Математика
Русский язык

Реальные варианты ЕГЭ 2015

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты «Школково». Основная волна. Реальные варианты ЕГЭ 2015

Задание 1

Миша живёт в доме, в котором всего один подъезд. При этом на каждом этаже по \(5\) квартир. Миша живет в квартире номер \(29\). На каком этаже живёт Миша?

Количество полных этажей, которые расположены ниже Мишиного, есть округлённый в меньшую сторону результат деления \(29\) на \(5\), следовательно, \(5\) этажей ниже, чем Мишин, тогда Миша живёт на \(6\) этаже.

Ответ: 6

Задание 2

На диаграмме показана температура воздуха в Москве за первые \(12\) дней марта 2010 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько из указанных дней температура не превышала \(3\) градуса Цельсия.

Температура не превышала \(3\) градуса Цельсия \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) и \(11\) марта, то есть \(5\) дней.

Ответ: 5

Задание 3

Для транспортировки \(38\ тонн\) груза на \(1000\ км\) можно комбинировать услуги трёх фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъёмность автомобилей каждого перевозчика указаны в таблице.



Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант перевозки?

Наиболее дешёвый способ: снарядить 3 машины перевозчика “Мощный” на \(1000\ км\) (то есть по 10 раз) и ещё 2 машины перевозчика “Дешёвый” на \(1000\ км\), что обойдётся в \(3\cdot 4500\cdot 10 + 2\cdot 2000\cdot 10 = 175\,000\ руб\).

Ответ:

175000

Задание 4

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times 1\) изображён треугольник. Найдите его площадь.

Данный треугольник можно разрезать на два прямоугольных треугольника, как показано на рисунке. Площади полученных при этом треугольников будут равны \(0,5\cdot 4\cdot 6 = 12\) и \(0,5\cdot 6\cdot 6 = 18\), следовательно, площадь исходного треугольника равна \(12 + 18 = 30\).

Ответ: 30

Задание 5

На чемпионате по стрельбе из лука выступают \(40\) спортсменов, среди них по \(8\) стрелков из Дании и Туниса. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что пятым будет выступать стрелок из Дании.

Искомая вероятность есть отношение количества спортсменов из Дании к общему количеству спортсменов и равна \[\dfrac{8}{40} = 0,2\,.\]

Ответ: 0,2

Задание 6

Найдите корень уравнения \[(3x + 4)^2 = (8 + 3x)^2\]

Сделаем преобразования:

\[(3x + 4)^2 = (8 + 3x)^2\quad\Leftrightarrow\quad 9x^2 + 24x + 16 = 9x^2 + 48x + 64\quad\Leftrightarrow\quad x = -2\,.\]

Ответ: -2

Задание 7

Угол \(NMK\) равен \(35^\circ\), градусная мера дуги \(NK\), не содержащей точку \(P\), равна \(88^\circ\). Найдите угол \(MNP\). Ответ дайте в градусах.

Так как вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается, то \(\angle NPK = 88^\circ : 2 = 44^\circ\).

\(\angle NPK\) – внешний угол треугольника \(NMP\), тогда \(\angle NPK = \angle NMK + \angle MNP\), откуда \[\angle MNP = 44^\circ - 35^\circ = 9^\circ\,.\]

Ответ: 9

Задание 8

На рисунке изображён график \(y = f'(x)\) – производной функции \(f(x)\), определённой на интервале \((-3; 19)\). Найдите количество точек максимума функции \(f(x)\), принадлежащих отрезку \([-1; 18]\).

В точке максимума производная равна \(0\), причём в некоторой окрестности точки максимума слева от неё производная должна быть положительна, а справа от неё – отрицательна. Таким образом, функция \(f(x)\) имеет единственную точку максимума на указанном отрезке (\(x = 15\)).

Ответ: 1

Задание 9

В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно \(13\), а сторона основания равна \(5\). Найдите высоту пирамиды.

В правильной пирамиде проекция \(O\) вершины \(M\) на плоскость основания есть центр описанной около основания окружности.

