Математика
Русский язык

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение тригонометрических уравнений на формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения с подстановкой в них \(\sin x\) и \(\cos x\) выглядят следующим образом: \[\begin{array}{l} \\ I. \ (\sin x\pm \cos x)^2=\sin^2x\pm 2\sin x\cos x+\cos^2x=1\pm \sin{2x}\\\\ \hline\\ II. \ \cos^2x-\sin^2x=\cos{2x}\\\\ \hline\\ III. \ \sin^3x\pm\cos^3x=(\sin x\pm\cos x)(\sin^2x\mp\sin x\cos x+\cos^2x)=(\sin x\pm\cos x)(1\mp \frac12 \sin{2x})\\\\ \hline\\ IV. \ (\sin x\pm \cos x)^3=\sin^3x\pm \cos^3x\pm 3\sin x\cos x(\sin x\pm \cos x)=(1\pm\sin{2x})(\sin x\pm\cos x)\\ \end{array}\]

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin^3x+\cos^3x=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{\pi}2; \pi\right].\)

Добавить задание в избранное

а) По формуле суммы кубов \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\), а также учитывая, что \(\sin^2x+\cos^2x=1\), имеем: \[(\sin x+\cos x)(\sin^2x-\sin x\cos x+\cos^2x)=0\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x+\cos x=0\\ &1-\sin x\cos x=0\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Так как \(\sin x\cdot \cos x=0,5\sin 2x\), то \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=-\cos x \ \Big|:\cos x\\ &0,5\sin 2x=1\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\mathrm{tg}\,x=-1\\ &\sin 2x=2\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Второе уравнение не имеет решений, так как \(|\sin \alpha|\leqslant 1\) при любом \(\alpha\). Первое уравнение имеет решения: \[x=-\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни: \[-\dfrac{\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}4+\pi n\leqslant \pi \quad\Leftrightarrow \quad -\dfrac15\leqslant n\leqslant \dfrac54\quad\Rightarrow\quad n=0;1 \quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}4; \dfrac{3\pi}4\]

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{\pi}4; \dfrac{3\pi}4\)

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\cos 2x+\cos x+\sin x=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие интервалу \((0;\pi)\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Применим формулу косинуса двойного угла: \(\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\):

\[(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)+ (\cos x+\sin x)=0 \Rightarrow (\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x+1)=0 \Rightarrow\] \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\cos x+\sin x=0\\ & \cos x-\sin x=-1 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Первое уравнение является однородным первом степени, поэтому путем деления правой и левой частей равенства на \(\cos x\) сводится к \(\mathrm{tg}\,x=-1 \Rightarrow x_0=-\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

Второе уравнение является неоднородным первой степени. Разделим обе части равенства на \(\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2\):

\[\dfrac{\sqrt2}2\cos x-\dfrac{\sqrt2}2\sin x=-\dfrac{\sqrt2}2 \Rightarrow \cos\dfrac{\pi}4\cos x-\sin\dfrac{\pi}4\sin x=-\dfrac{\sqrt2}2 \Rightarrow \cos \left(x+\dfrac{\pi}4\right)=-\dfrac{\sqrt2}2\]

Решением данного уравнения являются \(x_1=-\pi+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\) и \(x_2=\dfrac{\pi}2+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\)

 

б) Отберем корни:

 

1) \(0<-\dfrac{\pi}4+\pi n<\pi \Rightarrow \dfrac14<n<\dfrac54 \Rightarrow n=1\Rightarrow x=\dfrac{3\pi}4\)  

2) \(0<-\pi+2\pi k<\pi \Rightarrow \dfrac12<k<1 \Rightarrow k\in\varnothing\)  

3) \(0<\dfrac{\pi}2+2\pi m<\pi\Rightarrow -\dfrac14<m<\dfrac14 \Rightarrow m=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}2\)  

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}4+\pi n, -\pi+2\pi k,\dfrac{\pi}2+2\pi m, \ n,k,m \in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{\pi}2; \dfrac{3\pi}4\)

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\cos x-\sin x+1+2\sin x\cos x=0\]

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку \((-7\pi;-3\pi)\).

