Математика
Русский язык

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Найти остаток от деления числа

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите все числа, при делении которых на \(5\) в частном получится то же число, что и в остатке.

Добавить задание в избранное

Пусть при делении числа \(a\) на \(5\) в частном получится то же число, что и в остатке. Тогда \(a=5r+r\). Так как \(r\) – это остаток при делении на \(5\), то \(r\) может быть равно только \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) или \(4\). Для всех значений \(r\) найдем соответствующее значение \(a\): \(0\), \(6\), \(12\), \(18\), \(24\).

Ответ:

\(0\), \(6\), \(12\), \(18\), \(24\)

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите все числа, при делении которых на \(8\) в частном получится то же число, что и в остатке.

Добавить задание в избранное

Пусть при делении числа \(a\) на \(8\) в частном получится то же число, что и в остатке. Тогда \(a=8r+r\). Так как \(r\) – это остаток при делении на \(8\), то \(r\) может быть равно только \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\) или \(7\). Для всех значений \(r\) найдем возможное значение \(a\): \(0\), \(9\), \(18\), \(27\), \(36\), \(45\), \(54\), \(63\).

Ответ:

\(0\), \(9\), \(18\), \(27\), \(36\), \(45\), \(54\), \(63\)

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Число при делении на \(8\) дает остаток \(5\). Какой остаток оно дает при делении на \(4\)?

Добавить задание в избранное

Пусть число \(a\) при делении на \(8\) дает остаток \(5\), тогда \(a=8b+5=8b+4+1=4(2b+1)+1\), тогда \(a\) при делении на \(4\) дает остаток \(1\).

Ответ:

\(1\)

Задание 4
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что если числа \(a\) и \(b\) дают при делении на \(c\) одинаковые остатки, то \((a-b)\, \vdots \,c\).

Добавить задание в избранное

Исходя из условия: \(a=n_1c+r\) и \(b=n_2c+r \ \Rightarrow \ a-b=n_1c+r-n_2c-r=c(n_1-n_2) \, \vdots \, c\).

Ответ:

Доказательство

Задание 5
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что среди любых \(n+1\) натуральных чисел найдутся два, разность которых делится на \(n\).

Добавить задание в избранное

Всего при делении на \(n\) существует \(n\) различных остатков, а так как чисел \(n+1\), то по принципу Дирихле найдутся \(2\) числа с одинаковыми остатками, следовательно, их разность будет делиться на \(n\).

Ответ:

Доказательство

Задание 6
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что числа вида \(n^2\), где \(n\in\mathbb{N}\), не могут при делении на 3 давать остаток \(2\).

Добавить задание в избранное

Остаток от деления на число \(k\) произведения натуральных чисел \(A\cdot B\) равен остатку от деления на число \(k\) произведения \(a\cdot b\), где \(a\) и \(b\) – остатки от деления на \(k\) чисел \(A\) и \(B\) соответственно.

Таким образом, остаток от деления числа \[(3m + 1)^2 = (3m + 1)\cdot (3m + 1)\] на \(3\) равен остатку от деления \(1\cdot 1\) на \(3\), то есть равен \(1\).

Остаток от деления числа \[(3m + 2)^2 = (3m + 2)\cdot (3m + 2)\] на \(3\) равен остатку от деления \(2\cdot 2\) на \(3\), то есть равен \(1\).

Остаток от деления числа \[(3m)^2 = 9m^2\] на \(3\) равен \(0\).

Так как любое натуральное число \(n\) всегда можно представить в одном из видов: \(3m\), \(3m + 1\), \(3m + 2\) (\(m\in\mathbb{N}\cup\{0\}\)), то \(n^2\) при делении на \(3\) не может давать в остатке \(2\).

Ответ:

Доказательство

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

При каких простых \(p\) число \(p^2 + 29\) также является простым?

Добавить задание в избранное

Проверим, каким может быть остаток от деления числа \(p^2 + 29\) на \(3\):

1) Если \(p\) не делится на \(3\), то \(p^2\) при делении на \(3\) даёт остаток \(1\), тогда \(p^2 + 29\) при делении на \(3\) даёт такой же остаток, как и число \(1 + 29 = 30\), то есть \(0\).

Таким образом, если \(p\) не делится на \(3\), то \(p^2 + 29\) делится на \(3\), но \(p^2 + 29 > 3\), а простых чисел, делящихся на \(3\), кроме числа \(3\), не бывает.

 

2) Единственное простое число, которое делится на \(3\) – это число \(3\), следовательно, осталось проверить только случай \(p = 3\): \[p^2 + 29 = 9 + 29 = 38\] – не является простым.

В итоге мы доказали, что не существует простых чисел \(p\), таких, что число \(p^2 + 29\) – простое.

Ответ:

\(\varnothing\)