 

В правильном шестиугольнике расстояние от центра до вершины равно стороне, следовательно, \(AO = 5\). Заметим, что \(\triangle MOA\) — прямоугольный, т.к. \(MO\) перпендикулярно плоскости основания. По теореме Пифагора \[MO^2 = MA^2 - AO^2\qquad\Rightarrow\qquad MO = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12\,.\]

Ответ: 12

Задание 10

Найдите значение выражения \[\sqrt{8}\sin^2\dfrac{3\pi}{8} - \sqrt{2}\]

Используя формулу косинуса двойного угла \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\), получаем \(\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}\), тогда \[\sqrt{8}\sin^2\dfrac{3\pi}{8} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\cdot \dfrac{1 - \cos \dfrac{3\pi}{4}}{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\cdot \dfrac{1 + \dfrac{\sqrt2}{2}}{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} = 1\,.\]

Ответ: 1

Задание 11

Известно, что при некотором физическом процессе, в котором участвует газ, выполнено соотношение \(p_1V_1^{1,5} = p_2V_2^{1,5}\), где \(p_1\), \(p_2\) – давление газа в паскалях в начальный и конечный моменты времени, а \(V_1\), \(V_2\) – объём газа в литрах в начальный и конечный моменты времени. В начальный момент времени объём газа равен \(3\ л\), а его давление равно \(16\ атмосферам\). Каким должен стать конечный объём газа, чтобы его конечное давление стало \(2\ атмосферы\)? Ответ дайте в литрах.

Подставляя имеющиеся данные, получим \[16\cdot 3^{1,5} = 2\cdot V_2^{1,5}\qquad\Rightarrow\qquad 2^3\cdot 3^{1,5} = V_2^{1,5}\qquad\Rightarrow\qquad V_2 = 12\,.\]

Ответ: 12

Задание 12

В сосуд налили \(1500\ куб.\ см\) воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в \(1,4\) раза. Найдите объем детали. Ответ выразите в куб. см.

Объём жидкости с погружённой деталью стал \(1500\cdot 1,4 = 2100\ куб.см\), следовательно, объём детали равен \(2100 - 1500 = 600\ куб.см\).

Ответ: 600

Задание 13

Расстояние между городами \(M\) и \(N\) равно \(490\ км\). Из города \(M\) в город \(N\) выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города \(N\) выехал второй автомобиль со скоростью \(80\ км/ч\). Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии \(330\ км\) от города \(M\). Ответ дайте в км/ч.

Расстояние, которое до места встречи проехал второй автомобиль, равно \(490 - 330 = 160\ км\), следовательно, он ехал в течение \(160 : 80 = 2\ ч\). Тогда первый автомобиль ехал до места встречи в течение \(2 + 1 = 3\ ч\), следовательно, его скорость равна \(330 : 3 = 110\ км/ч\).

Ответ: 110

Задание 14

Найдите наименьшее значение функции \(y = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} - 4x + \dfrac{1}{3}\) на отрезке \([4; 16]\)

ОДЗ: \(x \geqslant 0\).

1) \[y' = \dfrac{2}{3}\left(\sqrt{x} + \dfrac{x}{2\sqrt{x}}\right) - 4 = \sqrt{x} - 4\] Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[y' = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \sqrt{x} = 4\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 16\,.\]

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на отрезке \([4; 16]\):


 

4) Эскиз графика \(y\) на отрезке \([4; 16]\):



Таким образом, наименьшего значения на отрезке \([4; 16]\) функция \(y\) достигает в \(x = 16\): \[y(16) = \dfrac{2}{3}\cdot 64 - 64 + \dfrac{1}{3} = -21\,.\]

Ответ: -21

Задание 15

а) Решите уравнение \[\cos 2x + \sin \left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = 0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi; \dfrac{\pi}{2}\right]\).

а) ОДЗ: \(x\) – произвольный.

По формулам приведения и формуле косинуса двойного угла \(\cos 2x=2\cos^2x-1\): \[2\cos^2 x - 1 + \cos x = 0\]

Сделаем замену \(\cos x = t\): \[2t^2 - 1 + t = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2(t - 0,5)(t + 1) = 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &t = -1\\ &t = 0,5 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Сделаем обратную замену:

 

1) \(\cos x = -1\) равносильно \(x = \pi+2\pi n\), \(n\in\mathbb{Z}\).

