Теорема о трех перпендикулярах

Так как пирамида правильная, то высота пирамиды \(SO\) падает в точку пересечения медиан основания. Пусть \(AA_1\) – медиана основания. Тогда \(AO\) – проекция наклонной \(AS\) на плоскость основания. Так как \(AO\) – часть \(AA_1\), а \(AA_1\perp BC\) (медианы правильного треугольника являются также и высотами), то по теореме о трех перпендикулярах (\(SO\perp (ABC), AO\perp BC\,\)) наклонная \(AS\) перпендикулярна \(BC\). Следовательно, \(\angle (AS, BC)=90^\circ\).

Ответ: 90

Так как \(SA\) – высота пирамиды, то \(SA\perp (ABC)\). Заметим, что \(AC\) – проекция наклонной \(SC\) на плоскость \(ABC\). Так как \(AC\perp BC\), то по теореме о трех перпендикулярах \(SC\perp BC\), следовательно, угол между \(SC\) и \(BC\) равен \(90^\circ\).

Ответ: 90

Так как \(SA\) – высота пирамиды, то \(SA\perp (ABC)\). Заметим, что \(AK\) – проекция наклонной \(SK\) на плоскость \(ABC\). Так как \(SK\perp BC\), то по теореме о трех перпендикулярах \(AK\perp BC\), следовательно, \[S_{\triangle ABC}=\dfrac12AK\cdot BC.\] Треугольник \(SAK\) прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора \[AK=\sqrt{SK^2-SA^2}=6.\] Следовательно, \[S_{\triangle ABC}=\dfrac12\cdot 6\cdot 5=15.\]

Ответ: 15

Так как \(SA\) – высота пирамиды, то \(SA\perp (ABC)\). Заметим, что \(AB\) – проекция наклонной \(SB\) на плоскость \(ABC\). Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах (так как \(SA\perp(ABC), AB\perp AC\,\)) наклонная \(SB\) перпендикулярна \(AC\), то есть угол между ними равен \(90^\circ\).

Ответ: 90

Так как \(SA\) – высота пирамиды, то \(SA\perp (ABC)\). Следовательно, \(SA\) перпендикулярно любой прямой из \((ABC)\), значит, \(SA\perp CH\). Тогда \(CH\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(SA\) и \(AB\) из плоскости \(SAB\), значит, \(CH\perp (SAB)\).
Заметим, что тогда \(HK\) – проекция наклонной \(CK\) на эту плоскость. Значит, по теореме о трех перпендикулярах \(CK\perp SB\).
По теореме Пифагора из \(\triangle SCK\):\[CK=\sqrt{SC^2-SK^2}=5.\] Следовательно, \[S_{\triangle SBC}=\dfrac12CK\cdot SB=\dfrac12\cdot 5\cdot 14=35.\]

Ответ: 35

Так как \(NB\) – перпендикуляр к плоскости \((ABCD)\), то \(AB\) – проекция \(NA\) на \(ABCD\). Так как \(ABCD\) – прямоугольник, то \(AD\) перпендикулярна \(BA\), следовательно по теореме о трех перпендикулярах \(AD\) перпендикулярна \(NA\) и треугольник \(NAD\) – прямоугольный.

По теореме Пифагора \[AD^2 + NA^2 = ND^2,\] откуда \(ND^2 = 625\), тогда \(ND = \pm 25\). Так как длина – неотрицательна, то \(ND = 25\).

Ответ: 25

Так как \(NC\) перпендикулярен \(DC\) и \(AB\), причём \(DC\) и \(AB\) пересекаются, то \(NC\) перпендикулярен плоскости \((ABC)\). Тогда \(DC\) – проекция \(ND\) на \((ABC)\), но \(DC\) перпендикулярен \(AB\), следовательно, по теореме о трех перпендикулярах \(ND\) перпендикулярен \(AB\).

Так как \(AD : AB\) как \(1 : 2\), то \(D\) – середина \(AB\), тогда \(ND\) в треугольнике \(ANB\) является медианой и высотой, следовательно, треугольник \(ANB\) – равнобедренный и \[\angle AND = \dfrac{1}{2}\angle ANB\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{\angle AND}{\angle ANB} = \dfrac{1}{2}.\]

Ответ: 0,5