Математика
Русский язык

Пробные ЕГЭ центра "Школково"

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты «Школково». Пробный ЕГЭ 10.04.2017

Задание 1

Потребитель оплатил заводу-производителю 120 тыс. рублей за 800 изделий. Производитель снизил цену одного изделия на 15 руб. Какое максимальное количество изделий может отпустить производитель в счет полученной предоплаты?

Старая цена одного изделия равна \(120\,000:800=150\) рублей. Новая цена изделия составила \(150-15=135\) рублей. Значит, количество изделий, которое может отпустить производитель на \(120\,000\) рублей, равно \[\dfrac{120\,000}{135}=888\frac{120}{135}.\] Так как количество изделий должно быть целым числом, то наибольшее число изделий равно \(888\).

Ответ: 888

Задание 2

На рисунке показана диаграмма продаж автомобилей в автосалоне по месяцам года. Определите по диаграмме минимальное число месячных продаж в летние месяцы.

Летние месяцы – это июнь, июль и август. Из диаграммы видно, что наименьшее количество проданных автомобилей было в июне и составило 50 штук.

Ответ: 50

Задание 3

Из прямоугольной заготовки \(ABCD\) штамп вырезает деталь, изображенную на чертеже. Найдите площадь детали, если размер каждой клетки равен 1 см \(\times\) 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Из прямоугольника \(ABCD\) нужно вырезать два одинаковых куска, каждый из которых представляет собой треугольник с основанием, равным 5, и высотой, проведенной к этому основанию, равной 1. Следовательно, площадь каждого треугольника равна \(\frac12\cdot 1\cdot 5=\frac52\), а площадь двух равна \(5\). Площадь прямоугольника \(ABCD\) равна \(4\cdot 5=20\), следовательно, площадь изделия равна \(20-5=15\).

Ответ: 15

Задание 4

В урне шары с номерами от 1 до 50. Найдите вероятность того, что номер случайно выбранного шара делится на 6, но не делится на 7.

Чисел от 1 до 50, делящихся на 6, 8 штук: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48. Из них на 7 делится только одно число: 42. Следовательно, подходящих шаров 7 штук. Всего шаров столько же, сколько чисел от 1 до 50, то есть 50. Следовательно, вероятность равна отношению числа подходящих исходов к числу всех исходов: \[\dfrac7{50}=0,14.\]

Ответ: 0,14

Задание 5

Решите уравнение \(\sqrt{3x+28}=x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наименьший из них.

ОДЗ уравнения: \(3x+28\geqslant 0\) и \(x\geqslant 0\).
Решим на ОДЗ. Возведем обе части уравнения в квадрат: \[3x+28=x^2 \quad\Leftrightarrow\quad x^2-3x-28=0\] По теореме Виета корнями будут \(x_1=7\) и \(x_2=-4\). Проверкой убеждаемся, что \(x_2\) не подходит по ОДЗ. Следовательно, ответ: \(x=7\).

Ответ: 7

Задание 6

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) сторона \(BC=1\), \(\sin \angle C=0,6\). Найдите основание \(AC\).

Проведем высоту \(BH\).



Так как треугольник равнобедренный, то \(BH\) также является медианой, следовательно, \(AH=HC\). Так как синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то \[\sin\angle C=\dfrac{BH}{BC} \quad\Rightarrow\quad BH=0,6.\] Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle BHC\): \[HC=\sqrt{1^2-0,6^2}=0,8.\] Следовательно, \(AC=2HC=1,6\).

Ответ: 1,6

Задание 7

На рисунке изображен график функции \(y=f(x)\) и касательная к этому графику в точке с абсциссой \(x=2\). Найдите значение выражения \(\dfrac{f'(2)}{\sqrt3}\).