2) \(\cos x = 0,5\) равносильно \(x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \(-2\pi \leqslant \pi+2\pi n \leqslant \dfrac{\pi}{2}\) равносильно \(-\dfrac32\leqslant n\leqslant -\dfrac{1}{4}\), но \(n\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(n = -1\): \(x = -\pi\).

 

\(-2\pi \leqslant \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k_1 \leqslant \dfrac{\pi}{2}\) равносильно \(-\dfrac{7}{6} \leqslant k_1 \leqslant \dfrac{1}{12}\), но \(k_1\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходят только решения при \(k_1 = -1\) и \(k_1=0\): \(x = -\dfrac{5\pi}{3}\) и \(x=\dfrac{\pi}3\).

 

\(-2\pi \leqslant -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k_2 \leqslant \dfrac{\pi}{2}\) равносильно \(-\dfrac{5}{6} \leqslant k_2 \leqslant \dfrac{5}{12}\), но \(k_2\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(k_2 = 0\): \(x = -\dfrac{\pi}{3}\).

Ответ:

а) \(\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\), \(\pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\)

б) \(-\dfrac{5\pi}{3}\), \(-\pi\), \(-\dfrac{\pi}{3}\), \(\dfrac{\pi}{3}\)

Задание 16

В основании четырёхугольной пирамиды \(MABCD\) лежит прямоугольник \(ABCD\) со сторонами \(AB = 4\), \(AD = 15\). При этом известны длины некоторых боковых рёбер: \(MA = \sqrt{26}\), \(MB = \sqrt{10}\), \(MC = \sqrt{235}\).

 

а) Докажите, что \(MB\) – высота пирамиды \(MABCD\).

б) Найдите угол между \(MD\) и плоскостью \((ABM)\).

а) Рассмотрим треугольник \(MBA\): \[MA^2 = 26 = 10 + 16 = (\sqrt{10})^2 + 4^2 = MB^2 + BA^2\,,\] следовательно, треугольник \(MBA\) прямоугольный и \(MB\perp AB\).

Рассмотрим треугольник \(MBC\): \[MC^2 = 235 = 10 + 225 = (\sqrt{10})^2 + 15^2 = MB^2 + BC^2\,,\] следовательно, треугольник \(MBC\) прямоугольный и \(MB\perp BC\).

 

Таким образом, \(AB \perp MB\perp BC\), то есть \(MB\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости \((ABCD)\), следовательно, \(MB\) – высота пирамиды \(MABCD\).

б) \[MB\perp (ABCD)\qquad\Rightarrow\qquad MB\perp AD;\qquad AB\perp AD\,,\] то есть \(AD\perp (MBA)\), следовательно, \(AM\) – проекция \(MD\) на плоскость \((MAB)\) и угол между \(MD\) и \((MAB)\) равен углу \(AMD\).

По теореме Пифагора в треугольнике \(MAD\): \[MD^2 = MA^2 + AD^2 = 26 + 225 = 251\qquad\Rightarrow\qquad MD = \sqrt{251}\,.\] Тогда \[\sin AMD = \dfrac{AD}{MD} = \dfrac{15}{\sqrt{251}}\qquad\Rightarrow\qquad \angle AMD = \arcsin \dfrac{15}{\sqrt{251}}\,.\]

Ответ:

б) \(\arcsin \dfrac{15}{\sqrt{251}}\)

Задание 17

Решите неравенство \[1 -\dfrac{10}{3^{x^2-1} - 1} + \dfrac{16}{(3^{x^2-1} - 1)^2}\geqslant 0\]

ОДЗ: \[3^{x^2 - 1}\neq 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 1\neq 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\neq \pm 1\]

Решим на ОДЗ. Сделаем замену \(t = 3^{x^2 - 1} - 1\): \[1 - \dfrac{10}{t} + \dfrac{16}{t^2}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{t^2 - 10t + 16}{t^2}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{(t - 2)(t - 8)}{t^2}\geqslant 0\]

