Математика
Русский язык

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи про банковский вклад

Банковский вклад — это сумма денег, переданная банку на хранение с целью получить доход в виде начисленных процентов.

 

Раз в какой-то промежуток времени (в задачах это, как правило, месяц или год) банк начисляет на текущую сумму некоторое количество \(r\%\) процентов.

 

Раз в год после начисления процентов клиент, как правило, имеет право доложить на счет любую сумму денег. Также клиент имеет право снимать со счета любую сумму (естественно, не превышающую имеющуюся). Время, когда он может это сделать, указывается в задаче.

 

Пример: В январе \(2014\) года клиент положил в банк \(30\,000\) рублей под \(10\%\) годовых, которые банк начисляет раз в год в декабре. Сколько рублей будет на счете у клиента в январе \(2017\) года?

 

То, что банк начисляет на текущую сумму \(10\%\), значит, что после начисления процентов сумма будет составлять \(110\%\) от суммы, находящейся на счете до начисления процентов.
Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма на счете до начисления} \ \%&\text{Сумма на счете после начисления} \ \%\\ &\text{(январь)}&\text{(декабрь)}\\ \hline 2014&30\,000&1,1\cdot 30\,000\\ \hline 2015&1,1\cdot 30\,000&1,1^2\cdot 30\,000\\ \hline 2016&1,1^2\cdot 30\,000&1,1^3\cdot 30\,000\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, в декабре \(2016\) года после начисления процентов на счете у клиента будет \(1,1^3\cdot 30\,000\) рублей. Эта же сумма будет у него на счете и в январе \(2017\) года (т.к. проценты начисляются только в декабре).

 

Значит, ответом будет \(39\,930\) рублей.

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Клиент вложил некоторую сумму под \(10\%\) годовых, начисляемых на вклад раз в год. Известно, что в конце первого года (после начисления процентов) он снял со своего счета \(10\%\) от имеющейся на тот момент суммы, а в конце второго года (также после начисления процентов) он доложил на счет \(10\%\) от имеющейся суммы. Определите, в конце третьего года (после начисления процентов) увеличилась или уменьшилась сумма на счете после таких манипуляций по сравнению с первоначальным вкладом и на сколько процентов.

Добавить задание в избранное

Пусть клиент сделал вклад в размере \(A\) рублей. Тогда после начисления процентов в первый год на счете у него уже будет \(1,1A\) рублей. Так как он снял \(10\%\) от этой суммы, то у него осталось \(90\%\) или \(0,9\cdot 1,1A\) рублей.
Тогда в конце второго года банк снова начислил проценты и сумма на счете стала равна \(1,1\cdot (0,9\cdot 1,1A)\) рублей. Далее он доложил \(10\%\), следовательно, на счете у него стало \(110\%\) или \(1,1\cdot (1,1\cdot (0,9\cdot 1,1A))\) рублей.
На третьем году после начисления процентов у него стало \(1,1\cdot 1,1\cdot (1,1\cdot (0,9\cdot 1,1A))\) рублей.
Удобно следить за данными операциями, составив таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Сумма до начисления }\% &\text{Сумма после начисления }\%&\text{Манипуляции}\\ \hline 1& A& 1,1A& -\,0,1\cdot (1,1A)\\ \hline 2&0,9\cdot (1,1A)& 1,1\cdot (0,9\cdot 1,1A)& +\,0,1\cdot (1,1\cdot 0,9\cdot 1,1A)\\ \hline 3& 1,1\cdot (1,1\cdot 0,9\cdot 1,1A)& 1,1\cdot (1,1\cdot 1,1\cdot 0,9\cdot 1,1A)&\\ \hline \end{array}\]
Следовательно, на счете у него стало \[1,1^4\cdot 0,9A=1,31769A,\] что больше первоначального вклада \(A\) на \(31,769\%\).

Ответ: 31,769

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Владелец автосалона решил разделить свой капитал на \(3\) части и вложить их в \(3\) различных банка, причем годовые процентные ставки в этих банках относятся как \(2:3:5\). В каком отношении он должен поделить свой капитал, чтобы через год чистая прибыль от вкладов во всех трех банках была одинакова?

