Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Окружность: важные теоремы, связанные с длинами отрезков

\(\blacktriangleright\) Если радиус перпендикулярен хорде, то он делит ее пополам;


 

\(\blacktriangleright\) Если вписанный угол – прямой, то он опирается на диаметр;

 

\(\blacktriangleright\) Произведения отрезков хорд равны; \[\large{AO \cdot OC=BO\cdot OD}\]


 

\(\blacktriangleright\) Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть; \[\large{OA^2=OB\cdot OC}\]


 

\(\blacktriangleright\) Произведения двух секущих, проведенных из одной точки вне окружности, на их внешние части одинаковы;\[\large{ OA\cdot OC=OB\cdot OD}\]


 

\(\blacktriangleright\) Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны;\[\large{OA=OB}\]


 

\(\blacktriangleright\) Если хорды отсекают от окружности равные дуги (меньшие полуокружности), то такие хорды равны.

Задание 1 #642
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(P\), причём \(AP = 6\), \(PB = 4\), \(PC = 3\). Найдите \(PD\).

Добавить задание в избранное

Произведение отрезков одной из пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой. Покажем это:
Соединим \(AC\) и \(BD\)



Рассмотрим треугольники \(APC\) и \(PBD\):
\(\angle APC = \angle BPD\), как вертикальные,
\(\angle ACD\) и \(\angle ABD\) – вписанные, опирающиеся на одну дугу, следовательно, \(\angle ACD = \angle ABD\).

Таким образом, треугольники \(APC\) и \(PBD\) – подобны по двум углам. Из их подобия следует, что \[\dfrac{CP}{PB} = \dfrac{AP}{PD}\] (в подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны), откуда можно получить \(CP \cdot PD = AP \cdot PB\).
В данной задаче имеем: \(3 \cdot PD = 6 \cdot 4\), откуда \(PD = 8\).

Ответ: 8

Задание 2 #2170
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Из точки \(A\) вне окружности проведена касательная \(AB\) и секущая \(AD\), как показано на картинке.


 

Найдите длину отрезка \(CD\), если \(AC=5\), а длина отрезка касательной равна \(10\).

Добавить задание в избранное

Т.к. квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то \[AB^2=AC\cdot AD=AC\cdot (AC+CD),\] откуда \[10^2=5\cdot (5+CD) \quad \Rightarrow \quad CD=15.\]

Ответ: 15

Задание 3 #2171
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Из точки \(A\) вне окружности проведена касательная \(AB\) и секущая \(AD\), как показано на картинке.


 

Найдите длину отрезка \(AC\), если \(CD=14\), а \(AB=6\sqrt2\).

Добавить задание в избранное

Т.к. квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то \[AB^2=AC\cdot AD=AC\cdot (AC+CD),\] откуда \[(6\sqrt2)^2=AC\cdot (AC+14) \quad \Rightarrow \quad AC^2+14AC-72=0 \quad \Rightarrow \quad AC=4 \text{ или } AC=-18\]

Т.к. длина отрезка – неотрицательное число, то \(AC=4\).

Ответ: 4

Задание 4 #641
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 90^{\circ}\), \(AB = 10\), \(CO\) – медиана. Найдите длину \(CO\).

Добавить задание в избранное

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Покажем это:
Опишем около треугольника \(ABC\) окружность



\(\angle ACB = 90^{\circ}\) – вписанный, тогда он равен половине градусной меры дуги, на которую опирается, следовательно, градусная мера дуги \(AB\) равна \(180^{\circ}\), а значит, \(AB\) – диаметр и \(O\) – центр описанной около \(ABC\) окружности, тогда \(AO = OC\) как радиусы. \[OC = AO = 0,5 \cdot AB = 5.\]

Ответ: 5

Задание 5 #2818
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана окружность с центром в точке \(O\) и радиусом \(R\). Её хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(K\). Известно, что \(AK = KB\), \(CK = AB\). Найдите \(KD : CD\).