По методу интервалов



откуда \(t\in (-\infty; 0)\cup(0; 2]\cup[8; +\infty)\). Таким образом, \[\left[ \begin{gathered} 3^{x^2-1} - 1 < 0\\ 0 < 3^{x^2-1} - 1\leqslant 2\\ 3^{x^2-1} - 1\geqslant 8 \end{gathered} \right. \qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} 3^{x^2-1} < 1\\ 1 < 3^{x^2-1} \leqslant 3\\ 3^{x^2-1} \geqslant 9 \end{gathered} \right. \qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x^2 - 1 < 0\\ 0 < x^2 - 1 \leqslant 1\\ x^2 - 1 \geqslant 2 \end{gathered} \right.\] что равносильно \[\left[ \begin{gathered} x^2 < 1\\ 1 < x^2 \leqslant 2\\ x^2 \geqslant 3 \end{gathered} \right. \qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x\in(-1; 1)\\ x\in[-\sqrt{2}; -1)\cup(1; \sqrt{2}]\\ x\in(-\infty; -\sqrt{3}]\cup[\sqrt{3}; +\infty) \end{gathered} \right.\] Тогда с учётом ОДЗ ответ: \[x\in (-\infty; -\sqrt{3}]\cup[-\sqrt{2}; -1)\cup(-1; 1)\cup(1; \sqrt{2}]\cup[\sqrt{3}; +\infty)\,.\]

Ответ:

\((-\infty; -\sqrt{3}]\cup[-\sqrt{2}; -1)\cup(-1; 1)\cup(1; \sqrt{2}]\cup[\sqrt{3}; +\infty)\)

Задание 18

Две окружности касаются внутренним образом в точке \(M\), причём меньшая из окружностей проходит через центр большей окружности. Хорда \(PQ\) большей окружности касается меньшей в точке \(K\); \(S\) и \(T\) – точки пересечения меньшей окружности с \(MP\) и \(MQ\) соответственно.

 

а) Докажите, что прямые \(ST\) и \(PQ\) параллельны.

б) Пусть \(L\) – точка пересечения \(MK\) и \(ST\). Найдите \(ML\), если радиус большей окружности равен \(5\), а \(PQ = 6\).

а) Пусть \(O_1\) и \(O_2\) центры большей и меньшей окружностей соответственно. Так как \(O_1M\) и \(O_2M\) перпендикулярны касательной, проходящей через точку \(M\), то точки \(O_1\), \(O_2\) и \(M\) лежат на одной прямой. Пусть \(M'\) – точка пересечения этой прямой с большей окружностью, отличная от \(M\).

 

Докажем, что хорды данных окружностей, лежащие на одной прямой, проходящей через точку \(M\), относятся как их диаметры. Рассмотрим доказательство на примере хорд \(MS\) и \(MP\).

Рассмотрим треугольники \(MM'P\) и \(MO_1S\). Эти треугольники прямоугольные, так как \(MO_1\) – диаметр меньшей окружности (описанной около треугольника \(MO_1S\)), а \(MM'\) – диаметр большей окружности (описанной около треугольника \(MM'P\)). При этом острый угол \(O_1MS\) у них общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Из подобия получаем требуемое: \[\dfrac{MS}{MP} = \dfrac{MO_1}{MM'}\]

Для других хорд, лежащих на прямой, проходящей через точку \(M\), утверждение доказывается аналогично.

Из доказанного следует, что \[\dfrac{MS}{MP} = \dfrac{MT}{MQ}\,.\]

Рассмотрим треугольники \(MST\) и \(MPQ\): \(\angle SMQ\) – общий, \(\dfrac{MS}{MP} = \dfrac{MT}{MQ}\), следовательно, эти треугольники подобны, откуда \(\angle MST = \angle MPQ\), следовательно, \(ST\parallel PQ\).

 

б) Опустим перпендикуляры \(O_1K'\) и \(O_2K\) на \(PQ\).

По теореме Пифагора \[K'O_1^2 = O_1P^2 - K'P^2\]

Так как \(O_1P = O_1Q\), то \(O_1K'\) – медиана в треугольнике \(PO_1Q\), следовательно, \(K'P = 3\), тогда \(K'O_1 = \sqrt{25 - 9} = 4\).

Так как \(MO_1\) – радиус большей окружности и диаметр меньшей, то радиус меньшей окружности равен \(0,5\cdot 5 = 2,5\)

Рассмотрим прямоугольную трапецию \(O_2O_1K'K\).

