Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Теорема синусов и теорема косинусов (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Теорема синусов:


 

\(\blacktriangleright\) Теорема косинусов: \(\Large{a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \angle(b,c)}\)

Задание 15 #659
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\ O\) – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам \(AC\) и \(BC = 5\pi < AB\), \(OD = 2,5\pi\) – серединный перпендикуляр к стороне \(CB\). Найдите \(\angle A\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное




 

Так как \(O\) – точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике \(ABC\), то \(O\) – центр описанной около \(ABC\) окружности, \(OC = R\).

По теореме Пифагора \[R^2 = CD^2 + OD^2 = 2\cdot 2,5^2\cdot\pi^2\qquad\Rightarrow\qquad R = 2,5\sqrt{2}\pi\] По теореме синусов \[\dfrac{BC}{\sin\angle A} = 2R \qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{5\pi}{\sin\angle A} = 5\sqrt{2}\pi \qquad\Rightarrow\qquad \sin\angle A = \dfrac{1}{\sqrt{2}},\] следовательно, \(\angle A = 45^{\circ}\) или \(\angle A = 135^{\circ}\), но \(AB > BC\), а в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда \(\angle A = 45^{\circ}\).

Ответ: 45

Задание 16 #660
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\ O\) – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам \(AC\) и \(BC\), \(OD\) – серединный перпендикуляр к стороне \(CA\), \(\dfrac{AC}{OD} = 2\sqrt{3}\). Найдите \(\sqrt{3}\cdot\sin\angle B\).

Добавить задание в избранное




 

Так как \(O\) – точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике \(ABC\), то \(O\) – центр описанной около \(ABC\) окружности, \(OC = R\).

Обозначим \(OD = h\), тогда \(AC = 2h\sqrt{3}\).
По теореме Пифагора \[R^2 = CD^2 + OD^2 = 4h^2\qquad\Rightarrow\qquad R = 2h.\] По теореме синусов \[\dfrac{AC}{\sin\angle B} = 2R\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{2h\sqrt{3}}{\sin\angle B} = 4\cdot h,\] откуда \(\sin\angle B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), следовательно, \(\sqrt{3}\cdot\sin\angle B = 1,5\).

Ответ: 1,5

Задание 17 #662
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(BD\) – медиана, \(\angle ABC\) – острый, \(BC = 3\), \(\sin{\angle A} = \dfrac{3\sqrt{3}}{8}\), \(AC = 4\), \(BD = \dfrac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\). Найдите \(\angle DBC\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное




 

По теореме синусов в треугольнике \(ABC\) \[\dfrac{AB}{\sin{\angle C}} = \dfrac{BC}{\sin{\angle A}} = \dfrac{CA}{\sin{\angle B}} = 2R,\] где \(R\) – радиус описанной около \(ABC\) окружности.
Тогда \[\dfrac{CA}{\sin{\angle ABC}} = \dfrac{BC}{\sin{\angle A}}\] и, значит, \[\dfrac{4}{\sin{\angle ABC}} = \dfrac{8}{\sqrt{3}} \qquad\Rightarrow\qquad \sin{\angle ABC} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.\] \(\sin{\angle ABC} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\angle ABC\) – острый, тогда \(\angle ABC = 60^{\circ}\).

По теореме синусов в треугольнике \(ABD\) \[\dfrac{AD}{\sin{\angle ABD}} = \dfrac{BD}{\sin{\angle BAD}},\] тогда \[\dfrac{2}{\sin{\angle ABD}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} \qquad\Rightarrow\qquad\sin{\angle ABD} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.\] \(\angle ABD\) – острый и \(\sin{\angle ABD} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), тогда \(\angle ABD = 45^{\circ}\).
\(\angle DBC = \angle ABC - \angle ABD = 15^{\circ}\).

