а) Да. Например: 3, 297, 298, 299, 300.
б) Нет. Назовем эти числа, расположенные в порядке возрастания, \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\). Тогда после стирания \(a_1\) останутся \(a_2, a_3, a_4, a_5\). Если сумма наименьших двух чисел будет больше наибольшего числа, то есть \(a_2+a_3>a_5\), то и сумма любых двух чисел будет больше любого числа.
После стирания \(a_5\) останутся \(a_1, a_2, a_3, a_4\). Аналогично, достаточно, чтобы \(a_1+a_2>a_4\).
Пусть \(a_5=3a_2\).
Тогда из \(a_2+a_3>a_5\) получаем: \(a_2+a_3>3a_2\), откуда \(a_3>2a_2\). Тогда \(a_3\geqslant 2a_2+1\), \(a_4\geqslant 2a_2+2\) (так как числа расположены в порядке возрастания и являются натуральными). Также можно сказать, что \(a_1\leqslant a_2-1\). \[\begin{array}{ccccc}
a_1\leqslant a_2-1 \qquad & a_2 \qquad & a_3\geqslant 2a_2+1 \qquad
& a_4\geqslant 2a_2+2 \qquad & a_5=3a_2
\end{array}\] Теперь воспользуемся условием, что \(a_1+a_2>a_4\). Из полученных условий получаем следующую цепочку неравенств: \[2a_2+2\leqslant
a_4<a_1+a_2\leqslant 2a_2-1,\] откуда получаем, что \(2a_2+2<2a_2-1\), что равносильно \(2<-1\). Данное неравенство не является верным. Следовательно, предположение неверно и \(a_5\ne 3a_2\).
в) Рассмотрим выражение \(\dfrac{a_1+a_5}{a_2+a_4} \qquad (*)\).
Заметим, что так как \(a_3=100\) и числа расположены в порядке возрастания и являются натуральными, то наибольшее значение, которое может принимать \(a_2\) – это 99. Минимальное значение для \(a_4\) – это 101. Наименьшее значение для \(a_2\) – это 52, так как если \(a_2=51\), то максимальное значение для \(a_1\) уже 50, и их сумма тогда максимум равна 101, что уже не может быть строго больше \(a_4\).
Таким образом, \(52\leqslant a_2\leqslant 99\).
Если обозначить \(a_2=x\), то максимальное значение для \(a_1\) – это \(x-1\). Так как \(a_2+a_3>a_5\), а \(a_2+a_3=x+100\), то максимальное значение для \(a_5\) – это \(x+100-1\).
Заметим, что дробь \((*)\) будет принимать наибольшее значение, если ее числитель будет как можно больше, а при этом знаменатель как можно меньше. Возьмем наименьшее возможное значение для \(a_4=101\) и рассмотрим функцию (где \(x=a_2\)): \[f(x)=\dfrac{(x-1)+(x+100-1)}{101+x}=\dfrac{98+2x}{101+x},\] где взяты по максимуму значения для \(a_1\) и \(a_5\) и наименьшее значение для \(a_4\). Можно проверкой убедиться, что при таких значениях выполнено условие “если стереть первое или последнее из них, то сумма любых двух оставшихся чисел будет больше любого другого из оставшихся чисел”.
Найдем производную: \[f'(x)=\dfrac{104}{(101+x)^2}\] Заметим, что при всех \(x\in [52;99]\) производная больше нуля, следовательно, функция возрастает. Следовательно, наибольшее значение она будет принимать при наибольшем \(x\), то есть при \(x=99\). Тогда наибольшее значение дроби равно: \[\dfrac{98+2\cdot 99}{101+99}=1,48.\]
Ответ:
а) да
б) нет
в) 1,48