 

Пусть \(O_2H\) перпендикуляр к \(O_1K'\), тогда \(O_1H = O_1K' - O_2K = 4-2,5=1,5\), следовательно, по теореме Пифагора \(2 = O_2H = KK'\). Тогда \[PK = PK'+K'K=3+2=5,\qquad KQ = PK'-K'K=3-2=1.\]

Так как хорды данных окружностей, лежащие на одной прямой, проходящей через точку \(M\), относятся как их диаметры, то \(ST\) – средняя линия в треугольнике \(MPQ\), тогда \(SL\) – средняя линия в треугольнике \(MPK\) и \(LT\) – средняя линия в треугольнике \(MKQ\), следовательно, \[SL = 0,5PK=2,5,\qquad LT = 0,5KQ=0,5\,.\]

По теореме о произведении отрезков хорд \[ML\cdot LK = SL\cdot LT = 1,25=\dfrac54\,,\] откуда, с учётом равенства \(ML = LK\), получим \[ML = \dfrac{\sqrt{5}}{2}\,.\]

Ответ:

б) \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

Задание 19

15 января планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

\(\bullet\) 1-ого числа каждого месяца долг возрастает на \(y\%\) по сравнению с долгом на конец предыдущего месяца;
\(\bullet\) со 2-ого по 14-ое числа каждого месяца необходимо выплатить часть долга в виде платежа банку;
\(\bullet\) 15-ого числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-ое число предыдущего месяца.

 

Известно, что общая сумма выплат по кредиту превысила сумму кредита на \(30\%\) процентов. Найдите \(y\).

Фраза “долг должен быть на одну и ту же сумму меньше” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами. Следовательно, т.к. кредит взят на 11 месяцев, то эта “одна и та же сумма”, на которую уменьшается долг каждый месяц, равна \(\frac1{11}\) части от суммы кредита. Обозначим сумму кредита за \(A\) и составим таблицу.
Т.к. каждый месяц долг увеличивается на \(y\%\), то в первый месяц долг увеличиться на \(0,01y\cdot A\) рублей, то есть составит \(A+0,01yA\) рублей.
После выплаты долг должен уменьшиться на \(\frac1{11}A\) рублей, то есть должен составить \(\frac{10}{11}A\) рублей. Значит, выплата в первый месяц будет равна \(A+0,01yA-\frac{10}{11}A=0,01yA+\frac1{11}A\)

\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Номер месяца}&\text{Долг после начисления }\%& \text{Долг после выплаты}&\text{Выплата}\\ \hline 1& A+0,01y\cdot A& \frac{10}{11}A& 0,01y\cdot A+\frac1{11}A\\ \hline 2& \frac{10}{11}A+0,01y\cdot \frac{10}{11}A& \frac{9}{11}A& 0,01y\cdot \frac{10}{11}A+\frac1{11}A\\ \hline 3& \frac9{11}A+0,01y\cdot \frac9{11}A& \frac8{11}A& 0,01y\cdot \frac9{11}A+\frac1{11}A\\ \hline \dots&\dots&\dots&\dots\\ \hline 10& \frac2{11}A+0,01y\cdot \frac2{11}A& \frac1{11}A& 0,01y\cdot \frac2{11}A+\frac1{11}A\\ \hline 11& \frac1{11}A+0,01y\cdot \frac1{11}A& 0& 0,01y\cdot \frac1{11}A+\frac1{11}A\\ \hline \end{array}\]

Заметим, что все выплаты состоят из двух частей, причем одна часть \(\left(\frac1{11}A\right)\) фиксирована.

 

По условию общая сумма выплат \(R\) превысила на \(30\%\) сумму кредита \(A\). Это значит, что переплата по кредиту \(R-A\) составляет \(30\%\) от \(A\). Найдем общую сумму выплат:

 

\(R=\left(0,01y\cdot A+\frac1{11}A\right)+\left(0,01y\cdot \frac{10}{11}A+\frac1{11}A\right)+ \left(0,01y\cdot \frac9{11}A+\frac1{11}A\right)+\dots+\)

 

\(+\left(0,01y\cdot \frac2{11}A+\frac1{11}A\right)+\left(0,01y\cdot \frac1{11}A+\frac1{11}A\right)=\)

 

\(=0,01y\cdot A\left(1+\frac{10}{11}+\frac9{11}+\dots+\frac2{11}+\frac1{11}\right)+11\cdot \frac1{11}A=\)

 

