Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Теорема синусов и теорема косинусов (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Теорема синусов:


 

\(\blacktriangleright\) Теорема косинусов: \(\Large{a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \angle(b,c)}\)

Задание 15
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCD\) – вписанный четырёхугольник, причём \(\dfrac{AB}{CD} = 2 = \dfrac{AD}{BC}\), \(AC = 1\). Найдите \(BD\).

Добавить задание в избранное





Обозначим \(BC = x\), \(CD = y\), \(\angle ABC = \alpha\), \(\angle BAD = \beta\).
Выразим \(AC^2\) при помощи теоремы косинусов в треугольниках \(ABC\) и \(ACD\):
\[AC^2 = x^2 + 4y^2 - 4xy\cos\alpha,\] так как \(\cos(\pi - \phi) = -\cos\phi\), то \[AC^2 = 4x^2 + y^2 + 4xy\cos\alpha.\] Складывая два последних равенства с учётом того, что \(AC = 1\), получим: \[2 = 5(x^2 + y^2)\qquad\Rightarrow\qquad x^2 + y^2 = 0,4.\] Выразим \(BD^2\) при помощи теоремы косинусов в треугольниках \(ABD\) и \(BCD\): \[BD^2 = 4x^2 + 4y^2 - 8xy\cos\beta,\qquad\qquad BD^2 = x^2 + y^2 + 2xy\cos\beta,\] откуда \[4x^2 + 4y^2 - 8xy\cos\beta = x^2 + y^2 + 2xy\cos\beta,\] но \(x^2 + y^2 = 0,4\), тогда \(xy\cos\beta = 0,12\).
В итоге \(BD^2 = x^2 + y^2 + 2xy\cos\beta = 0,4 + 2\cdot 0,12 = 0,64\), откуда \(BD = 0,8\).

Ответ: 0,8

Задание 16
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCD\) – вписанный четырёхугольник, причём \(\dfrac{AB}{CD} = k = \dfrac{AD}{BC}\), \(AC = 5\), \(BD = 3\) Найдите \(k\), если \(AB > CD\).

Добавить задание в избранное




 

Обозначим \(BC = x\), \(CD = y\), \(\angle ABC = \alpha\), \(\angle BAD = \beta\).
Выразим \(AC^2\) при помощи теоремы косинусов в треугольниках \(ABC\) и \(ACD\):
\[AC^2 = x^2 + k^2y^2 - 2xky\cos\alpha,\] так как \(\cos(\pi - \phi) = -\cos\phi\), то \[AC^2 = k^2x^2 + y^2 + 2kxy\cos\alpha.\] Складывая два последних равенства с учётом того, что \(AC = 5\), получим: \[50 = (k^2 + 1)(x^2 + y^2)\qquad\Rightarrow\qquad x^2 + y^2 = \dfrac{50}{k^2 + 1}.\] Выразим \(BD^2\) при помощи теоремы косинусов в треугольниках \(ABD\) и \(BCD\):
\[BD^2 = k^2x^2 + k^2y^2 - 2kxky\cos\beta,\qquad\qquad BD^2 = x^2 + y^2 + 2xy\cos\beta,\] откуда \[k^2(x^2 + y^2) - 2k^2xy\cos\beta = x^2 + y^2 + 2xy\cos\beta,\] но \(x^2 + y^2 = \dfrac{50}{k^2 + 1}\), тогда \[\dfrac{(k^2 - 1)\cdot 50}{k^2 + 1} = 2(k^2 + 1)xy\cos\beta \qquad\Rightarrow\qquad xy\cos\beta = \dfrac{25(k^2 - 1)}{(k^2 + 1)^2}.\]
В итоге \[BD^2 = 9 = \dfrac{50}{k^2 + 1} + \dfrac{50(k^2 - 1)}{(k^2 + 1)^2} = \dfrac{50(k^2 + 1) + 50(k^2 - 1)}{(k^2 + 1)^2} = \dfrac{100k^2}{(k^2 + 1)^2} \qquad\Rightarrow\qquad 9(k^2 + 1)^2 = 100k^2.\]

Обозначим \(t = k^2\): \[9(t + 1)^2 = 100t\qquad\Leftrightarrow\qquad 9t^2 - 82t + 9 = 0.\] Дискриминант \(D = 6724 - 324 = 6400 = 80^2\). \[t_1 = \dfrac{82 + 80}{18} = 9, \ t_2 = \dfrac{82 - 80}{18} = \dfrac{1}{9}.\] Так как \(AB > CD\), то \(k > 1\), тогда \(t = k^2 > 1\), откуда \(t = 9\), следовательно, \(k = 3\) (\(k > 1\)).

Ответ: 3

Задание 17
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В остроугольном треугольнике \(PQR\), сторона \(PR\) которого равна 12, на стороны \(QR\) и \(PQ\) опущены высоты \(PM\) и \(RN\). Вычислить площадь четырехугольника \(PNMR\), если известно, что площадь треугольника \(NQM\) равна 2, а радиус окружности, описанной около треугольника \(PQR\), равен \(\dfrac{9\sqrt{2}}2\).

Добавить задание в избранное


 

По теореме синусов:  

\[\dfrac{PR}{\sin{\angle Q}} = 2R\Rightarrow \dfrac{12}{\sin{\angle Q}} = 2\cdot \dfrac{9\sqrt{2}}2 \Rightarrow \sin{\angle Q} = \dfrac{2\sqrt{2}}3.\]  

\[\cos{\angle Q} = \sqrt{1 - (\sin{\angle Q})^2} = \dfrac{1}3.\]  

\(\angle QNM = \angle QRP \Rightarrow\) треугольник \(PQR\) подобен треугольнику \(QMN\) по двум углам, тогда:  

\[\dfrac{S_{QMN}}{S_{QPR}} = \left(\dfrac{QM}{QP}\right)^2 = (\cos{Q})^2 = \dfrac{1}9\Rightarrow S_{QPR} = 2\cdot 9 = 18.\]

\[S_{PNMR}= 18 - 2= 16.\]  

Ответ: 16