Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Теорема синусов и теорема косинусов

\(\blacktriangleright\) Теорема синусов:


 

\(\blacktriangleright\) Теорема косинусов: \(\Large{a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \angle(b,c)}\)

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\sin{\angle B} = 0,55\), радиус описанной около \(ABC\) окружности равен 5. Найдите \(AC\).

Добавить задание в избранное




 

По теореме синусов \[\dfrac{AB}{\sin{\angle C}} = \dfrac{BC}{\sin{\angle A}} = \dfrac{CA}{\sin{\angle B}} = 2R,\] где \(R\) – радиус описанной около \(ABC\) окружности.
Тогда \[\dfrac{CA}{\sin{\angle B}} = 2R\] и, значит, \(\dfrac{CA}{0,55} = 10\), откуда \(CA = 5,5\).

Ответ: 5,5

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\sin{\angle B} = 0,6\), \(AC = 3\), \(\angle C = 30^{\circ}\). Найдите \(AB\).

Добавить задание в избранное




 

По теореме синусов \[\dfrac{AB}{\sin{\angle C}} = \dfrac{BC}{\sin{\angle A}} = \dfrac{CA}{\sin{\angle B}} = 2R,\] где \(R\) – радиус описанной около \(ABC\) окружности. Тогда \[\dfrac{AB}{\sin{\angle C}} = \dfrac{CA}{\sin{\angle B}}\] и, значит, \(\dfrac{AB}{0,5} = 5\), откуда \(AB = 2,5\).

Ответ: 2,5

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\), равен \(R\). Большая сторона треугольника \(ABC\) равна \(10\), а \(\angle ABC = 150^\circ\). Найдите \(R\).

Добавить задание в избранное

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда \(AC = 10\).

 

По теореме синусов \[2R = \dfrac{AC}{\sin \angle ABC} = \dfrac{10}{0,5} = 20\,,\] откуда \(R = 10\).

Ответ: 10

Задание 4
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) проведена медиана \(AM\). Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(AC = 3\sqrt{2}, BC = 10, \angle MAC = 45^\circ\).

Добавить задание в избранное



Из треугольника \(ACM\) по теореме косинусов найдем \(AM\):

\[CM^2 = AC^2 + AM^2 - 2\cdot AC\cdot AM\cdot \cos{45^\circ}\Rightarrow AM = 7.\]

Т.к. \(AM\) - медиана \(\Rightarrow\) она делит треугольник \(ABC\) на два равновеликих треугольника:

\[S_{ABC} = 2\cdot S_{ACM} = 2\cdot 0,5\cdot AC\cdot AM\cdot \sin{45^\circ} = 21.\]

Ответ: 21

Задание 5
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Площадь треугольника \(ABC\) равна \(20\sqrt{3}\). Найдите \(AC\), если сторона \(AB\) равна 8, а медиана \(BM\) равна 5.

Добавить задание в избранное


 

Т.к. \(BM\) - медиана \(\Rightarrow\) она делит треугольник \(ABC\) на два равновеликих треугольника:

\[S_{ABM} = S_{BMC} = 10\sqrt{3} = 0,5\cdot AB\cdot BM\cdot \sin{\alpha}.\]

\[\sin{\alpha} = \dfrac{\sqrt{3}}2\Rightarrow \alpha = 60^\circ.\]

Воспользуемся теоремой косинусов и найдем \(AM\):

\[AM = \sqrt{AB^2 + BM^2 - 2\cdot AB\cdot BM\cdot \cos{\alpha}} = 7 \Rightarrow AC = 14.\]

Ответ: 14

Задание 6
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите площадь треугольника \(KPM\), если сторона \(KP = 5\), медиана \(PO = 3\sqrt{2}, \angle KOP = 135^\circ\)

Добавить задание в избранное


 

Из треугольника \(KPO\) найдем \(KO\) по теореме Косинусов:

\[PK^2 = KO^2 + OP^2 - 2\cdot KO\cdot OP\cdot \cos{135^\circ}\Rightarrow KO = 1.\]

Т.к. \(PO\)- медиана \(\Rightarrow\) она делит треугольник \(KPM\) на два равновеликих треугольника:

\[S_{KPM} = 2\cdot S_{KPO} = 2\cdot 0,5\cdot KO\cdot OP\cdot \sin{135^\circ} = 3.\]

Ответ: 3

Задание 7
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\ O\) – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам \(AB\) и \(AC = 5\sqrt{3}\), \(OD\) – серединный перпендикуляр к стороне \(CA\), \(\angle B = 60^{\circ}\). Найдите \(OD\).

Добавить задание в избранное



Так как \(O\) – точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике \(ABC\), то \(O\) – центр описанной около \(ABC\) окружности, \(AO = R\).

По теореме Пифагора: \[R^2 = AD^2 + OD^2.\] По теореме синусов \[2R = \dfrac{AC}{\sin\angle B} = \dfrac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 10\qquad\Rightarrow\qquad R = 5\qquad\Rightarrow\qquad 25 = \dfrac{25\cdot 3}4 + OD^2,\] следовательно, \(OD^2 = \frac{25}4\). Так как \(OD > 0\), то \(OD = \frac52=2,5\).

Ответ: 2,5

Выпускники, которые готовятся сдавать ЕГЭ по математике и хотят получить достаточно высокие баллы, обязательно должны освоить принцип решения задач на применение теоремы синусов и косинусов. Многолетняя практика показывает, что подобные задания из раздела «Геометрия на плоскости» являются обязательной частью программы аттестационного испытания. Поэтому, если одним из ваших слабых мест являются задачи на теорему косинусов и синусов, рекомендуем обязательно повторить базовую теорию по данной теме.

Готовьтесь к экзамену вместе с образовательным порталом «Школково»

Занимаясь перед сдачей ЕГЭ, многие выпускники сталкиваются с проблемой поиска базовой теории, необходимой для решения практических задач на применение теоремы синусов и косинусов.

Учебник далеко не всегда оказывается под рукой в нужный момент. А найти необходимые формулы иногда бывает достаточно проблематично даже в Интернете.

Подготовка к аттестационному испытанию вместе с образовательным порталом «Школково» будет максимально качественной и эффективной. Чтобы задачи на теорему синусов и косинусов давались легко, рекомендуем освежить в памяти всю теорию по данной теме. Этот материал наши специалисты подготовили на основе богатого опыта и представили в понятной форме. Найти его вы можете в разделе «Теоретическая справка».

Знание базовых теорем и определений — это половина успеха при прохождении аттестационного испытания. Отточить навык решения примеров позволяют соответствующие упражнения. Чтобы их найти, достаточно перейти в раздел «Каталог» на образовательном сайте «Школково». Там представлен большой перечень заданий различного уровня сложности, который постоянно дополняется и обновляется.

Задачи на теоремы синусов и косинусов, подобные тем, что встречаются в ЕГЭ по математике, учащиеся могут выполнять в онлайн-режиме, находясь в Москве или любом другом российском городе.

В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем вернуться к нему, чтобы еще раз проанализировать алгоритм нахождения правильного ответа и обсудить его с преподавателем в школе или репетитором.