Ответ: 15

Задание 18 #663
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(AB\) – диаметр окружности с центром \(O\), который пересекает хорду \(CD\) в точке \(E\), лежащей на \(BO\). Градусная мера дуги \(AC\) равна \(60^{\circ}\), \(OE = 0,6\cdot OA\). Найдите \(7\cdot \cos{\angle CEA}\).

Добавить задание в избранное

Построим радиус \(CO\) и отрезок \(CA\), тогда \(\angle COA = 60^{\circ}\) и, следовательно, треугольник \(COA\) – равносторонний, \(\angle CAE = 60^{\circ}\), \(AC = AO\).


 

\(AE = 1,6\cdot AO\).

Запишем теорему косинусов для треугольника \(ACE\): \[CE^2 = AE^2 + AC^2 - 2\cdot AE\cdot AC\cdot \cos{\angle CAE},\] тогда \[CE^2 = 2,56\cdot AO^2 + AO^2 - 2\cdot 1,6\cdot AO\cdot AO\cdot 0,5 = 1,96\cdot AO^2,\] тогда \(CE = 1,4\cdot AO\).

По теореме синусов \[\dfrac{AC}{\sin{\angle AEC}} = \dfrac{CE}{\sin{\angle CAE}},\] тогда \[\dfrac{AO}{\sin{\angle AEC}} = \dfrac{1,4\cdot AO}{0,5\sqrt{3}}\qquad\Rightarrow\qquad \sin{\angle AEC} = \dfrac{\sqrt{3}}{2,8}.\]

Из основного тригонометрического тождества находим: \(\cos{\angle AEC} = \pm \dfrac{11}{14}\). Так как точка \(E\) лежит на \(BO\), то \(\angle AEC\) – острый, значит \[\cos{\angle AEC} = \dfrac{11}{14}\qquad\Rightarrow\qquad 7\cdot \cos{\angle AEC} = 5,5.\]

Ответ: 5,5

Задание 19 #664
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCD\) – вписанный четырёхугольник, причём \(\dfrac{AB}{CD} = 2 = \dfrac{AD}{BC}\), \(AC = 1\). Найдите \(BD\).

Добавить задание в избранное





Обозначим \(BC = x\), \(CD = y\), \(\angle ABC = \alpha\), \(\angle BAD = \beta\).
Выразим \(AC^2\) при помощи теоремы косинусов в треугольниках \(ABC\) и \(ACD\):
\[AC^2 = x^2 + 4y^2 - 4xy\cos\alpha,\] так как \(\cos(\pi - \phi) = -\cos\phi\), то \[AC^2 = 4x^2 + y^2 + 4xy\cos\alpha.\] Складывая два последних равенства с учётом того, что \(AC = 1\), получим: \[2 = 5(x^2 + y^2)\qquad\Rightarrow\qquad x^2 + y^2 = 0,4.\] Выразим \(BD^2\) при помощи теоремы косинусов в треугольниках \(ABD\) и \(BCD\): \[BD^2 = 4x^2 + 4y^2 - 8xy\cos\beta,\qquad\qquad BD^2 = x^2 + y^2 + 2xy\cos\beta,\] откуда \[4x^2 + 4y^2 - 8xy\cos\beta = x^2 + y^2 + 2xy\cos\beta,\] но \(x^2 + y^2 = 0,4\), тогда \(xy\cos\beta = 0,12\).
В итоге \(BD^2 = x^2 + y^2 + 2xy\cos\beta = 0,4 + 2\cdot 0,12 = 0,64\), откуда \(BD = 0,8\).

Ответ: 0,8

Задание 20 #665
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCD\) – вписанный четырёхугольник, причём \(\dfrac{AB}{CD} = k = \dfrac{AD}{BC}\), \(AC = 5\), \(BD = 3\) Найдите \(k\), если \(AB > CD\).