Так как значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной, то \(f'(2)=\mathrm{tg}\,60^\circ=\sqrt3\). Следовательно, \[\dfrac{f'(2)}{\sqrt3}=1.\]

Ответ: 1

Задание 8

Площадь поверхности куба равна 150 кв. см. Найдите площадь поверхности меньшего куба, ребро которого на 2 см меньше ребра исходного. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

Площадь поверхности куба равна сумме площадей всех его шести граней. Так как все грани куба равны, то и их площади равны, следовательно, площадь одной грани равна \(150:6=25\). Так как грань представляет собой квадрат, то ребро куба равно \(\sqrt{25}=5\).
Тогда ребро меньшего куба равно \(5-2=3\). Следовательно, площадь его поверхности равна \(6\cdot 3^2=54\).

Ответ: 54

Задание 9

Найдите значение выражения \[\cos\dfrac{5\pi}6\cdot \mathrm{tg}\,\dfrac{4\pi}3\]

По формулам приведения: \[\begin{aligned} &\cos\dfrac{5\pi}6=\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}6\right)=-\cos\dfrac{\pi}6 =-\dfrac{\sqrt3}2\\[3ex] &\mathrm{tg}\,\dfrac{4\pi}3=\mathrm{tg}\,\left(\pi+\dfrac{\pi}3\right)= \mathrm{tg}\,\dfrac{\pi}3=\sqrt3 \end{aligned}\] Следовательно, значение выражения равно \[-\dfrac{\sqrt3}2\cdot \sqrt3=-1,5.\]

Ответ: -1,5

Задание 10

Энергия (в джоулях), выделяющаяся при абсолютно неупругом соударении двух тел с одинаковой массой \(m\), движущихся с одинаковой скоростью \(v\) м/с под углом \(2\alpha\) друг к другу, определяется выражением \(Q=mv^2\cdot \sin^2\alpha\). При соударении тел, движущихся со скоростью \(10\) м/с точно навстречу друг другу, выделилось \(500\) джоулей. Сколько джоулей энергии выделится при соударении этих же тел, движущихся под углом \(120^\circ\) друг к другу со скоростью \(12\) м/с?

Так как в первом случае тела двигались точно навстречу друг другу, то они двигались под углом \(180^\circ\) друг к другу. Следовательно, подставляя данные в формулу, получим: \[500=m\cdot 10^2\cdot \sin^2\dfrac{180^\circ}2 \quad\Leftrightarrow\quad m=5.\] Значит, во втором случае энергия равна \[Q=5\cdot 12^2\cdot \left(\sin\dfrac{120^\circ}2\right)^2=540.\]

Ответ: 540

Задание 11

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найдите длину поезда. Ответ дайте в метрах.

Рассмотрим рисунок:


 

Фраза “поезд проезжает мимо столба” означает, что в начале движения напротив столба находится голова поезда, а в конце – хвост поезда. То есть, проехав мимо столба, поезд проехал расстояние, в точности равное длине поезда.
Переведем его скорость в м/с: \[60 \ {\small{\text{км/ч}}}=\dfrac{60 \ {\small{\text{км}}}}{1 \ {\small{\text{ч}}}}= \dfrac{60\,000 \ {\small{\text{м}}}}{3600 \ {\small{\text{с}}}}= \dfrac{100}6 \ {\small{\text{м/с}}}\] Следовательно, длина поезда равна \[\dfrac{100}6\cdot 30=500 \ {\small{\text{м.}}}\]

Ответ: 500

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции \(y=4\sin x-5\cos x+11x-10\) на отрезке \(\left[-\dfrac{3\pi}2;0\right].\)

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, изобразим эскиз ее графика на этом отрезке. Для этого найдем ее промежутки возрастания/убывания.
Найдем производную: \[f'(x)=4\cos x+5\sin x+11\] Так как области значения синуса и косинуса – это отрезок \([-1;1]\), то \(-4\leqslant 4\cos x\leqslant 4\) и \(-5\leqslant 5\sin x\leqslant 5\), следовательно, \[-9\leqslant 4\cos x+5\sin x\leqslant 9\] Значит, \[2\leqslant 4\cos x+5\sin x+11\leqslant 20\] Следовательно, производная всегда положительна, значит, функция всегда возрастает. Значит, схематично ее график выглядит так:


