Найти остаток от деления числа (страница 2)

Обозначим остаток от деления числа \(N\) на число \(m\) через “\(N (\mathrm{mod}\, m)\)”.

Сначала найдём остаток от деления числа \(5^{103}\) на \(26\): \[5^{103} (\mathrm{mod}\, 26) = (5^{102}\cdot 5) (\mathrm{mod}\, 26) = (25^{51}\cdot 5) (\mathrm{mod}\, 26)\,.\] Так как \(25 (\mathrm{mod}\, 26) = -1 (\mathrm{mod}\, 26)\), то последнее выражение можно переписать в виде \[((-1)^{51}\cdot 5) (\mathrm{mod}\, 26) = (-5) (\mathrm{mod}\, 26) = 21\,.\]

Аналогично \[3^{101} (\mathrm{mod}\, 26) = (27^{33}\cdot 9) (\mathrm{mod}\, 26) = (1^{33}\cdot 9) (\mathrm{mod}\, 26) = 9\,.\]

Кроме того, понятно, что \(26^{103}\) делится на \(26\), тогда \[(26^{103} + 3^{101} - 5^{103})(\mathrm{mod}\, 26) = (0 + 9 - 21) (\mathrm{mod}\, 26) = (-12)(\mathrm{mod}\, 26) = 14(\mathrm{mod}\, 26)\,.\]

Таким образом, искомый остаток равен \(14\).

Ответ: 14

Рассуждения Ильи были верны до этого места:

\[\begin{aligned} &(2^{2n}(\mathrm{mod}\, 46)\cdot 2^{2n}(\mathrm{mod}\, 46))(\mathrm{mod}\, 46) = (2^{2n}(\mathrm{mod}\, 46)\cdot 21^{2n}(\mathrm{mod}\, 46))(\mathrm{mod}\, 46)\qquad\Leftrightarrow\qquad\\ \qquad\Leftrightarrow\qquad &2^{2n}(\mathrm{mod}\, 46) = 21^{2n}(\mathrm{mod}\, 46)\,, \end{aligned}\]

Убедимся в том, что выписанная равносильность не имеет места. Пусть \(n = 1\), тогда эта “равносильность” примет вид:

\[\begin{aligned} &(4(\mathrm{mod}\, 46)\cdot 4(\mathrm{mod}\, 46))(\mathrm{mod}\, 46) = (4(\mathrm{mod}\, 46)\cdot 441(\mathrm{mod}\, 46))(\mathrm{mod}\, 46)\qquad\Leftrightarrow\qquad\\ \qquad\Leftrightarrow\qquad &4(\mathrm{mod}\, 46) = 441(\mathrm{mod}\, 46)\,, \end{aligned}\]

где первое равенство примет вид: \[16 = (4\cdot 27)(\mathrm{mod}\, 46)\] – верное равенство. При этом второе равенство примет вид: \[4 = 27\] – неверное равенство. Таким образом, то, что Илья принял за равносильность при любом \(n\in\mathbb{N}\), не является равносильностью даже при \(n = 1\).

Ответ:

Последний выписанный переход неверен