Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Нахождение высоты, биссектрисы и медианы треугольника

\(\blacktriangleright\) Высота треугольника может упасть как на сторону, так и на ее продолжение. Второй случай возможен только если треугольник тупоугольный и высота проведена из вершины острого угла.


 

\(\blacktriangleright\) Все медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Все высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Все биссектрисы пересекаются в одной точке.

 

\(\blacktriangleright\) В равнобедренном треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные к основанию, совпадают (отрезок \(BO\,\)).
Обратно: если в треугольнике совпадают биссектриса и медиана (биссектриса и высота, высота и медиана), проведенные к одной стороне, то этот треугольник равнобедренный.


 

\(\blacktriangleright\) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Обратно: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.


 

\(\blacktriangleright\) Медианы треугольника своей точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины.


 

\(\blacktriangleright\) Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Обратно: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.


 

\(\blacktriangleright\) Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.
Обратно: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.


 

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(AB = BC\), \(BM\) – биссектриса, \(AC = 5\). Найдите \(AM\).



Добавить задание в избранное

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой, тогда \(BM\) – медиана и \(AM = MC\). Таким образом, \(5 = AC = AM + MC = 2\cdot AM\), откуда находим \(AM = 2,5\).

Ответ: 2,5

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(BM\) – высота, причем \(AM = MC\), \(\angle ABM = 28^{\circ}\). Найдите \(\angle ABC\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

в треугольниках \(ABM\) и \(BMC\):

\(AM = MC\),

\(\angle AMB = \angle BMC\),

\(MB\) – общая,

тогда треугольники \(ABM\) и \(BMC\) равны по двум сторонам и углу между ними и, значит, \(AB = BC\), то есть треугольник \(ABC\) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой, значит \(\angle MBC = \angle ABM = 28^{\circ}\), тогда \(\angle ABC = 2\cdot \angle ABM = 56^{\circ}\).

Ответ: 56

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 90^{\circ}\), \(CE\) – медиана, \(\angle ACE = 50^{\circ}\). Найдите \(\angle B\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

\(\angle ECB = \angle ACB - \angle ACE = 40^{\circ}\). В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда \(CE = BE\), значит треугольник \(CEB\) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle B = \angle ECB = 40^{\circ}\).

Ответ: 40

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\angle B = 90^{\circ}\), \(BE\) – медиана, \(\angle CBE = 25^{\circ}\). Найдите \(\angle AEB\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда \(CE = BE\), значит треугольник \(CEB\) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle C = \angle CBE = 25^{\circ}\).

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним, то \(\angle AEB = \angle C + \angle CBE = 50^{\circ}\).

Ответ: 50

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\angle B = 90^{\circ}\), \(BE\) – медиана, \(\angle CBE = 22^{\circ}\). Найдите \(\angle BAC\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда \(AE = BE\), значит треугольник \(AEB\) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle A = \angle ABE\).

Так как \(\angle B = 90^{\circ}\), \(\angle CBE = 22^{\circ}\), то \(\angle ABE = 90^{\circ} - 22^{\circ} = 68^{\circ}\), откуда \(\angle BAC = 68^{\circ}\).

Ответ: 68

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(AD\) и \(BE\) – высоты, пересекающиеся в точке \(F\), \(\angle EFD = 104^{\circ}\). Найдите \(\angle C\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

\(\angle AFE = 180^{\circ} - \angle EFD = 76^{\circ}\), тогда \(\angle FAE = 90^{\circ} - \angle AFE = 14^{\circ}\) (так как \(\angle FEA = 90^{\circ}\)). Треугольник \(ADC\) – прямоугольный. \(\angle C = 90^{\circ} - \angle FAE = 76^{\circ}\).

Ответ: 76

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(CE\) и \(BF\) – высоты, пересекающиеся в точке \(T\), \(\angle CTB = 152^{\circ}\). Найдите \(\angle A\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

\(\angle FTC = 180^{\circ} - \angle CTB = 28^{\circ}\), тогда \(\angle TCF = 90^{\circ} - \angle FTC = 62^{\circ}\) (так как \(\angle TFC = 90^{\circ}\)). Треугольник \(AEC\) – прямоугольный. \(\angle A = 90^{\circ} - \angle TCF = 28^{\circ}\).

Ответ: 28

Если выпускник планирует сдавать ЕГЭ по математике базового уровня и при этом стремится получить конкурентные баллы, ему непременно следует научиться решать задачи, в которых требуется найти высоту треугольника. Подобные планиметрические задания из года в год встречаются в аттестационном испытании. Это означает, что справляться с задачами ЕГЭ, в которых искомой величиной является высота треугольника, должны школьники с любым уровнем подготовки.

Полезная информация

Задачи ЕГЭ, требующие найти угол между высотой и медианой или другую величину треугольника, зачастую можно решить, вспомнив основные понятия из базового школьного курса. При этом рекомендуется следовать определенному алгоритму. Вначале сделайте чертеж. Затем нанесите на него все известные данные согласно условию. После этого стоит определить все геометрические понятия (биссектриса, медиана треугольника и т. д.), которые известны и которые необходимо найти в задании ЕГЭ. Выполнив это, вспомните относящиеся к ним теоремы и отразите на чертеже все соотношения между элементами, которые из них следуют логически. Приведем пример. Если в задаче ЕГЭ встречается понятие «биссектриса угла треугольника», стоит вспомнить его определение и основные свойства, после чего найти и отразить на сделанном чертеже равные или пропорциональные отрезки и углы.

Как подготовиться к экзамену?

Задания в ЕГЭ на нахождение угла между биссектрисами треугольника вызывают у вас затруднения? Образовательный портал «Школково» поможет вам в решении этой проблемы. С нами вы сможете повторить материал по темам, которые являются для вас сложными. Наши специалисты собрали и изложили всю теоретическую информацию в максимально доступной и понятной форме.

Для каждого задания на портале вы найдете правильный ответ и описание алгоритма решения. Практиковаться можно как с простыми упражнениями, так и с более сложными. Тренироваться в решении задач на нахождение угла между биссектрисой и медианой треугольника, которые встречаются в ЕГЭ, выпускники могут в режиме онлайн, находясь в любом регионе России. Справившись в заданием, учащиеся имеют возможность сохранить его в разделе «Избранное», а затем при необходимости обсудить его с преподавателем в школе или репетитором.