Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Векторы на координатной плоскости

\(\blacktriangleright\) Пусть в прямоугольной системе координат \(Oxy\) даны точки \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\).

 

Тогда вектор   \(\Large{\overrightarrow{AB} \ \{x_2-x_1;y_2-y_1\}}\)
(из координат конца необходимо вычесть координаты начала).

 

\(\blacktriangleright\) Длина вектора \(\overrightarrow{AB}\) равна длине отрезка \(AB\).

 

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два вектора, необходимо сложить их соответствующие координаты:

 

если \(\Large{\overrightarrow{a}\{x_1;y_1\}, \overrightarrow{b}\{x_2;y_2\}, \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c} \Rightarrow \overrightarrow{c}\{x_1+x_2;y_1+y_2\}}\).

 

Аналогично с разностью.

Задание 1
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(\overrightarrow{MN}\) имеет координаты \((6; 12)\), а \(\overrightarrow{NK}\) имеет координаты \((9; 8)\). Найдите длину \(\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{NK}\)

Добавить задание в избранное




 

Первая и вторая координаты разности векторов есть разность их первых и разность вторых координат соответственно.

\(\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{NK}\) имеет координаты \((6 - 9; 12 - 8)\), тогда его длина равна \(\sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5\).

Ответ: 5

Задание 2
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow{MN} (0; 4)\) и \(\overrightarrow{PQ} (3; 5)\).

Добавить задание в избранное




 

Скалярное произведение векторов с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) равно \[x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2.\] В данной задаче \((\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ}) = 0\cdot 3 + 4\cdot 5 = 20\).

Ответ: 20

Задание 3
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow{MN} (-1; -1)\) и \(\overrightarrow{PQ} (3; 8)\).

Добавить задание в избранное

Скалярное произведение векторов с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) равно \[x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2.\] В данной задаче \((\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ}) = -1\cdot 3 + (-1)\cdot 8 = -11\).

Ответ: -11

Задание 4
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow{MN} (-\pi\cdot\ln a; 7)\) и \(\overrightarrow{PQ} (0; 3)\), если \(a = 18\).

Добавить задание в избранное

Скалярное произведение векторов с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) равно \[x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2.\] В данной задаче \((\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ}) = -\pi\cdot\ln a\cdot 0 + 7\cdot 3 = 21\).

Ответ: 21

Задание 5
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow{MN} (\ln (a^2 + 1); a^2)\) и \(\overrightarrow{PQ} (0; 0,5)\), если \(a = 3\).

Добавить задание в избранное

Скалярное произведение векторов с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) равно \[x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2.\] В данной задаче \((\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ}) = \ln (a^2 + 1)\cdot 0 + a^2\cdot 0,5 = 9\cdot 0,5 = 4,5\).

Ответ: 4,5

Задание 6
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите угол между векторами \(\overrightarrow{MN} (6; 2)\) и \(\overrightarrow{PQ} (-1; 3)\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное




 

Скалярное произведение векторов с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) равно \[x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2.\] В данной задаче \((\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ}) = 6\cdot (-1) + 2\cdot 3 = 0\).
Если скалярное произведение векторов равно \(0\), то они перпендикулярны, тогда угол между \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{PQ}\) равен \(90^{\circ}\).

Ответ: 90

Задание 7
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите синус угла между векторами \(\overrightarrow{MN} \left(3\sin\dfrac{\pi}{4}; 3\cos\dfrac{\pi}{4}\right)\) и \(\overrightarrow{PQ} \left(3\sin\dfrac{\pi}{12}; 3\cos\dfrac{\pi}{12}\right)\).

Добавить задание в избранное

Скалярное произведение векторов с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) равно \[x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2.\] В данной задаче

\[\begin{aligned} (\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ}) &= 3\sin\dfrac{\pi}{4}\cdot 3\sin\dfrac{\pi}{12} + 3\cos\dfrac{\pi}{4}\cdot 3\cos\dfrac{\pi}{12} = 9\left(\sin\dfrac{\pi}{4}\cdot\sin\dfrac{\pi}{12} + \cos\dfrac{\pi}{4}\cdot\cos\dfrac{\pi}{12}\right) =\\ &= 9\cos\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{12}\right) = 9\cos\dfrac{\pi}{6} = 9\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}\]

Скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. \[|\overrightarrow{MN}| = \sqrt{\left(3\sin\dfrac{\pi}{4}\right)^2 + \left(3\cos\dfrac{\pi}{4}\right)^2} = 3, \qquad\qquad |\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{\left(3\sin\dfrac{\pi}{12}\right)^2 + \left(3\cos\dfrac{\pi}{12}\right)^2} = 3.\] Тогда \[|\overrightarrow{MN}|\cdot |\overrightarrow{PQ}|\cdot \cos(\overrightarrow{MN}; \overrightarrow{PQ}) = 9\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad\Rightarrow\qquad 9\cdot \cos(\overrightarrow{MN}; \overrightarrow{PQ}) = 9\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad\Rightarrow\qquad \cos(\overrightarrow{MN}; \overrightarrow{PQ}) = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\] тогда \(\sin(\overrightarrow{MN}; \overrightarrow{PQ}) = \pm\dfrac{1}{2}\), но угол между векторами не меньше \(0^{\circ}\), но меньше \(180^{\circ}\), тогда \[\sin(\overrightarrow{MN}; \overrightarrow{PQ}) = 0,5.\]

Ответ: 0,5

Тема «Векторы на координатной плоскости» достаточно подробно рассматривается в рамках школьного курса учащихся старших классов. Однако практика показывает, что, сталкиваясь с нетипичным заданием, выпускники часто теряются и не могут быстро найти правильный ответ.

Чтобы задачи, в которых требуется построить векторы на координатной плоскости, не вызывали сложностей при написании профильного уровня ЕГЭ по математике, необходимо понять, как они решаются.

Вместе с образовательным порталом «Школково» подготовка к прохождению аттестационного испытания будет легкой и качественной! Сайт поможет учащимся выявить пробелы в знаниях и успешно справиться с аттестационным испытанием.

Чтобы разобраться в теме «Координаты вектора на координатной плоскости», рекомендуем вначале вспомнить весь базовый материал. Он представлен в разделе «Теоретическая справка». Учащиеся смогут освежить в памяти основные теоремы, свойства координат вектора, определение скалярного произведения векторов и другие понятия, которые помогут при решении заданий ЕГЭ.

Для того чтобы закрепить усвоенный материал, мы рекомендуем попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач по теме «Векторы на координатной плоскости», а также по правилам сложения и вычитания векторов представлена в разделе «Каталог». Для качественной подготовки к ЕГЭ лучше всего переходить от простых упражнений к более сложным. В каждом задании на сайте представлен алгоритм решения и дан правильный ответ.

Практиковаться в выполнении задач выпускники из Москвы и других российских городов могут в онлайн-режиме. В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». В дальнейшем к этому заданию можно будет вернуться и, к примеру, обсудить алгоритм его решения с преподавателем.