Клиент вложил некоторую сумму под \(10\%\) годовых, начисляемых на вклад раз в год. Известно, что в конце первого года (после начисления процентов) он снял со своего счета \(10\%\) от имеющейся на тот момент суммы, а в конце второго года (также после начисления процентов) он доложил на счет \(10\%\) от имеющейся суммы. Определите, в конце третьего года (после начисления процентов) увеличилась или уменьшилась сумма на счете после таких манипуляций по сравнению с первоначальным вкладом и на сколько процентов.
Пусть клиент сделал вклад в размере \(A\) рублей. Тогда после начисления процентов в первый год на счете у него уже будет \(1,1A\) рублей. Так как он снял \(10\%\) от этой суммы, то у него осталось \(90\%\) или \(0,9\cdot 1,1A\) рублей.
Тогда в конце второго года банк снова начислил проценты и сумма на счете стала равна \(1,1\cdot (0,9\cdot 1,1A)\) рублей. Далее он доложил \(10\%\), следовательно, на счете у него стало \(110\%\) или \(1,1\cdot (1,1\cdot (0,9\cdot 1,1A))\) рублей.
На третьем году после начисления процентов у него стало \(1,1\cdot
1,1\cdot (1,1\cdot (0,9\cdot 1,1A))\) рублей.
Удобно следить за данными операциями, составив таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline \text{Номер года}&\text{Сумма до начисления }\%
&\text{Сумма после начисления }\%&\text{Манипуляции}\\
\hline 1& A& 1,1A& -\,0,1\cdot (1,1A)\\
\hline 2&0,9\cdot (1,1A)& 1,1\cdot (0,9\cdot 1,1A)& +\,0,1\cdot (1,1\cdot 0,9\cdot 1,1A)\\
\hline 3& 1,1\cdot (1,1\cdot 0,9\cdot 1,1A)& 1,1\cdot (1,1\cdot 1,1\cdot 0,9\cdot 1,1A)&\\
\hline
\end{array}\]
Следовательно, на счете у него стало \[1,1^4\cdot 0,9A=1,31769A,\] что больше первоначального вклада \(A\) на \(31,769\%\).
Ответ: 31,769