Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Наибольший общий делитель чисел и наименьшее общее кратное

Задание 1 #1104
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите НОД\((34,1717)\).

Добавить задание в избранное

НОД\((34,1717)=\) НОД\((2\cdot17,101\cdot17)=17\), так как НОД\((2,101)=1\).

Ответ:

\(17\)

Задание 2 #1105
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите НОД\((60,539)\).

Добавить задание в избранное

НОД\((60,539)=\) НОД\((2^2\cdot3\cdot5,7^2\cdot11)=1\), так как в разложении чисел 60 и 539 нет одинаковых простых множителей.

Ответ:

\(1\)

Задание 3 #1106
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что дробь \(\dfrac{18n+1}{45n+1}\) несократима.

Добавить задание в избранное

Пусть НОД\((18n+1,45n+1)=a\), тогда по определению наибольшего общего делителя \((18n+1)\, \vdots \, a\) и \((45n+1)\, \vdots \,a\), но тогда \(\bigl(5(18n+1)-2(45n+1)\bigr)\, \vdots \,a\).

Так как \(5(18n+1)-2(45n+1)=90n+5-90n-2=3\), то \(3\, \vdots \, a\), значит, \(a\) равно либо \(1\), либо \(3\).

Но так как \(18n+1\) не делится на \(3\), то \(a=1\), следовательно, НОД\((18n+1,45n+1)=1\).

 

Таким образом, дробь \(\dfrac{18n+1}{45n+1}\) – несократима.

Ответ:

Доказательство

Задание 4 #2244
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Коля получает пятёрку через каждые \(6\) дней, Вася получает пятёрку через каждые \(9\) дней, а Андрей получает пятёрку через каждые \(15\) дней. Те дни, когда они втроём получают по пятёрке, они называют днями икс. Через сколько дней наступит следующий день икс, если известно, что сегодня тоже день икс?

Добавить задание в избранное

Количество дней до следующего дня икс равно \(НОК(6; 9; 15) = НОК(2\cdot 3;\, 3\cdot 3;\, 3\cdot 5) = 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5 = 90\).

Ответ: 90

Задание 5 #2247
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Известно, что \(a, b\in\mathbb{N}\), при этом \(ab = 2016\). Какое наибольшее значение может принимать \(НОД(a; b)\)?

Добавить задание в избранное

Пусть \(d = НОД(a; b)\), тогда оба числа \(a\) и \(b\) делятся на \(d\), следовательно, \(ab\) делится на \(d^2\).

Разложим \(2016\) на простые множители: \(2016 = 2^5\cdot 3^2\cdot 7\). Наибольший полный квадрат, на который может делиться \(2016\), равен \(2^4\cdot 3^2 = 12^2\), то есть \(d\leqslant 12\).

Проверим, может ли быть так, что \(d = 12\). Пусть \(d = 12\), тогда для некоторых натуральных \(m\) и \(n\) справедливо \(a = 12m\), \(b = 12n\), откуда \(144mn = 2016\), следовательно, \(mn = 14\). Положим \(m = 2\), \(n = 7\), тогда \(a = 24\), \(b = 84\), \(ab = 2016\), \(НОД(a; b) = НОД(24; 84) = 12\) – подходит по условию. Таким образом, ответ: наибольшее возможное значение \(НОД(a; b)\) равно \(12\).

Ответ: 12

Задание 6 #2245
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Известно, что \(a, b\in\mathbb{N}\) взаимно просты и дробь \(\dfrac{3a + 5b}{5a + 3b}\) сократима на число \(d\in\mathbb{N}\), \(d\neq 1\). Найдите наибольшее возможное \(d\).

Добавить задание в избранное

\[d = НОД(3a + 5b; 5a + 3b)\,.\]

Число \(5(3a + 5b) - 3(5a + 3b) = 16b\) делится на \(d\). Число \(5(5a + 3b) - 3(3a + 5b) = 16a\) делится на \(d\). Так как \(a\) и \(b\) взаимно просты, то \(16\) делится на \(d\).

