Математика
Русский язык

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Теорема о трех перпендикулярах

Необходимые факты:

 

\(\blacktriangleright\) Определение: прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

 

\(\blacktriangleright\) Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

 

\(\blacktriangleright\) Наклонная (к плоскости) \(AB\) – отрезок прямой, не перпендикулярной плоскости, один из концов которого лежит на плоскости (основание наклонной).

 

\(\blacktriangleright\) Перпендикуляр (к плоскости) \(AA_1\) – отрезок прямой, перпендикулярной плоскости, один из концов которого лежит на плоскости (основание перпендикуляра).

 

\(\blacktriangleright\) Проекция наклонной \(BA_1\) – отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной.


 

Теорема о трех перпендикулярах (ТТП):

 

Пусть в плоскости \(\alpha\) через основание наклонной \(BA\) (т. \(B\,\)) проведена прямая \(a\). Если эта прямая перпендикулярна проекции \(BA_1\) этой наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.

\(AA_1\perp \alpha; \ a\in \alpha.\) Если \(a\perp BA_1\), то \(a\perp BA\).

 

Обратная ТТП:

 

Пусть в плоскости через основание наклонной проведена прямая. Если эта прямая перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.

\(AA_1\perp \alpha; \ a\in \alpha.\) Если \(a\perp BA\), то \(a\perp BA_1\).

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Пусть \(SABC\) – правильная треугольная пирамида с вершиной \(S\). Найдите угол между \(AS\) и \(BC\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное



Так как пирамида правильная, то высота пирамиды \(SO\) падает в точку пересечения медиан основания. Пусть \(AA_1\) – медиана основания. Тогда \(AO\) – проекция наклонной \(AS\) на плоскость основания. Так как \(AO\) – часть \(AA_1\), а \(AA_1\perp BC\) (медианы правильного треугольника являются также и высотами), то по теореме о трех перпендикулярах (\(SO\perp (ABC), AO\perp BC\,\)) наклонная \(AS\) перпендикулярна \(BC\). Следовательно, \(\angle (AS, BC)=90^\circ\).

Ответ: 90

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана пирамида \(SABC\) с высотой \(SA\). Известно, что в основании лежит прямоугольный треугольник с прямым углом \(C\). Найдите угол между ребрами \(SC\) и \(BC\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное



Так как \(SA\) – высота пирамиды, то \(SA\perp (ABC)\). Заметим, что \(AC\) – проекция наклонной \(SC\) на плоскость \(ABC\). Так как \(AC\perp BC\), то по теореме о трех перпендикулярах \(SC\perp BC\), следовательно, угол между \(SC\) и \(BC\) равен \(90^\circ\).

Ответ: 90

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана пирамида \(SABC\) с высотой \(SA=8\). Известно, что \(SK\) равно \(10\) и перпендикулярно \(BC=5\), причем \(K\) лежит на \(BC\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).

Добавить задание в избранное



Так как \(SA\) – высота пирамиды, то \(SA\perp (ABC)\). Заметим, что \(AK\) – проекция наклонной \(SK\) на плоскость \(ABC\). Так как \(SK\perp BC\), то по теореме о трех перпендикулярах \(AK\perp BC\), следовательно, \[S_{\triangle ABC}=\dfrac12AK\cdot BC.\] Треугольник \(SAK\) прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора \[AK=\sqrt{SK^2-SA^2}=6.\] Следовательно, \[S_{\triangle ABC}=\dfrac12\cdot 6\cdot 5=15.\]

Ответ: 15

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана пирамида \(SABC\) с высотой \(SA\), в основании которой лежит прямоугольный треугольник с прямым углом \(A\). Найдите угол между прямыми \(SB\) и \(AC\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное



Так как \(SA\) – высота пирамиды, то \(SA\perp (ABC)\). Заметим, что \(AB\) – проекция наклонной \(SB\) на плоскость \(ABC\). Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах (так как \(SA\perp(ABC), AB\perp AC\,\)) наклонная \(SB\) перпендикулярна \(AC\), то есть угол между ними равен \(90^\circ\).

