Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Найти остаток от деления числа

Задание 1 #2202
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите все числа, при делении которых на \(5\) в частном получится то же число, что и в остатке.

Добавить задание в избранное

Пусть при делении числа \(a\) на \(5\) в частном получится то же число, что и в остатке. Тогда \(a=5r+r\). Так как \(r\) – это остаток при делении на \(5\), то \(r\) может быть равно только \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) или \(4\). Для всех значений \(r\) найдем соответствующее значение \(a\): \(0\), \(6\), \(12\), \(18\), \(24\).

Ответ:

\(0\), \(6\), \(12\), \(18\), \(24\)

Задание 2 #2203
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите все числа, при делении которых на \(8\) в частном получится то же число, что и в остатке.

Добавить задание в избранное

Пусть при делении числа \(a\) на \(8\) в частном получится то же число, что и в остатке. Тогда \(a=8r+r\). Так как \(r\) – это остаток при делении на \(8\), то \(r\) может быть равно только \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\) или \(7\). Для всех значений \(r\) найдем возможное значение \(a\): \(0\), \(9\), \(18\), \(27\), \(36\), \(45\), \(54\), \(63\).

Ответ:

\(0\), \(9\), \(18\), \(27\), \(36\), \(45\), \(54\), \(63\)

Задание 3 #2204
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Число при делении на \(8\) дает остаток \(5\). Какой остаток оно дает при делении на \(4\)?

Добавить задание в избранное

Пусть число \(a\) при делении на \(8\) дает остаток \(5\), тогда \(a=8b+5=8b+4+1=4(2b+1)+1\), тогда \(a\) при делении на \(4\) дает остаток \(1\).

Ответ:

\(1\)

Задание 4 #2205
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что если числа \(a\) и \(b\) дают при делении на \(c\) одинаковые остатки, то \((a-b)\, \vdots \,c\).

Добавить задание в избранное

Исходя из условия: \(a=n_1c+r\) и \(b=n_2c+r \ \Rightarrow \ a-b=n_1c+r-n_2c-r=c(n_1-n_2) \, \vdots \, c\).

Ответ:

Доказательство

Задание 5 #2206
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что среди любых \(n+1\) натуральных чисел найдутся два, разность которых делится на \(n\).

Добавить задание в избранное

Всего при делении на \(n\) существует \(n\) различных остатков, а так как чисел \(n+1\), то по принципу Дирихле найдутся \(2\) числа с одинаковыми остатками, следовательно, их разность будет делиться на \(n\).

Ответ:

Доказательство

Задание 6 #2207
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что числа вида \(n^2\), где \(n\in\mathbb{N}\), не могут при делении на 3 давать остаток \(2\).

Добавить задание в избранное

Остаток от деления на число \(k\) произведения натуральных чисел \(A\cdot B\) равен остатку от деления на число \(k\) произведения \(a\cdot b\), где \(a\) и \(b\) – остатки от деления на \(k\) чисел \(A\) и \(B\) соответственно.

Таким образом, остаток от деления числа \[(3m + 1)^2 = (3m + 1)\cdot (3m + 1)\] на \(3\) равен остатку от деления \(1\cdot 1\) на \(3\), то есть равен \(1\).

Остаток от деления числа \[(3m + 2)^2 = (3m + 2)\cdot (3m + 2)\] на \(3\) равен остатку от деления \(2\cdot 2\) на \(3\), то есть равен \(1\).

Остаток от деления числа \[(3m)^2 = 9m^2\] на \(3\) равен \(0\).

Так как любое натуральное число \(n\) всегда можно представить в одном из видов: \(3m\), \(3m + 1\), \(3m + 2\) (\(m\in\mathbb{N}\cup\{0\}\)), то \(n^2\) при делении на \(3\) не может давать в остатке \(2\).

Ответ:

Доказательство

Задание 7 #2208
Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких простых \(p\) число \(p^2 + 29\) также является простым?

Добавить задание в избранное

Проверим, каким может быть остаток от деления числа \(p^2 + 29\) на \(3\):

1) Если \(p\) не делится на \(3\), то \(p^2\) при делении на \(3\) даёт остаток \(1\), тогда \(p^2 + 29\) при делении на \(3\) даёт такой же остаток, как и число \(1 + 29 = 30\), то есть \(0\).

Таким образом, если \(p\) не делится на \(3\), то \(p^2 + 29\) делится на \(3\), но \(p^2 + 29 > 3\), а простых чисел, делящихся на \(3\), кроме числа \(3\), не бывает.

 

2) Единственное простое число, которое делится на \(3\) – это число \(3\), следовательно, осталось проверить только случай \(p = 3\): \[p^2 + 29 = 9 + 29 = 38\] – не является простым.

В итоге мы доказали, что не существует простых чисел \(p\), таких, что число \(p^2 + 29\) – простое.

Ответ:

\(\varnothing\)

В ЕГЭ по математике часто встречается задание — найти наименьший остаток от деления натурального числа на 9, 2, 3 и другие цифры. Как показывает практика, многие школьники не справляются с примерами подобного типа. Значительное затруднение вызывают большие числа, поэтому данной тематике стоит уделить особое внимание. Сайт «Школково» поможет подготовиться к итоговому тестированию и с легкостью решать задачи профильного уровня.

Сдайте аттестационное испытание успешно с помощью нашего образовательного портала!

Подготовка к Единому государственному экзамену может стать увлекательной и легкой с удобным онлайн-сервисом «Школково». На нашем сайте вы найдете все необходимые для повторения материалы, а также множество уравнений для вычисления, база которых постоянно обновляется и дополняется. Вся информация тщательно подобрана, систематизирована и изложена в наиболее простой и понятной форме нашими преподавателями. Благодаря подобному подходу выпускники усваивают материал в более короткие сроки по сравнению с обучением по школьному пособию, и найти остаток от деления числа на 4, 2 и 3 для них не составляет труда.

В разделе «Теоретическая справка» собраны правила и формулы. Они пригодятся для выполнения упражнений на тему нахождения остатка от деления суммы двух чисел на 7, 4, 5 и другие цифры. В «Каталогах» представлено множество задач различного уровня сложности. Ученики могут выбрать любое упражнение из предложенных. Если оно вызовет затруднения, на нашем сайте есть раздел «Избранное». Туда можно добавить сложные и интересные задачи, к которым вы хотели бы вернуться позже.

Для того чтобы занятия проходили наиболее эффективно, рекомендуем начать с простых заданий. Так вы проверите свои способности и выявите слабые стороны, на которые стоит обратить особое внимание. Если после решения нескольких простых уравнений на деление числа без остатка на 5, 4, 2 и другие цифры вы поняли, что они даются вам легко, сразу переходите к более трудным задачам. Всего через несколько дней вы подтяните знания в данной тематике и будете справляться с упражнениями любого уровня сложности.

Чтобы занятия приносили результат, советуем обращаться к нашему порталу ежедневно. Зарегистрируйтесь на сайте для сохранения прогресса. Каждый день вы будете получать индивидуальное задание, основанное на ваших способностях. Постепенно уравнения будут становиться все труднее, поэтому вы незаметно для себя научитесь решать даже сложные варианты, где нужно найти отрицательные числа.

Начните занятия на сайте «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать!

Обучение на нашем портале доступно каждому желающему. Чтобы отслеживать прогресс и получать новые задания на нахождение остатка при делении числа на 100, созданные персонально для вас, зарегистрируйтесь в системе. Желаем удачной подготовки!