Добавить задание в избранное

Так как \(AB\) и \(CD\) – пересекающиеся в точке \(K\) хорды, то \[AK\cdot KB = CK\cdot KD\]

 

Тогда \(AK^2 = 2AK\cdot KD\), откуда \[KD = 0,5AK = 0,25 AB = 0,25 CK,\] следовательно, \(CK = 4KD\), тогда \(CD = CK + KD = 5KD\), откуда \(KD : CD = 0,2\).

Ответ: 0,2

Задание 6 #643
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Луч \(PA\) касается окружности в точке \(A\), а луч \(PC\) пересекает эту окружность в точках \(B\) и \(C\). При этом \(PA = 4\), \(PC = 8\). Найдите \(PB\).

Добавить задание в избранное

Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей: \(AP^2 = PB \cdot PC\). Покажем это:
Соединим \(AB\) и \(AC\)



Рассмотрим треугольники \(APB\) и \(APC\):
\(\angle APC\) – общий,
Так как угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри него, то \(\angle PAB = 0,5\cdot \smile AB = \angle ACB\).

Таким образом, треугольники \(APC\) и \(APB\) – подобны по двум углам. Из их подобия следует, что \[\dfrac{AP}{PC} = \dfrac{PB}{AP}\] (в подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны), откуда можно получить \(AP^2 = PB \cdot PC\).
В данной задаче имеем: \(16 = PB \cdot 8\), откуда \(PB = 2\).

Ответ: 2

Задание 7 #2173
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Из некоторой точки \(C\) на окружности к диаметру \(AB\) проведен перпендикуляр \(CH\), причем \(H\) разделила диаметр на отрезки длиной \(28\) и \(7\), считая от точки \(A\). Найдите длину отрезка \(CH\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Т.к. угол \(ACB\) опирается на диаметр, то он прямой. Следовательно, треугольник \(ABC\) прямоугольный, и \(CH\) – высота, опущенная из вершины прямого угла. Следовательно, она делит треугольник \(ABC\) на два подобных треугольника \(ACH\) и \(BCH\). Значит:

\[\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{CH}{HB} \quad \Rightarrow \quad CH^2=AH\cdot HB \quad \Rightarrow \quad CH=\sqrt{28\cdot 7}=14.\]

Ответ: 14

Если старшеклассник готовится к сдаче ЕГЭ по математике базового уровня и при этом рассчитывает на получение конкурентных баллов, ему непременно стоит повторить все теоремы, связанные с длинами отрезков.

Как показывает практика, подобные планиметрические задания включаются в аттестационное испытание каждый год. Это означает, что справляться с задачами ЕГЭ на применение теорем, связанных с длинами отрезков, должны все выпускники, независимо от уровня их подготовки.

Полезная информация

Для того чтобы решить задачи ЕГЭ с применением теорем, связанных с длинами отрезков, рекомендуется следовать определенного алгоритму. Сначала стоит выполнить чертеж. Затем нужно нанести на него все известные параметры исходя из условия задачи. После этого стоит вспомнить относящиеся к ним понятия и теоремы. Затем отразите на чертеже все соотношения между элементами, которые следуют из них логически. Сопоставив имеющиеся параметры, вы сможете найти правильный ответ.

Как подготовиться к экзамену?

Планиметрические задачи вызывают у вас сложность? Образовательный портал «Школково» поможет восполнить пробелы в знаниях. На нашем сайте учащиеся смогут найти и повторить материал, который вызывает затруднения. Наши специалисты собрали и изложили всю теоретическую информацию в максимально доступной и понятной форме.

Все упражнения на сайте, например, задачи на тему «Окружность в ЕГЭ», содержат подробный алгоритм решения и правильный ответ. Выполнять простые и более сложные задания школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. Любое задание в случае необходимости возможно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем вернуться к нему для обсуждения с преподавателем или репетитором.