 

Следовательно, наибольшее значение на отрезке \(\left[-\dfrac{3\pi}2;0\right]\) функция принимает в его правом конце: \[f_{\text{наиб}}=f(0)=4\sin 0-5\cos 0+11\cdot 0-10=-15.\]

Ответ: -15

Задание 13

а) Решите уравнение \[\sqrt2\cdot \sin \left(\dfrac{3\pi}2-x\right)\sin x=\cos x\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([-5\pi;-4\pi].\)

а) По формуле приведения \(\sin \left(\dfrac{3\pi}2-x\right)=-\cos x\). Следовательно, уравнение примет вид: \[-\sqrt2\cos x\sin x=\cos x\quad\Leftrightarrow\quad \cos x(1+\sqrt2\sin x)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\cos x=0\\[2ex] &\sin x=-\dfrac{\sqrt2}2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Решением первого уравнения являются \(x=\dfrac{\pi}2+\pi m, m\in\mathbb{Z}\).

 

Решением второго уравнения являются \(x=-\dfrac{\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\) и \(x=-\dfrac{3\pi}4+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

 

б) Отберем корни.

 

\(-5\pi\leqslant \dfrac{\pi}2+\pi m\leqslant -4\pi \quad\Rightarrow\quad -5,5\leqslant m\leqslant -4,5 \quad\Rightarrow\quad m=-5\quad \Rightarrow\quad x=-\dfrac{9\pi}2.\)  

\(-5\pi\leqslant -\dfrac{\pi}4+2\pi n\leqslant -4\pi \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{19}8\leqslant n\leqslant -\dfrac{15}8\quad\Rightarrow\quad n=-2\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{17\pi}4.\)  

\(-5\pi \leqslant -\dfrac{3\pi}4+2\pi k\leqslant -4\pi \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{17}8\leqslant k\leqslant -\dfrac{13}8 \quad\Rightarrow\quad k=-2\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{19\pi}4.\)

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}4+2\pi n; \ -\dfrac{3\pi}4+2\pi k; \ \dfrac{\pi}2+\pi m; \quad n,k,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{19\pi}4; \ -\dfrac{9\pi}2; \ -\dfrac{17\pi}4\)

Задание 14

В основании прямой призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) лежит квадрат \(ABCD\) со стороной \(4\), а высота призмы равна \(\sqrt{17}\). Точка \(E\) лежит на диагонали \(BD_1\), причем \(BE=1\).
а) Постройте сечение призмы плоскостью \(A_1C_1E\).
б) Найдите угол наклона этой плоскости к плоскости \(ABC\).

а) Назовем плоскость \((A_1C_1E)\) плоскостью \(\alpha\). Пусть \(O\) – точка пересечения диагоналей грани \(A_1B_1C_1D_1\). Тогда \(O\in \alpha\). Следовательно, вся прямая \(OE\in \alpha\).



Заметим, что прямые \(OE\) и \(BD\) лежат в одной плоскости – плоскости \(BB_1D_1\). Пусть \(E'\) – точка пересечения прямой \(OE\) и прямой \(BD\). Тогда \(E'\in \alpha\). Таким образом, мы получили точку пересечения плоскости \(\alpha\) с гранью \(ABCD\). Так как грани \(A_1B_1C_1D_1\) и \(ABCD\) параллельны, то плоскость \(\alpha\) пересечет их по параллельным прямым. Поэтому проведем в грани \(ABCD\) через точку \(E'\) прямую параллельно \(A_1C_1\). Пусть эта прямая пересекла ребра \(AB\) и \(BC\) в точках \(N\) и \(M\) соответственно.
Таким образом, мы получили сечение \(A_1C_1MN\) призмы плоскостью \(\alpha\).