Добавить задание в избранное

Обозначим за \(2y\) процентную ставку в первом банке, тогда в остальных банках ставки будут \(3y\%\) и \(5y\%\). Пусть вклад в первый банк составил \(A_{1}\), во второй – \(A_{2}\), в третий – \(A_{3}\). Составим таблицу:
\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Банк}&\text{Размер вклада до} &\text{Размер вклада после} &\text{Чистая прибыль}\\ &\text{начисления }\%&\text{начисления }\%&\\ \hline &&&\\ 1&A_{1} &\dfrac{100+2y}{100}\cdot A_{1}&A_{1}\cdot \left(\dfrac{100+2y}{100}-1\right)\\ &&&\\ \hline &&&\\ 2&A_{2} &\dfrac{100+3y}{100}\cdot A_{2}&A_{2}\cdot \left(\dfrac{100+3y}{100}-1\right)\\ &&&\\ \hline &&&\\ 3&A_{3} &\dfrac{100+5y}{100}\cdot A_{3}&A_{3}\cdot \left(\dfrac{100+5y}{100}-1\right)\\ &&&\\ \hline \end{array}\]

Т.к. чистая прибыль во всех банках должна быть одинакова, то   \(A_{1}\cdot \left(\dfrac{100+2y}{100}-1\right)=A_{2}\cdot \left(\dfrac{100+3y}{100}-1\right)=A_{3}\cdot \left(\dfrac{100+5y}{100}-1\right) \Leftrightarrow \)   \(2A_{1}=3A_{2}=5A_{3} \Rightarrow A_{1}:A_{2}:A_{3}=15:10:6\).

Ответ:

\(15:10:6\).

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Алексей решил внести некоторую сумму \(A\) рублей в банк под целое число \(y\) процентов годовых. Каждый год после начисления процентов он дополнительно вносит на счет сумму, равную половине от той, которая находилась на счете у Алексея в начале текущего года. Какая наименьшая процентная ставка \(y\) должна быть у банка, чтобы к концу третьего года (после внесения третьей дополнительной суммы) сумма на счете была не менее \(8A\) рублей?

Добавить задание в избранное

Составим таблицу, обозначив за \(t=\dfrac{100+y}{100}\): \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма на счете} & \text{Сумма на счете} & \text{Сумма на счете}\\ & \text{до начисления }\% & \text{после начисления }\% & \text{после дополнительного взноса} \\ \hline &&&\\ 1 & A & tA & tA+\frac{1}{2}A\\ &&&\\ \hline &&&\\ 2 & tA+\frac{1}{2}A & t(tA+\frac{1}{2}A) & t(tA+\frac{1}{2}A)+\frac{1}{2}(tA+\frac{1}{2}A) \\ &&&\\ \hline &&&\\ 3 & t(tA+\frac{1}{2}A)+\frac{1}{2}(tA+\frac{1}{2}A) & t(t(tA+\frac{1}{2}A)+\frac{1}{2}(tA+\frac{1}{2}A)) & t(t(tA+\frac{1}{2}A)+\frac{1}{2}(tA+\frac{1}{2}A))+\\ &&&\\ &&& +\frac{1}{2}(t(tA+\frac{1}{2}A)+\frac{1}{2}(tA+\frac{1}{2}A))\\ &&&\\ \hline \end{array}\]

По условию итоговая сумма на счете должна быть не менее \(8A \Rightarrow\)

\(t(t(tA+\frac{A}{2})+\frac{1}{2}(tA+\frac{1}{2}A))+\frac{1}{2}(t(tA+\frac{1}{2}A)+\frac{1}{2}(tA+\frac{1}{2}A)) \geqslant 8A\)

Преобразовав левую часть неравенства, получим:

\(t^3A+\dfrac{3t^2A}{2}+\dfrac{3tA}{4}+\dfrac{A}{8} \geqslant 8A \Longleftrightarrow \dfrac{A(2t+1)^3}{8} \geqslant 8A\)

Решив данное неравенство, получим: \(t \geqslant 1,5 \Rightarrow y \geqslant 50\)

Таким образом, наименьшее целое значение \(y=50\%\).

Ответ:

\(50\%\).