В скобке — сумма 11 членов арифметической прогрессии, где \(a_1=\frac1{11}, \ a_{11}=1\). По формуле \(S_{11}=\dfrac{a_1+a_{11}}2\cdot 11\), значит

\(=0,01y\cdot A\cdot \frac12\left(\frac1{11}+1\right)\cdot 11+A=0,06yA+A\)

 

Тогда переплата составила \(R-A=0,06yA\). Т.к. переплата составила \(30\%\) от \(A\), то

\[\dfrac{R-A}{A}\cdot 100\%=30\% \quad \Rightarrow \quad \dfrac{0,06yA}A=0,3 \quad \Rightarrow \quad y=5\]

Ответ:

\(5\)

Задание 20

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система уравнений

\[\begin{cases} x^2 - 4x + y^2 + 2y + 3,75 = |4x - 2y - 10|\\ 2x + 4y = a \end{cases}\]

имеет более двух решений.

Рассмотрим два случая:

1) \(4x - 2y - 10\geqslant 0\)
Первое уравнение системы в этом случае приводится к виду \[x^2 - 8x + y^2 + 4y + 13,75 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 2,5^2\,.\]

Отдельно рассматриваемое данное уравнение задаёт на плоскости \((x; y)\) окружность с центром в точке \(O_1(4; -2)\) и радиусом \(2,5\), но с учётом условия \(4x - 2y - 10\geqslant 0\) нам подходит только часть этой окружности, лежащая в полуплоскости \(y \leqslant 2x - 5\).

2) \(4x - 2y - 10 < 0\)
Первое уравнение системы в этом случае приводится к виду \[x^2 + y^2 = 6,25\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + y^2 = 2,5^2\,.\]

Отдельно рассматриваемое данное уравнение задаёт на плоскости \((x; y)\) окружность с центром в точке \(O(0; 0)\) и радиусом \(2,5\), но с учётом условия \(4x - 2y - 10 < 0\) нам подходит только часть этой окружности, лежащая в полуплоскости \(y > 2x - 5\).

 

Решая системы уравнений \[\begin{cases} (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 2,5^2\\ y = 2x - 5 \end{cases} \qquad \text{и}\qquad \begin{cases} x^2 + y^2 = 2,5^2\\ y = 2x - 5 \end{cases}\,,\] находим, что окружности из пунктов 1) и 2) пересекаются с прямой \(y = 2x - 5\) в точках \(C(2,5; 0)\) и \(D(1,5; -2)\).

При каждом фиксированном значении \(a\) второе уравнение исходной системы задаёт прямую, параллельную \(OO_1\) (при \(a = 0\) оно задаёт прямую \(OO_1\), а при \(a\neq 0\) прямую, полученную из \(OO_1\) параллельным переносом).

Найдём значение \(a\), при котором прямая \(y = 0,25a - 0,5x\) имеет с окружностью \(x^2 + y^2 = 2,5^2\) одну общую точку: \[x^2 + (0,25a - 0,5x)^2 = 2,5^2\qquad\Leftrightarrow\qquad 5(x^2 -0,2ax + 0,01a^2) + \dfrac{a^2}{4} - \dfrac{a^2}{20} = 25\,.\]

Чтобы данное уравнение имело единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы левая часть представляла собой полный квадрат, откуда получим \(a^2 = 125\), то есть \(a = \pm 5\sqrt{5}\).

Проводя вычисления, можно показать, что при \(a = \pm 5\sqrt{5}\) окружность из пункта 2) также имеет с прямой \(y = 0,25a - 0,5x\) одну общую точку, то есть случаям \(\mathbf{1}\) и \(\mathbf{4}\) на рисунке отвечают прямые \(y = 0,25a - 0,5x\) при \(a = 5\sqrt{5}\) и \(a = -5\sqrt{5}\) соответственно.

Также легко показать, что случаям \(\mathbf{2}\) и \(\mathbf{3}\) отвечают прямые \(y = 0,25a - 0,5x\) при \(a = 5\) и \(a = -5\) соответственно.