Проверим, может ли быть \(d = 16\). Число \(3a + 5b - (5a + 3b) = 2(b - a)\) делится на \(d\). Если \(d = 16\), то \((b - a)\) делится на \(8\).

Возьмём, например, \(b = 9\), \(a = 1\), тогда \[\dfrac{3a + 5b}{5a + 3b} = \dfrac{48}{32} = \dfrac{16\cdot 3}{16\cdot 2}\,,\] то есть \(d = 16\) – подходит.

Ответ: 16

Задание 7 #2246
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Известно, что \(n\in\mathbb{N}\). Может ли число \(n(n + 1)\) быть степенью натурального числа (полным квадратом, кубом и т.д.)?

Добавить задание в избранное

Пусть \(n(n + 1) = k^m\). Так как числа \(n\) и \(n + 1\) взаимно просты, то число \(n\) само представимо в виде \(n = a^m\), \(a\in\mathbb{N}\) (всякое число \(p\), являющееся простым делителем \(n\), входит в разложение на множители числа \(k^m\) в степени, кратной \(m\), но \(n + 1\) не делится на \(p\), следовательно, \(p\) входит в разложение на множители числа \(n\) в степени, кратной \(m\)), а число \(n + 1\) представимо в виде \(n + 1 = b^m\), \(b\in\mathbb{N}\), причём \(b > a\), но тогда \[1 = (n + 1) - n = b^m - a^m = (b - a)(b^{m - 1} + b^{m - 2}a + ... + ba^{m - 2} + a^{m - 1})\,,\] откуда \(b^{m - 1} + b^{m - 2}a + ... + ba^{m - 2} + a^{m - 1} = 1\), что невозможно при условии \(m\geqslant 2\), \(a\in\mathbb{N}\), \(b > a\), следовательно, наше предположение неверно и \(n(n + 1)\) не может быть степенью натурального числа.

Ответ:

Нет

Как показала практика прошлых лет, многие выпускники при прохождении завершающего тестирования по математике не смогли найти наименьшее общее кратное нескольких чисел. Тема очень часто встречается в ЕГЭ и считается одной из самых простых, так как для решения большинства упражнений достаточно определить наибольший общий делитель. Поэтому знать правила и уметь решать такие задания нужно обязательно. Занятия на нашем сайте помогут справиться с подобными упражнениями любого уровня сложности и сдать экзамен на «отлично».

Выбирайте образовательный портал «Школково» для успешной подготовки к итоговому тестированию по математике!

Чтобы научиться с легкостью решать задания на нахождение наименьшего общего кратного, предлагаем воспользоваться удобным онлайн-сервисом. Наш сайт является уникальной площадкой, где вы сможете эффективно подготовиться к ЕГЭ. Преподаватели «Школково» собрали и систематизировали всю необходимую информацию и представили ее в наиболее понятной форме.

Мы разработали совершенно новый подход к обучению. Предлагаем начать с ознакомления с тематикой в разделе «Теория». Здесь вы найдете правила и простые примеры, на основании которых будете решать задачи различных уровней сложности. База упражнений постоянно обновляется и дополняется, поэтому каждый день вы сможете выполнять новое задание.

Начните с самых простых примеров на нахождение наибольшего общего делителя чисел и постепенно переходите к решению сложных. Благодаря такому подходу вы сможете выявить свои самые слабые места и сделать упор на восполнении пробелов в знаниях.

Если вы быстро справились с легким упражнением, можете переходить к более сложным. Так вы в скором времени сможете решать задания профильного уровня.

Заметили, что какая-либо задача с делителями вызывает затруднения? Добавьте ее в «Избранное» и вернитесь к решению позже — самостоятельно или заручившись поддержкой преподавателя.

Не упускайте возможность получить качественные знания и подготовиться к Единому государственному экзамену. Начните повторение уже сегодня вместе со «Школково»! Уделите несколько часов в день занятиям на нахождение НОК и НОД, и уже скоро вы заметите, что с легкостью решаете самые сложные упражнения!

Обращаем ваше внимание, что обучение на нашем портале доступно выпускникам не только из Москвы, но и из других городов России. Для сохранения личных результатов рекомендуем зарегистрироваться на сайте.