Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Теорема синусов и теорема косинусов

\(\blacktriangleright\) Теорема синусов:


 

\(\blacktriangleright\) Теорема косинусов: \(\Large{a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \angle(b,c)}\)

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\sin{\angle B} = 0,55\), радиус описанной около \(ABC\) окружности равен 5. Найдите \(AC\).

Добавить задание в избранное




 

По теореме синусов \[\dfrac{AB}{\sin{\angle C}} = \dfrac{BC}{\sin{\angle A}} = \dfrac{CA}{\sin{\angle B}} = 2R,\] где \(R\) – радиус описанной около \(ABC\) окружности.
Тогда \[\dfrac{CA}{\sin{\angle B}} = 2R\] и, значит, \(\dfrac{CA}{0,55} = 10\), откуда \(CA = 5,5\).

Ответ: 5,5

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите хорду, на которую опирается угол \(120^\circ\), вписанный в окружность радиуса \(\sqrt3\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим \(\triangle ABC\). По теореме синусов \[\dfrac a{\sin \alpha}=2R\] где \(a\) – сторона треугольника, \(\alpha\) – противолежащий этой стороне угол, \(R\) – радиус описанной окружности. Следовательно, \[AB=2R\cdot \sin \angle C=2\cdot \sqrt3\cdot \dfrac{\sqrt3}2=3\]

Ответ: 3

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна \(1\), угол при вершине, противолежащей основанию, равен \(120^\circ\). Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

Добавить задание в избранное

По теореме косинусов \(AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos120^\circ=2AC^2(1-\cos 120^\circ)=2\cdot 1^2\cdot \left(1+\dfrac12\right)=3\). Следовательно, \(AB=\sqrt3\).
По теореме синусов \[\dfrac a{\sin \alpha}=2R\] где \(a\) – сторона треугольника, \(\alpha\) – противолежащий этой стороне угол, \(R\) – радиус описанной окружности. Следовательно, \[D=2R=\dfrac{\sqrt3}{\sin 120^\circ}=\dfrac{\sqrt3}{\frac{\sqrt3}2}=2\]

Ответ: 2

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен \(\sqrt3\). Найдите сторону этого треугольника.

Добавить задание в избранное

По теореме синусов \[\dfrac a{\sin \alpha}=2R\] где \(a\) – сторона треугольника, \(\alpha\) – противолежащий этой стороне угол, \(R\) – радиус описанной окружности. Так как в правильном треугольнике все углы равны по \(60^\circ\), то \[a=2R\cdot \sin60^\circ=2\cdot \sqrt3\cdot \dfrac{\sqrt3}2=3\]

Ответ: 3

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сторона правильного треугольника равна \(\sqrt3\). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Добавить задание в избранное

По теореме синусов \[\dfrac a{\sin \alpha}=2R\] где \(a\) – сторона треугольника, \(\alpha\) – противолежащий этой стороне угол, \(R\) – радиус описанной окружности. Так как в правильном треугольнике все углы равны по \(60^\circ\), то \[2R=\dfrac {\sqrt3}{\sin60^\circ}=\dfrac{\sqrt3}{\frac{\sqrt3}2}=2 \quad\Rightarrow\quad R=1\]

Ответ: 1

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\sin{\angle B} = 0,6\), \(AC = 3\), \(\angle C = 30^{\circ}\). Найдите \(AB\).

Добавить задание в избранное




 

По теореме синусов \[\dfrac{AB}{\sin{\angle C}} = \dfrac{BC}{\sin{\angle A}} = \dfrac{CA}{\sin{\angle B}} = 2R,\] где \(R\) – радиус описанной около \(ABC\) окружности. Тогда \[\dfrac{AB}{\sin{\angle C}} = \dfrac{CA}{\sin{\angle B}}\] и, значит, \(\dfrac{AB}{0,5} = 5\), откуда \(AB = 2,5\).

Ответ: 2,5

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\), равен \(R\). Большая сторона треугольника \(ABC\) равна \(10\), а \(\angle ABC = 150^\circ\). Найдите \(R\).

Добавить задание в избранное

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда \(AC = 10\).

 

По теореме синусов \[2R = \dfrac{AC}{\sin \angle ABC} = \dfrac{10}{0,5} = 20\,,\] откуда \(R = 10\).

Ответ: 10

Выпускники, которые готовятся сдавать ЕГЭ по математике и хотят получить достаточно высокие баллы, обязательно должны освоить принцип решения задач на применение теоремы синусов и косинусов. Многолетняя практика показывает, что подобные задания из раздела «Геометрия на плоскости» являются обязательной частью программы аттестационного испытания. Поэтому, если одним из ваших слабых мест являются задачи на теорему косинусов и синусов, рекомендуем обязательно повторить базовую теорию по данной теме.

Готовьтесь к экзамену вместе с образовательным порталом «Школково»

Занимаясь перед сдачей ЕГЭ, многие выпускники сталкиваются с проблемой поиска базовой теории, необходимой для решения практических задач на применение теоремы синусов и косинусов.

Учебник далеко не всегда оказывается под рукой в нужный момент. А найти необходимые формулы иногда бывает достаточно проблематично даже в Интернете.

Подготовка к аттестационному испытанию вместе с образовательным порталом «Школково» будет максимально качественной и эффективной. Чтобы задачи на теорему синусов и косинусов давались легко, рекомендуем освежить в памяти всю теорию по данной теме. Этот материал наши специалисты подготовили на основе богатого опыта и представили в понятной форме. Найти его вы можете в разделе «Теоретическая справка».

Знание базовых теорем и определений — это половина успеха при прохождении аттестационного испытания. Отточить навык решения примеров позволяют соответствующие упражнения. Чтобы их найти, достаточно перейти в раздел «Каталог» на образовательном сайте «Школково». Там представлен большой перечень заданий различного уровня сложности, который постоянно дополняется и обновляется.

Задачи на теоремы синусов и косинусов, подобные тем, что встречаются в ЕГЭ по математике, учащиеся могут выполнять в онлайн-режиме, находясь в Москве или любом другом российском городе.

В случае необходимости любое упражнение, например, на вычисление синуса угла треугольника, можно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем вернуться к нему, чтобы еще раз проанализировать алгоритм нахождения правильного ответа и обсудить его с преподавателем в школе или репетитором.