Прямая \(y = 0,25a - 0,5x\) при \(a > 5\sqrt{5}\) не имеет общих точек с нарисованными дугами окружностей.
При \(a = 5\sqrt{5}\) эта прямая имеет две общие точки с этими дугами окружностей.
При \(5 < a < 5\sqrt{5}\) эта прямая имеет четыре общие точки с этими дугами окружностей.
При \(a = 5\) эта прямая имеет три общие точки с этими дугами окружностей.
При \(-5 < a < 5\) эта прямая имеет две общие точки с этими дугами окружностей.
При \(a = -5\) эта прямая имеет три общие точки с этими дугами окружностей.
При \(-5\sqrt{5} < a < -5\) эта прямая имеет четыре общие точки с этими дугами окружностей.
При \(a = -5\sqrt{5}\) эта прямая имеет две общие точки с этими дугами окружностей.
При \(a < -5\sqrt{5}\) эта прямая не имеет общих точек с этими дугами окружностей.

Таким образом, ответ: \[a\in (-5\sqrt{5}; -5]\cup[5; 5\sqrt{5})\,.\]

Ответ:

\((-5\sqrt{5}; -5]\cup[5; 5\sqrt{5})\)

Задание 21

Среди посетителей одного из магазинов был проведён опрос. Известно, что каждому опрошенному целое число лет. Участник опроса попадает в возрастную категорию А, если ему более \(40\) лет, иначе он попадает в категорию Б. Спустя \(4\) года опрос был проведён повторно, причём среди тех же людей, что и в первый раз.

а) Могло ли оказаться так, что во время повторного опроса средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию Б, понизился?

б) Могло ли оказаться так, что при повторном опросе средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию А, понизился, и средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию Б, тоже понизился?

в) Известно, что первоначально средний возраст опрашиваемых составил \(40\) лет, средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию Б, составил \(28\) лет, а средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию А, составил \(55\) лет. При повторном опросе средний возраст опрашиваемых, попавших в категорию Б, стал равен \(31\) году, а попавших в категорию А – \(57\) годам. При каком наименьшем числе участников опроса возможна такая ситуация?

а) Это могло быть, например, в случае, когда в категорию Б попадали изначально три человека, одному из которых было \(40\) лет, а двум другим по \(10\) лет. Тогда их средний возраст при первом опросе был \(20\) лет, а при втором опросе в категории Б остались только двое, которым исполнилось по \(14\) лет, то есть их средний возраст стал \(14\) лет.

 

б) Это могло быть, например, в случае, когда в категорию Б попадали те же трое, что в пункте а), а в категорию А изначально попадали два человека, которым было по \(70\) лет.

 

в) Пусть количество опрошенных, которые попадали в категорию А при первом опросе, было равно \(n\), а количество опрошенных, попадавших в категорию Б, было равно \(m\), тогда суммарный возраст участников при первом опросе составлял \(40(n + m)\), причём \[40(n + m) = 55n + 28m\qquad\Leftrightarrow\qquad 5n = 4m\,,\] откуда, в частности, следует, что \(n\) делится на \(4\), а \(m\) делится на \(5\).

Так как средний возраст в категории А вырос не на 4 года, то в категорию А должны были перейти опрошенные, которые ранее относились к категории Б. Пусть их ровно \(k\) человек. Так как при повторном опросе им могло быть не более \(44\) лет, то суммарный возраст участников категории А за счёт появления этих \(k\) человек не мог увеличиться более, чем на \(44k\), тогда \[57(n + k)\leqslant 59n + 44k\qquad\Rightarrow\qquad 2n\geqslant 13k\,.\]

Так как \(k \geqslant 1\), то \(n\geqslant 7\), но \(n\) делится на \(4\), следовательно, \(n\geqslant 8\). При \(n = 8\) имеем: \(m = 10\). Этот случай возможен только при \(k = 1\).

Проверим, подходит ли нам этот случай. Пусть возраст перешедшего в категорию А из категории Б стал \(41\leqslant x\leqslant 44\), тогда \[\begin{cases} 57(n + 1) = 59n + x\\ 31(m - 1) = 32m - x\,, \end{cases}\] откуда \(x = 41\) – подходит по условию.

Таким образом, менее \(18\) человек быть не могло, а \(18\) человек могло быть, например, так:
в первый раз опросили \(8\) человек, каждому из которых было по \(55\) лет, одного человека в возрасте \(37\) лет и \(9\) человек, каждому из которых было по \(27\) лет.

Ответ:

а) Да

б) Да

в) \(18\)