 

б) Так как основанием призмы является квадрат, а диагонали квадрата перпендикулярны, то \(A_1C_1\perp BD\). Так как \(MN\parallel A_1C_1\), то \(MN\perp BD\).
Необходимо построить линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\), то есть построить перпендикуляры в каждой из плоскостей к их линии пересечения. \(MN\) и есть их линия пересечения, следовательно, в плоскости \(ABC\) уже найден перпендикуляр – это \(ED\). Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах прямая \(OE'\perp MN\) (как наклонная, проекцией которой является прямая \(E'D\)). Следовательно, необходимо найти \(\angle OE'D\).

 

Рассмотрим плоскость \(BB_1D_1D\).



Проведем \(OO'\perp BD\) и найдем \(\mathrm{tg}\,\angle OE'O'\). Для этого нам нужно найти \(E'O'\) (так как \(OO'=DD_1=\sqrt{17}\)).

Заметим, что \(BD=AB\sqrt2=4\sqrt2\), следовательно, \(BO'=0,5BD=2\sqrt2=OD_1\).
Тогда \(BD_1=\sqrt{BD^2+DD_1^2}=7\). Следовательно, \(ED_1=7-1=6\).

Заметим также, что \(\triangle EE'B\sim \triangle EOD_1\) по двум углам. Следовательно, \[\dfrac{E'B}{OD_1}=\dfrac{EB}{ED_1} \quad\Rightarrow\quad E'B= \dfrac{\sqrt2}3.\] Следовательно, \[E'O'=2\sqrt2-\dfrac{\sqrt2}3=\dfrac{5\sqrt2}3.\] Следовательно, \[\mathrm{tg}\,\angle OE'O'=\dfrac{OO'}{E'O'}= \dfrac{\sqrt{17}}{\frac{5\sqrt2}3}=0,3\sqrt{34} \quad\Rightarrow\quad \angle OE'O'=\mathrm{arctg}\,(0,3\sqrt{34}).\]

Ответ:

б) \(\mathrm{arctg}\,(0,3\sqrt{34})\)

Задание 15

Решите неравенство \[2^{2x+4}-16\cdot 2^{x+3}-2^{x+1}+16\leqslant 0\]

Сгруппируем слагаемые в левой части: первое с третьим и второе с четвертым: \[2^{x+1}\left(2^{x+3}-1\right)-16\left(2^{x+3}-1\right)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \left(2^{x+1}-16\right)\left(2^{x+3}-1\right)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \left(2^{x+1}-2^4\right)\left(2^{x+3}-2^0\right)\leqslant 0\] По методу рационализации скобку \(a^x-a^n\) можно заменить на \((a-1)(x-n)\). Сделаем это для двух скобок в левой части: \[(2-1)(x+1-4)(2-1)(x+3-0)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x-3)(x+3)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in [-3;3].\]

Ответ:

\([-3;3]\)

Задание 16

Две окружности касаются внешним образом в точке \(Q\). Прямая \(AB\) касается первой окружности в точке \(A\), а второй – в точке \(B\). Прямая \(AQ\) пересекает вторую окружность в точке \(C\).
а) Докажите, что отрезок \(BC\) – диаметр второй окружности.
б) Найдите площадь треугольника \(ABC\), если радиус первой окружности равен 36, а радиус второй равен 49.

а) Пусть центр первой окружности – точка \(M\), центр второй – точка \(N\). Проведем отрезки \(AM, BN, CN\). Тогда \(AM\perp AB, BN\perp AB\) как радиусы, проведенные в точки касания. Заметим, что если окружности касаются внешним образом, то их центры, а также их точка касания лежат на одной прямой. Следовательно, \(\angle AQM=\angle CQN\) как вертикальные. Заметим также, что \(\triangle AQM\) и \(\triangle CQN\) равнобедренные. Следовательно, \(\angle AMQ=\angle CNQ\).


 

Рассмотрим четырехугольник \(ABNM\). Сумма углов его равна \(360^\circ\), следовательно, его \(\angle N=360^\circ-90^\circ-90^\circ-\angle AMQ=180^\circ-\angle AMQ\).
Тогда \(\angle BNQ+\angle CNQ=180^\circ-\angle AMQ+\angle AMQ=180^\circ\). Это значит, что точки \(B, N\) и \(C\) лежат на одной прямой. Следовательно, так как \(BN\) – радиус, то \(BC\) – диаметр.

