Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Теорема синусов и теорема косинусов

\(\blacktriangleright\) Теорема синусов:


 

\(\blacktriangleright\) Теорема косинусов: \(\Large{a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \angle(b,c)}\)

Задание 1 #656
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\sin{\angle B} = 0,55\), радиус описанной около \(ABC\) окружности равен 5. Найдите \(AC\).

Добавить задание в избранное




 

По теореме синусов \[\dfrac{AB}{\sin{\angle C}} = \dfrac{BC}{\sin{\angle A}} = \dfrac{CA}{\sin{\angle B}} = 2R,\] где \(R\) – радиус описанной около \(ABC\) окружности.
Тогда \[\dfrac{CA}{\sin{\angle B}} = 2R\] и, значит, \(\dfrac{CA}{0,55} = 10\), откуда \(CA = 5,5\).

Ответ: 5,5

Задание 2 #3586
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите хорду, на которую опирается угол \(120^\circ\), вписанный в окружность радиуса \(\sqrt3\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим \(\triangle ABC\). По теореме синусов \[\dfrac a{\sin \alpha}=2R\] где \(a\) – сторона треугольника, \(\alpha\) – противолежащий этой стороне угол, \(R\) – радиус описанной окружности. Следовательно, \[AB=2R\cdot \sin \angle C=2\cdot \sqrt3\cdot \dfrac{\sqrt3}2=3\]

Ответ: 3

Задание 3 #3585
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна \(1\), угол при вершине, противолежащей основанию, равен \(120^\circ\). Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

Добавить задание в избранное

По теореме косинусов \(AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos120^\circ=2AC^2(1-\cos 120^\circ)=2\cdot 1^2\cdot \left(1+\dfrac12\right)=3\). Следовательно, \(AB=\sqrt3\).
По теореме синусов \[\dfrac a{\sin \alpha}=2R\] где \(a\) – сторона треугольника, \(\alpha\) – противолежащий этой стороне угол, \(R\) – радиус описанной окружности. Следовательно, \[D=2R=\dfrac{\sqrt3}{\sin 120^\circ}=\dfrac{\sqrt3}{\frac{\sqrt3}2}=2\]

Ответ: 2

Задание 4 #3584
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен \(\sqrt3\). Найдите сторону этого треугольника.

Добавить задание в избранное

По теореме синусов \[\dfrac a{\sin \alpha}=2R\] где \(a\) – сторона треугольника, \(\alpha\) – противолежащий этой стороне угол, \(R\) – радиус описанной окружности. Так как в правильном треугольнике все углы равны по \(60^\circ\), то \[a=2R\cdot \sin60^\circ=2\cdot \sqrt3\cdot \dfrac{\sqrt3}2=3\]

Ответ: 3

Задание 5 #3583
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сторона правильного треугольника равна \(\sqrt3\). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Добавить задание в избранное

По теореме синусов \[\dfrac a{\sin \alpha}=2R\] где \(a\) – сторона треугольника, \(\alpha\) – противолежащий этой стороне угол, \(R\) – радиус описанной окружности. Так как в правильном треугольнике все углы равны по \(60^\circ\), то \[2R=\dfrac {\sqrt3}{\sin60^\circ}=\dfrac{\sqrt3}{\frac{\sqrt3}2}=2 \quad\Rightarrow\quad R=1\]

Ответ: 1

Задание 6 #654
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\sin{\angle B} = 0,6\), \(AC = 3\), \(\angle C = 30^{\circ}\). Найдите \(AB\).

Добавить задание в избранное




 

По теореме синусов \[\dfrac{AB}{\sin{\angle C}} = \dfrac{BC}{\sin{\angle A}} = \dfrac{CA}{\sin{\angle B}} = 2R,\] где \(R\) – радиус описанной около \(ABC\) окружности. Тогда \[\dfrac{AB}{\sin{\angle C}} = \dfrac{CA}{\sin{\angle B}}\] и, значит, \(\dfrac{AB}{0,5} = 5\), откуда \(AB = 2,5\).

Ответ: 2,5

Задание 7 #2741
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\), равен \(R\). Большая сторона треугольника \(ABC\) равна \(10\), а \(\angle ABC = 150^\circ\). Найдите \(R\).

Добавить задание в избранное

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда \(AC = 10\).

 

По теореме синусов \[2R = \dfrac{AC}{\sin \angle ABC} = \dfrac{10}{0,5} = 20\,,\] откуда \(R = 10\).

Ответ: 10

Выпускники, которые готовятся сдавать ЕГЭ по математике и хотят получить достаточно высокие баллы, обязательно должны освоить принцип решения задач на применение теоремы синусов и косинусов. Многолетняя практика показывает, что подобные задания из раздела «Геометрия на плоскости» являются обязательной частью программы аттестационного испытания. Поэтому, если одним из ваших слабых мест являются задачи на теорему косинусов и синусов, рекомендуем обязательно повторить базовую теорию по данной теме.

Готовьтесь к экзамену вместе с образовательным порталом «Школково»

Занимаясь перед сдачей ЕГЭ, многие выпускники сталкиваются с проблемой поиска базовой теории, необходимой для решения практических задач на применение теоремы синусов и косинусов.

Учебник далеко не всегда оказывается под рукой в нужный момент. А найти необходимые формулы иногда бывает достаточно проблематично даже в Интернете.

Подготовка к аттестационному испытанию вместе с образовательным порталом «Школково» будет максимально качественной и эффективной. Чтобы задачи на теорему синусов и косинусов давались легко, рекомендуем освежить в памяти всю теорию по данной теме. Этот материал наши специалисты подготовили на основе богатого опыта и представили в понятной форме. Найти его вы можете в разделе «Теоретическая справка».

Знание базовых теорем и определений — это половина успеха при прохождении аттестационного испытания. Отточить навык решения примеров позволяют соответствующие упражнения. Чтобы их найти, достаточно перейти в раздел «Каталог» на образовательном сайте «Школково». Там представлен большой перечень заданий различного уровня сложности, который постоянно дополняется и обновляется.

Задачи на теоремы синусов и косинусов, подобные тем, что встречаются в ЕГЭ по математике, учащиеся могут выполнять в онлайн-режиме, находясь в Москве или любом другом российском городе.

В случае необходимости любое упражнение, например, на вычисление синуса угла треугольника, можно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем вернуться к нему, чтобы еще раз проанализировать алгоритм нахождения правильного ответа и обсудить его с преподавателем в школе или репетитором.