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В банке оформили два одинаковых вклада под один и тот же процент годовых на 3 года. По первому вкладу были проделаны следующие манипуляции: в конце первого года (после начисления процентов) со счета было снято \(20\%\) от имеющейся там суммы, а в конце второго (после начисления процентов) доложено \(30\%\) от имеющейся там суммы. По второму вкладу: в конце первого года (после начисления процентов) на счет было доложено \(20\%\) от имеющейся там суммы, а в конце второго (после начисления процентов) снято \(30\%\) от имеющейся там суммы.
Определите, на каком из двух счетов в конце третьего года после проделанных действий оказалось больше денег? Найдите отношение суммы, находящейся на первом счете, к сумме, находящейся на втором счете.

Добавить задание в избранное

Пусть оба вклада были размером \(A\) рублей. Пусть после начисления процентов вклад увеличивался в \(t\) раз.

Составим таблицу для первого вклада: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Сумма до начисления }\% &\text{Сумма после начисления }\%&\text{Манипуляции}\\ \hline 1& A& tA & -\,0,2\cdot (tA)\\ \hline 2&0,8\cdot (tA)& t\cdot (0,8\cdot tA) & +\,0,3\cdot (t\cdot 0,8\cdot tA)\\ \hline 3& 1,3\cdot (t\cdot 0,8\cdot tA)& t\cdot (1,3\cdot t\cdot 0,8\cdot tA)&\\ \hline \end{array}\]

 

Следовательно, в конце третьего года на счете было \[1,3\cdot 0,8\cdot t^3A=1,04t^3A \quad {\small{\text{рублей.}}}\]

Составим таблицу для второго вклада: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Сумма до начисления }\% &\text{Сумма после начисления }\%&\text{Манипуляции}\\ \hline 1& A& tA & +\,0,2\cdot (tA)\\ \hline 2&1,2\cdot (tA)& t\cdot (1,2\cdot tA) & -\,0,3\cdot (t\cdot 1,2\cdot tA)\\ \hline 3& 0,7\cdot (t\cdot 1,2\cdot tA)& t\cdot (0,7\cdot t\cdot 1,2\cdot tA)&\\ \hline \end{array}\]

 

Следовательно, в конце третьего года на счете было \[1,2\cdot 0,7\cdot t^3A=0,84t^3A \quad {\small{\text{рублей.}}}\]

Заметим, что по первому вкладу на счете оказалась большая сумма. Отношение равно \[1,04:0,84=26:21.\]

Ответ:

26:21

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Ваня сделал вклад в банке на 3 года. Раз в год банк начисляет на сумму, находящуюся на счете, некоторое количество процентов. У Вани есть возможность в один из первых двух лет (после начисления процентов) снять со счета \(20\%\) от имеющейся там суммы, а в другой год (из первых двух лет) — доложить также \(20\%\) от имеющейся там суммы. Или сделать наоборот. Определите, какое из этих действий спустя 3 года принесет Ване большую выгоду и сколько процентов составит эта выгода?

Добавить задание в избранное

Пусть Ваня положил в банк \(A\) рублей. Пусть каждый год банк увеличивает сумму, находящуюся на счете, в \(t\) раз. Рассмотрим два случая:

1) сначала он снял \(20\%\), затем доложил. \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Сумма до начисления }\% &\text{Сумма после начисления }\%&\text{Манипуляции}\\ \hline 1& A& tA & -\,0,2\cdot (tA)\\ \hline 2&0,8\cdot (tA)& t\cdot (0,8\cdot tA) & +\,0,2\cdot (t\cdot 0,8\cdot tA)\\ \hline 3& 1,2\cdot (t\cdot 0,8\cdot tA)& t\cdot (1,2\cdot t\cdot 0,8\cdot tA)&\\ \hline \end{array}\]

 

2) сначала он доложил \(20\%\), затем снял. \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Сумма до начисления }\% &\text{Сумма после начисления }\%&\text{Манипуляции}\\ \hline 1& A& tA & +\,0,2\cdot (tA)\\ \hline 2&1,2\cdot (tA)& t\cdot (1,2\cdot tA) & -\,0,2\cdot (t\cdot 1,2\cdot tA)\\ \hline 3& 0,8\cdot (t\cdot 1,2\cdot tA)& t\cdot (0,8\cdot t\cdot 1,2\cdot tA)&\\ \hline \end{array}\]

 

Таким образом, мы видим, что в обоих случаях в конце третьего года на счете у Вани будет \[0,8\cdot 1,2\cdot t^3A \quad {\small{\text{рублей.}}}\]

Следовательно, выгода составляет \(0\%\).