 

б) Для того, чтобы найти площадь \(\triangle ABC\), нужно найти его второй катет \(AB\).



Рассмотрим четырехугольник \(ABNM\). Это прямоугольная трапеция с основаниями \(AM=36\) и \(BN=49\). Проведем \(MH\perp BN\). Тогда \(MH=AB\). Так как \(MN=36+49\), а \(HN=BN-AM=49-36\), то по теореме Пифагора из \(\triangle MHN\): \[MH=\sqrt{NM^2-HN^2}=\sqrt{(49+36)^2-(49-36)^2}=\sqrt{4\cdot 36\cdot 49}=84.\] Тогда площадь \(\triangle ABC\) равна \[S=\dfrac12 AB\cdot BC=\dfrac12\cdot 84\cdot 98=4116.\]

Ответ:

б) 4116

Задание 17

Семья взяла в банке ипотечный кредит под \(10\%\) годовых на 8 лет. Условия погашения кредита следующие: по истечении каждого года заемщик погашает банку начисленные проценты за год и \(\frac18\) часть основной суммы. Какую сумму семья взяла в банке, если последний платеж, которым она полностью погасила кредит, составил 605 тысяч рублей? Ответ дайте в миллионах рублей.

Из условия можно сделать вывод, что система платежей по кредиту дифференцированная.

Пусть в ипотеку было взято \(A\) тыс. рублей. Составим таблицу: \[\small{\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг до начисления проц.} &\text{Долг после начисления проц.} & \text{Платеж}\\ \hline 1 & A & A+0,1A & 0,1A+\frac18A \\ \hline 2 & \frac78A & \dfrac78A+0,1\cdot \frac78A & 0,1\cdot \frac78A+\frac18A\\ \hline ... & ... & ... & ...\\ \hline 8 & \frac18A & \frac18A+0,1\cdot \frac18 A & 0,1\cdot \frac18A+ \frac18A \\ \hline \end{array}}\]

Таким образом, последний платеж равен \[\frac18A+0,1\cdot \frac18A=605 \quad\Leftrightarrow\quad A=4400\] Следовательно, в кредит было взято 4400 тыс. рублей или 4,4 млн. рублей.

Ответ: 4,4

Задание 18

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[\sqrt{x^4+(a-3)^4}=2\cdot \big(|x+a-3|+|x-a+3|\big)\]

имеет единственное решение.

Рассмотрим функцию \[f(x)=\sqrt{x^4+(a-3)^4}-2\cdot \big(|x+a-3|+|x-a+3|\big)\]

Эта функция является четной, так как \(f(x)=f(-x)\). Следовательно, если уравнение \(f(x)=0\) будет иметь решение \(x_0\ne 0\), то оно также будет иметь решение \(-x_0\). Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо, чтобы этим решением был \(x=0\). Подставим \(x=0\) в уравнение и найдем \(a\): \[\sqrt{0+(a-3)^4}=2\cdot 2|a-3| \quad\Leftrightarrow\quad |a-3|(|a-3|-4)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &a=3\\ &a=7\\ &a=-1 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Заметим, что данные значения для \(a\) гарантируют, что решением уравнения будет \(x=0\), но не гарантируют, что это решение будет единственным. Следовательно, сделаем проверку и увидим, что при \(a=3\) уравнение принимает вид \[x^2=4|x|,\] решением которого является не только \(x=0\), но и \(x=\pm 4\). Следовательно, значение \(a=3\) не подходит. Остаются только \(a=-1\) и \(a=7\) (проверкой можно убедится, что при них уравнение имеет единственный корень).

