Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Окружность: важные теоремы, связанные с длинами отрезков

\(\blacktriangleright\) Если радиус перпендикулярен хорде, то он делит ее пополам;


 

\(\blacktriangleright\) Если вписанный угол – прямой, то он опирается на диаметр;

 

\(\blacktriangleright\) Произведения отрезков хорд равны; \[\large{AO \cdot OC=BO\cdot OD}\]


 

\(\blacktriangleright\) Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть; \[\large{OA^2=OB\cdot OC}\]


 

\(\blacktriangleright\) Произведения двух секущих, проведенных из одной точки вне окружности, на их внешние части одинаковы;\[\large{ OA\cdot OC=OB\cdot OD}\]


 

\(\blacktriangleright\) Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны;\[\large{OA=OB}\]


 

\(\blacktriangleright\) Если хорды отсекают от окружности равные дуги (меньшие полуокружности), то такие хорды равны.

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(P\), причём \(AP = 6\), \(PB = 4\), \(PC = 3\). Найдите \(PD\).

Добавить задание в избранное

Произведение отрезков одной из пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой. Покажем это:
Соединим \(AC\) и \(BD\)



Рассмотрим треугольники \(APC\) и \(PBD\):
\(\angle APC = \angle BPD\), как вертикальные,
\(\angle ACD\) и \(\angle ABD\) – вписанные, опирающиеся на одну дугу, следовательно, \(\angle ACD = \angle ABD\).

Таким образом, треугольники \(APC\) и \(PBD\) – подобны по двум углам. Из их подобия следует, что \[\dfrac{CP}{PB} = \dfrac{AP}{PD}\] (в подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны), откуда можно получить \(CP \cdot PD = AP \cdot PB\).
В данной задаче имеем: \(3 \cdot PD = 6 \cdot 4\), откуда \(PD = 8\).

Ответ: 8

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Из точки \(A\) вне окружности проведена касательная \(AB\) и секущая \(AD\), как показано на картинке.


 

Найдите длину отрезка \(CD\), если \(AC=5\), а длина отрезка касательной равна \(10\).

Добавить задание в избранное

Т.к. квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то \[AB^2=AC\cdot AD=AC\cdot (AC+CD),\] откуда \[10^2=5\cdot (5+CD) \quad \Rightarrow \quad CD=15.\]

Ответ: 15

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Из точки \(A\) вне окружности проведена касательная \(AB\) и секущая \(AD\), как показано на картинке.


 

Найдите длину отрезка \(AC\), если \(CD=14\), а \(AB=6\sqrt2\).

Добавить задание в избранное

Т.к. квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то \[AB^2=AC\cdot AD=AC\cdot (AC+CD),\] откуда \[(6\sqrt2)^2=AC\cdot (AC+14) \quad \Rightarrow \quad AC^2+14AC-72=0 \quad \Rightarrow \quad AC=4 \text{ или } AC=-18\]

Т.к. длина отрезка – неотрицательное число, то \(AC=4\).

Ответ: 4

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 90^{\circ}\), \(AB = 10\), \(CO\) – медиана. Найдите длину \(CO\).

Добавить задание в избранное

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Покажем это:
Опишем около треугольника \(ABC\) окружность



\(\angle ACB = 90^{\circ}\) – вписанный, тогда он равен половине градусной меры дуги, на которую опирается, следовательно, градусная мера дуги \(AB\) равна \(180^{\circ}\), а значит, \(AB\) – диаметр и \(O\) – центр описанной около \(ABC\) окружности, тогда \(AO = OC\) как радиусы. \[OC = AO = 0,5 \cdot AB = 5.\]

Ответ: 5

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана окружность с центром в точке \(O\) и радиусом \(R\). Её хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(K\). Известно, что \(AK = KB\), \(CK = AB\). Найдите \(KD : CD\).

Добавить задание в избранное

Так как \(AB\) и \(CD\) – пересекающиеся в точке \(K\) хорды, то \[AK\cdot KB = CK\cdot KD\]

 

Тогда \(AK^2 = 2AK\cdot KD\), откуда \[KD = 0,5AK = 0,25 AB = 0,25 CK,\] следовательно, \(CK = 4KD\), тогда \(CD = CK + KD = 5KD\), откуда \(KD : CD = 0,2\).

Ответ: 0,2

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Луч \(PA\) касается окружности в точке \(A\), а луч \(PC\) пересекает эту окружность в точках \(B\) и \(C\). При этом \(PA = 4\), \(PC = 8\). Найдите \(PB\).

Добавить задание в избранное

Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей: \(AP^2 = PB \cdot PC\). Покажем это:
Соединим \(AB\) и \(AC\)



Рассмотрим треугольники \(APB\) и \(APC\):
\(\angle APC\) – общий,
Так как угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри него, то \(\angle PAB = 0,5\cdot \smile AB = \angle ACB\).

Таким образом, треугольники \(APC\) и \(APB\) – подобны по двум углам. Из их подобия следует, что \[\dfrac{AP}{PC} = \dfrac{PB}{AP}\] (в подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны), откуда можно получить \(AP^2 = PB \cdot PC\).
В данной задаче имеем: \(16 = PB \cdot 8\), откуда \(PB = 2\).

Ответ: 2

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Из некоторой точки \(C\) на окружности к диаметру \(AB\) проведен перпендикуляр \(CH\), причем \(H\) разделила диаметр на отрезки длиной \(28\) и \(7\), считая от точки \(A\). Найдите длину отрезка \(CH\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Т.к. угол \(ACB\) опирается на диаметр, то он прямой. Следовательно, треугольник \(ABC\) прямоугольный, и \(CH\) – высота, опущенная из вершины прямого угла. Следовательно, она делит треугольник \(ABC\) на два подобных треугольника \(ACH\) и \(BCH\). Значит:

\[\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{CH}{HB} \quad \Rightarrow \quad CH^2=AH\cdot HB \quad \Rightarrow \quad CH=\sqrt{28\cdot 7}=14.\]

Ответ: 14

Если старшеклассник готовится к сдаче ЕГЭ по математике базового уровня и при этом рассчитывает на получение конкурентных баллов, ему непременно стоит повторить все теоремы, связанные с длинами отрезков.

Как показывает практика, подобные планиметрические задания включаются в аттестационное испытание каждый год. Это означает, что справляться с задачами ЕГЭ на применение теорем, связанных с длинами отрезков, должны все выпускники, независимо от уровня их подготовки.

Полезная информация

Для того чтобы решить задачи ЕГЭ с применением теорем, связанных с длинами отрезков, рекомендуется следовать определенного алгоритму. Сначала стоит выполнить чертеж. Затем нужно нанести на него все известные параметры исходя из условия задачи. После этого стоит вспомнить относящиеся к ним понятия и теоремы. Затем отразите на чертеже все соотношения между элементами, которые следуют из них логически. Сопоставив имеющиеся параметры, вы сможете найти правильный ответ.

Как подготовиться к экзамену?

Планиметрические задачи вызывают у вас сложность? Образовательный портал «Школково» поможет восполнить пробелы в знаниях. На нашем сайте учащиеся смогут найти и повторить материал, который вызывает затруднения. Наши специалисты собрали и изложили всю теоретическую информацию в максимально доступной и понятной форме.

Все упражнения на сайте содержат подробный алгоритм решения и правильный ответ. Выполнять простые и более сложные задания школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. Любое задание в случае необходимости возможно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем вернуться к нему для обсуждения с преподавателем или репетитором.