Ответ: 0

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В феврале женщина оформила в банке вклад на 4 года. Каждый год в ноябре банк начисляет на вклад \(8\%\). В декабре первого года пользования услугами данного банка женщина решила купить квартиру и сняла для этой цели со своего счета \(8\) млн. рублей. Ровно через два года она продала эту квартиру и сразу же вернула на счет в банке те же \(8\) млн. рублей. Определить, сколько рублей потеряла по истечении срока действия вклада из-за подобных действий эта женщина.

Добавить задание в избранное

Пусть размер вклада составил \(A\) млн. рублей. Составим таблицу, описывающую действия, происходившие со вкладом: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Сумма в феврале} &\text{Сумма в ноябре}&\text{Манипуляции}\\ \hline 1& A & 1,08A & -\,8\\ \hline 2& 1,08A-8 & 1,08 (1,08A-8) & \\ \hline 3& 1,08 (1,08A-8) & 1,08^2 (1,08A-8) & +\,8\\ \hline 4&1,08^2 (1,08A-8)+8 & 1,08(1,08^2 (1,08A-8)+8)&\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, спустя четыре года на счете у женщины было \[1,08(1,08^2 (1,08A-8)+8)=1,08^4A-8\cdot 1,08(1,08-1)(1,08+1) \quad {\small{\text{млн. рублей}}}\]

Если бы она не совершала данные манипуляции, то каждый год ее вклад увеличивался бы в \(1,08\) раз и к концу четвертого года составил бы \(1,08^4A\) млн. рублей. Следовательно, из-за подобных действий ее вклад уменьшился на \[8\cdot 1,08(1,08-1)(1,08+1)=8\cdot 1,08\cdot 0,08\cdot 2,08=1,437696\quad {\small{\text{млн. рублей}}}\]

Ответ:

\(1\,437\,696\) рублей

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В январе 2014 года Андрей сделал вклад в размере \(6\,640\,000\) рублей под \(y\) процентов годовых. В феврале 2014 года он захотел купить квартиру стоимостью \(9\) млн. рублей, но решил для этого взять кредит под \(21\%\) годовых на 15 лет, который необходимо выплачивать дифференцированными платежами. Найдите наименьшее число \(y\), чтобы процентов, начисляемых на его вклад каждый год, было достаточно для того, чтобы вносить платежи в счет погашения кредита.

Добавить задание в избранное

Заметим, что так как кредит должен выплачиваться дифференцированными платежами, то из их определения следует, что первый платеж по кредиту будет наибольшим среди всех платежей.
Так как каждый платеж по такому кредиту состоит из двух частей: \(\frac1{15}\) часть от \(9\) млн. рублей плюс проценты, “набежавшие” на долг за текущий год, то первый платеж будет равен \[\dfrac1{15}\cdot 9000+0,21\cdot 9000 \ \ {\small{\text{тыс. рублей.}}}\] (так как в первый год пользования кредитом долг равен \(9\) млн. рублей или, что то же самое, \(9000\) тыс. рублей)

 

Рассмотрим вклад. В первый год на вклад “набегут” проценты в размере \(0,01y\cdot 6640\) тыс. рублей. Этой суммы должно хватить для того, чтобы сделать первый платеж. Следовательно, \[0,01y\cdot 6640\geqslant \dfrac1{15}\cdot 9000+0,21\cdot 9000 \qquad (*)\]

Заметим, что таким образом, если он снимет в первый год со счета не более \(0,01y\cdot 6640\) тыс. рублей, то на счете у него останется как минимум \(6640\) тыс. рублей, то есть точно не меньше, чем было в начале первого года. Следовательно, “набежавших” процентов во второй год также хватит на то, чтобы сделать второй платеж (ведь он меньше первого платежа!). Такое же рассуждение относится и к всем следующим годам.
Следовательно, нам важно, чтобы именно первых “набежавших” процентов хватило на то, чтобы сделать первый платеж.

\[y\geqslant \dfrac{83}3\cdot \dfrac{9000}{6640} \quad\Rightarrow\quad y\geqslant \dfrac{3000}{80}=37\frac12\]

Следовательно, наименьшее подходящее \(y\) равно \(37,5\%\).

Ответ: 37,5