Ответ: 90

Задание 5
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дана пирамида \(SABC\) с высотой \(SA\). \(H\) – такая точка на \(AB\), что \(CH\perp AB\). \(K\) – такая точка на \(SB\), что \(HK\perp SB\), причем \(SC=13\), \(SK=12\), \(KB=2\). Найдите площадь треугольника \(SBC\).

Добавить задание в избранное



Так как \(SA\) – высота пирамиды, то \(SA\perp (ABC)\). Следовательно, \(SA\) перпендикулярно любой прямой из \((ABC)\), значит, \(SA\perp CH\). Тогда \(CH\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(SA\) и \(AB\) из плоскости \(SAB\), значит, \(CH\perp (SAB)\).
Заметим, что тогда \(HK\) – проекция наклонной \(CK\) на эту плоскость. Значит, по теореме о трех перпендикулярах \(CK\perp SB\).
По теореме Пифагора из \(\triangle SCK\):\[CK=\sqrt{SC^2-SK^2}=5.\] Следовательно, \[S_{\triangle SBC}=\dfrac12CK\cdot SB=\dfrac12\cdot 5\cdot 14=35.\]

Ответ: 35

Задание 6
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Из точки \(N\) на плоскость прямоугольника \(ABCD\) опустили перпендикуляр \(NB\). Известно, что \(AD = 7\), \(NA = 24\). Найдите \(ND\).

Добавить задание в избранное


 

Так как \(NB\) – перпендикуляр к плоскости \((ABCD)\), то \(AB\) – проекция \(NA\) на \(ABCD\). Так как \(ABCD\) – прямоугольник, то \(AD\) перпендикулярна \(BA\), следовательно по теореме о трех перпендикулярах \(AD\) перпендикулярна \(NA\) и треугольник \(NAD\) – прямоугольный.

По теореме Пифагора \[AD^2 + NA^2 = ND^2,\] откуда \(ND^2 = 625\), тогда \(ND = \pm 25\). Так как длина – неотрицательна, то \(ND = 25\).

Ответ: 25

Задание 7
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Отрезки \(AB\) и \(CD\) перпендикулярны, отрезки \(DC\) и \(NC\) перпендикулярны. Отрезки \(AB\) и \(NC\) перпендикулярны, \(AD : AB\) как \(1 : 2\). Найдите \[\dfrac{\angle AND}{\angle ANB} = \,?\]

Добавить задание в избранное




 

Так как \(NC\) перпендикулярен \(DC\) и \(AB\), причём \(DC\) и \(AB\) пересекаются, то \(NC\) перпендикулярен плоскости \((ABC)\). Тогда \(DC\) – проекция \(ND\) на \((ABC)\), но \(DC\) перпендикулярен \(AB\), следовательно, по теореме о трех перпендикулярах \(ND\) перпендикулярен \(AB\).

Так как \(AD : AB\) как \(1 : 2\), то \(D\) – середина \(AB\), тогда \(ND\) в треугольнике \(ANB\) является медианой и высотой, следовательно, треугольник \(ANB\) – равнобедренный и \[\angle AND = \dfrac{1}{2}\angle ANB\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{\angle AND}{\angle ANB} = \dfrac{1}{2}.\]

Ответ: 0,5

Как правильно применить теорему о трех перпендикулярах в задачах, которые ежегодно встречаются в ЕГЭ? С приближением аттестационного испытания этот вопрос становится все более актуальным для учащихся старших классов общеобразовательных школ.

О том, как правильно применяется теорема о трех перпендикулярах в задачах ЕГЭ и как научиться оперативно справляться с подобными заданиями, вы узнаете, посетив образовательный портал «Школково». Наши специалисты подготовили весь необходимый базовый материал. Благодаря доступному изложению информации, учащиеся с любым уровнем подготовки смогут научиться правильно решать задачи с применением теоремы о трех перпендикулярах в ЕГЭ. Ознакомиться с теоретическим материалом вы можете, посетив раздел «Теоретическая справка».

После этого, чтобы лучше закрепить изученную информацию, предлагаем вам выполнить соответствующие задания. Сделать это можно в режиме онлайн, находясь в любом городе. Чтобы посмотреть подборку задач, перейдите в раздел «Каталог».