad x=0\] Полученный корень подходит под ОДЗ и входит в отрезок \([0;1]\). Следовательно, \(a=0\) – подходит.

 

3) Пусть \(a>0\). Тогда ОДЗ: \(x\geqslant a\) и \(x\leqslant 1\). Следовательно, если \(a>1\), то ОДЗ – пустое множество. Таким образом, \(0<a\leqslant 1\) и при этих \(a\) ОДЗ: \(a\leqslant x\leqslant 1\). Следовательно, если корень подойдет по ОДЗ, то он попадет и в отрезок \([0;1]\).
Рассмотрим функцию \(y=x^3-a(x^2-3x+3)\). Исследуем ее.
Производная равна \(y'=3x^2-2ax+3a\). Определим, какого знака может быть производная. Для этого найдем дискриминант уравнения \(3x^2-2ax+3a=0\): \(D=4a(a-9)\). Следовательно, при \(a\in (0;1]\) дискриминант \(D<0\). Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\) положительно при всех \(x\). Следовательно, при \(a\in (0;1]\) производная \(y'>0\). Следовательно, \(y\) возрастает. Таким образом, по свойству возрастающей функции уравнение \(y(x)=0\) может иметь не более одного корня.



Следовательно, для того, чтобы корень уравнения (точка пересечения графика \(y\) с осью абсцисс) находился на отрезке \([a;1]\), нужно, чтобы \[\begin{cases} y(1)\geqslant 0\\ y(a)\leqslant 0 \end{cases}\quad\Rightarrow\quad a\in [0;1]\] Учитывая, что изначально в рассматриваемом случае \(a\in (0;1]\), то ответ \(a\in (0;1]\).

 

Итоговый ответ, полученный объединением ответов во всех трех случаях: \[a\in [0;1]\]

Ответ:

\([0;1]\)

Задание 19

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа \(194\) получается число \(1109134\)).

а) Приведите пример числа, из которого получается число \(176148179\).

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число \(3107611090\)?

в) Какое наибольшее число, кратное \(11\), может получиться из трехзначного числа?

а) Так как \(1+6=7\), то первая цифра искомого числа \(1\), вторая \(6\): \(16...\)
Так как \(6+8=14\), то третья цифра – это \(8\): \(168...\)
Аналогично четвертая, последняя, цифра числа – это \(9\).
Таким образом, число \(1689\).

 

б) Предположим, что такое число существует. Начнем так же, как в пункте а), определять цифры этого числа слева направо. Очевидно, что первые две цифры – это \(3\) и \(7\), то есть число \(37...\)
Третья цифра не может быть \(1\), так как \(7+1\ne 6\) и \(7+1\ne 61\). Также она не может быть равна \(0\), \(9\) или \(0\), так как в этом случае сумма двух цифр уже должна быть равна трех-, четырех- или пятизначному числу.
Следовательно, ответ: нет.

 

в) Пусть дано трехзначное число \(\overline{abc}\). Тогда из него получится число \(N=\overline{a\,(a+b)\,b\,(b+c)\,c}\).
Заметим, что при \(a+b\geqslant 10\) и \(b+c\geqslant 10\) данное число будет семизначным, а во всех остальных случаях — шести- или пятизначным. Таким образом, так как мы ищем наибольшее возможное число, то найдем его среди семизначных чисел.
Пусть \(a+b=10+x, b+c=10+y\), где \(0\leqslant x,y\leqslant 8\).
Тогда число имеет вид: \(N=\overline{a1xb1yc}\).
По признаку делимости число делится на \(11\) тогда и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на нечетных местах, минус сумма цифр, стоящих на четных местах, кратна \(11\). То есть: \[(a+x+1+c)-(1+b+y):11\] Так как \(x=a+b-10\), \(y=b+c-10\), то получаем: \[(a+a+b-10+1+c)-(1+b+b+c-10):11\quad\Rightarrow\quad 2a-b:11\] Для того, чтобы число \(N\) было наибольшим, его первая цифра должна быть наибольшей. Следовательно, если \(a=9\), то \(b=7\) (чтобы \(2a-b:11\)). Заметим, что \(c\) может быть любым. Следовательно, возьмем максимальное \(c=9\).
Таким образом, наибольшее число получится из числа \(979\) и равно \(N=9167169\).

Ответ:

а) 1689

б) нет

в) 9167169