Ответ:

\(\{-1;7\}\)

Задание 19

На доске в порядке возрастания написаны пять различных натуральных чисел. Известно, что если стереть первое или последнее из них, то сумма любых двух оставшихся чисел будет больше любого другого из оставшихся чисел.
а) Может ли пятое число быть в 100 раз больше, чем первое?
б) Может ли пятое число быть в 3 раза больше, чем второе?
в) Какое наибольшее значение может принимать отношение суммы первого и пятого чисел к сумме второго и четвертого, если третье число равно 100?

а) Да. Например: 3, 297, 298, 299, 300.

 

б) Нет. Назовем эти числа, расположенные в порядке возрастания, \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\). Тогда после стирания \(a_1\) останутся \(a_2, a_3, a_4, a_5\). Если сумма наименьших двух чисел будет больше наибольшего числа, то есть \(a_2+a_3>a_5\), то и сумма любых двух чисел будет больше любого числа.
После стирания \(a_5\) останутся \(a_1, a_2, a_3, a_4\). Аналогично, достаточно, чтобы \(a_1+a_2>a_4\).

Пусть \(a_5=3a_2\).
Тогда из \(a_2+a_3>a_5\) получаем: \(a_2+a_3>3a_2\), откуда \(a_3>2a_2\). Тогда \(a_3\geqslant 2a_2+1\), \(a_4\geqslant 2a_2+2\) (так как числа расположены в порядке возрастания и являются натуральными). Также можно сказать, что \(a_1\leqslant a_2-1\). \[\begin{array}{ccccc} a_1\leqslant a_2-1 \qquad & a_2 \qquad & a_3\geqslant 2a_2+1 \qquad & a_4\geqslant 2a_2+2 \qquad & a_5=3a_2 \end{array}\] Теперь воспользуемся условием, что \(a_1+a_2>a_4\). Из полученных условий получаем следующую цепочку неравенств: \[2a_2+2\leqslant a_4<a_1+a_2\leqslant 2a_2-1,\] откуда получаем, что \(2a_2+2<2a_2-1\), что равносильно \(2<-1\). Данное неравенство не является верным. Следовательно, предположение неверно и \(a_5\ne 3a_2\).

 

в) Рассмотрим выражение \(\dfrac{a_1+a_5}{a_2+a_4} \qquad (*)\).   Заметим, что так как \(a_3=100\) и числа расположены в порядке возрастания и являются натуральными, то наибольшее значение, которое может принимать \(a_2\) – это 99. Минимальное значение для \(a_4\) – это 101. Наименьшее значение для \(a_2\) – это 52, так как если \(a_2=51\), то максимальное значение для \(a_1\) уже 50, и их сумма тогда максимум равна 101, что уже не может быть строго больше \(a_4\).
Таким образом, \(52\leqslant a_2\leqslant 99\).

 

Если обозначить \(a_2=x\), то максимальное значение для \(a_1\) – это \(x-1\). Так как \(a_2+a_3>a_5\), а \(a_2+a_3=x+100\), то максимальное значение для \(a_5\) – это \(x+100-1\).
Заметим, что дробь \((*)\) будет принимать наибольшее значение, если ее числитель будет как можно больше, а при этом знаменатель как можно меньше. Возьмем наименьшее возможное значение для \(a_4=101\) и рассмотрим функцию (где \(x=a_2\)): \[f(x)=\dfrac{(x-1)+(x+100-1)}{101+x}=\dfrac{98+2x}{101+x},\] где взяты по максимуму значения для \(a_1\) и \(a_5\) и наименьшее значение для \(a_4\). Можно проверкой убедиться, что при таких значениях выполнено условие “если стереть первое или последнее из них, то сумма любых двух оставшихся чисел будет больше любого другого из оставшихся чисел”.
Найдем производную: \[f'(x)=\dfrac{104}{(101+x)^2}\] Заметим, что при всех \(x\in [52;99]\) производная больше нуля, следовательно, функция возрастает. Следовательно, наибольшее значение она будет принимать при наибольшем \(x\), то есть при \(x=99\). Тогда наибольшее значение дроби равно: \[\dfrac{98+2\cdot 99}{101+99}=1,48.\]

Ответ:

а) да

б) нет

в) 1,48