Добавить задание в избранное




 

Обозначим \(BC = x\), \(CD = y\), \(\angle ABC = \alpha\), \(\angle BAD = \beta\).
Выразим \(AC^2\) при помощи теоремы косинусов в треугольниках \(ABC\) и \(ACD\):
\[AC^2 = x^2 + k^2y^2 - 2xky\cos\alpha,\] так как \(\cos(\pi - \phi) = -\cos\phi\), то \[AC^2 = k^2x^2 + y^2 + 2kxy\cos\alpha.\] Складывая два последних равенства с учётом того, что \(AC = 5\), получим: \[50 = (k^2 + 1)(x^2 + y^2)\qquad\Rightarrow\qquad x^2 + y^2 = \dfrac{50}{k^2 + 1}.\] Выразим \(BD^2\) при помощи теоремы косинусов в треугольниках \(ABD\) и \(BCD\):
\[BD^2 = k^2x^2 + k^2y^2 - 2kxky\cos\beta,\qquad\qquad BD^2 = x^2 + y^2 + 2xy\cos\beta,\] откуда \[k^2(x^2 + y^2) - 2k^2xy\cos\beta = x^2 + y^2 + 2xy\cos\beta,\] но \(x^2 + y^2 = \dfrac{50}{k^2 + 1}\), тогда \[\dfrac{(k^2 - 1)\cdot 50}{k^2 + 1} = 2(k^2 + 1)xy\cos\beta \qquad\Rightarrow\qquad xy\cos\beta = \dfrac{25(k^2 - 1)}{(k^2 + 1)^2}.\]
В итоге \[BD^2 = 9 = \dfrac{50}{k^2 + 1} + \dfrac{50(k^2 - 1)}{(k^2 + 1)^2} = \dfrac{50(k^2 + 1) + 50(k^2 - 1)}{(k^2 + 1)^2} = \dfrac{100k^2}{(k^2 + 1)^2} \qquad\Rightarrow\qquad 9(k^2 + 1)^2 = 100k^2.\]

Обозначим \(t = k^2\): \[9(t + 1)^2 = 100t\qquad\Leftrightarrow\qquad 9t^2 - 82t + 9 = 0.\] Дискриминант \(D = 6724 - 324 = 6400 = 80^2\). \[t_1 = \dfrac{82 + 80}{18} = 9, \ t_2 = \dfrac{82 - 80}{18} = \dfrac{1}{9}.\] Так как \(AB > CD\), то \(k > 1\), тогда \(t = k^2 > 1\), откуда \(t = 9\), следовательно, \(k = 3\) (\(k > 1\)).

Ответ: 3

Задание 21 #2583
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В остроугольном треугольнике \(PQR\), сторона \(PR\) которого равна 12, на стороны \(QR\) и \(PQ\) опущены высоты \(PM\) и \(RN\). Вычислить площадь четырехугольника \(PNMR\), если известно, что площадь треугольника \(NQM\) равна 2, а радиус окружности, описанной около треугольника \(PQR\), равен \(\dfrac{9\sqrt{2}}2\).

Добавить задание в избранное


 

По теореме синусов:  

\[\dfrac{PR}{\sin{\angle Q}} = 2R\Rightarrow \dfrac{12}{\sin{\angle Q}} = 2\cdot \dfrac{9\sqrt{2}}2 \Rightarrow \sin{\angle Q} = \dfrac{2\sqrt{2}}3.\]  

\[\cos{\angle Q} = \sqrt{1 - (\sin{\angle Q})^2} = \dfrac{1}3.\]  

\(\angle QNM = \angle QRP \Rightarrow\) треугольник \(PQR\) подобен треугольнику \(QMN\) по двум углам, тогда:  

\[\dfrac{S_{QMN}}{S_{QPR}} = \left(\dfrac{QM}{QP}\right)^2 = (\cos{Q})^2 = \dfrac{1}9\Rightarrow S_{QPR} = 2\cdot 9 = 18.\]

\[S_{PNMR}= 18 - 2= 16.\]  

Ответ: 16