Добавить задание в избранное

а) Преобразуем уравнение к виду:

\[\cos x-\sin x-(1-2\sin x\cos x)+2=0\]

Тогда по формуле сокращенного умножения \((\sin x-\cos x)^2=1-2\sin x\cos x\) можно записать:

\[-(\sin x-\cos x) -(\sin x-\cos x)^2+2=0\]

Сделаем замену переменной: \(t=\sin x-\cos x\). Тогда уравнение примет вид:

\[-t-t^2+2=0 \quad \Rightarrow \quad t^2+t-2=0 \quad \Rightarrow \quad t_1=-2, \ t_2=1\]

Сделаем обратную замену переменной:

 

1) \(\sin x-\cos x=-2 \ |:\sqrt2 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\sqrt2}2\sin x-\dfrac{\sqrt2}2\cos x=-\sqrt2 \quad \Rightarrow \)

 

\(\Rightarrow \quad \sin x\cos\dfrac{\pi}4-\cos x\sin \dfrac{\pi}4=-\sqrt2 \quad \Rightarrow \quad \sin \left(x-\dfrac{\pi}4\right)=-\sqrt2\)

 

Т.к. область значений синуса — это отрезок \([-1;1]\), то данное уравнение не имеет решений, т.к. \(-\sqrt2<-1\).

 

2) \(\sin x-\cos x=1 \ |:\sqrt2 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\sqrt2}2\sin x-\dfrac{\sqrt2}2\cos x=\dfrac{\sqrt2}2 \quad \Rightarrow \quad \sin\left(x-\dfrac{\pi}4\right)=\dfrac{\sqrt2}2 \quad \Rightarrow \)

 

\(\Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x-\dfrac{\pi}4=\dfrac{\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[1ex] &x-\dfrac{\pi}4=\dfrac{3\pi}4+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[1ex] &x=\pi+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\)

 

б) Отберем корни.

\[-7\pi<\dfrac{\pi}2+2\pi n<-3\pi \quad \Rightarrow \quad -\dfrac{15}4<n<-\dfrac74\]

Таким образом, среди целых чисел подходят только \(n=-3;-2\), при которых получаются корни \(x=-\dfrac{11\pi}2; \ -\dfrac{7\pi}2\).

 

\[-7\pi<\pi+2\pi m<-3\pi \quad \Rightarrow \quad -4<m<-2\]

Таким образом, среди целых чисел подходит только \(m=-3\), при котором получается корень \(x=-5\pi\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+2\pi n; \pi+2\pi m; n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{11\pi}2; \ -5\pi; \ -\dfrac{7\pi}2\)

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin^3x-\cos^3x+\cos2x=0\]

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{\pi}2;\pi\right]\).

Добавить задание в избранное

а) По формулам сокращенного умножения:

 

\(\sin^3x-\cos^3x=(\sin x-\cos x)(\sin^2x+\sin x\cos x+\cos^2x)=(\sin x-\cos x)(1+\sin x\cos x)\);

 

\(\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\).

 

Значит, уравнение можно переписать в виде:

\[\begin{aligned} &(\sin x-\cos x)(1+\sin x\cos x)+(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=0 \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow \quad &(\cos x-\sin x)(-1-\sin x\cos x+\cos x+\sin x)=0 \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow \quad &\left[ \begin{gathered} \cos x-\sin x=0\\ -1-\sin x\cos x+\cos x+\sin x=0 \end{gathered} \right. \end{aligned}\]

Решим каждое уравнение по отдельности.
1) Первое уравнение является однородным и решается делением обеих частей уравнения, например, на \(\cos x\):

\[\dfrac{\cos x}{\cos x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}=0 \quad \Rightarrow \quad 1-\mathrm{tg}\,x=0 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{tg}\,x=1 \quad \Rightarrow \quad x=\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\] 2) Второе уравнение решается разложением на множители:

 

\(-1-\sin x\cos x+\cos x+\sin x=0 \quad \Rightarrow \quad \sin x-1-(\sin x\cos x-\cos x)=0\quad \Rightarrow \)

 

\(\Rightarrow \quad (\sin x-1)-\cos x(\sin x-1)=0 \quad \Rightarrow \quad (\sin x-1)(1-\cos x)=0 \quad \Rightarrow\)

 

\(\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\sin x=1\\ &\cos x=1 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}2+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\\[1ex] &x=2\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\)

 

б) Отберем корни по окружности:


 

Заметим, что одна точка, задающая серию корней \(\frac{\pi}4+\pi+2\pi n_2\) из решения первого уравнения, не входит в отрезок \(\left[-\frac{\pi}2;\pi\right]\).

 

Нетрудно увидеть, что из остальных точек в этот отрезок попадает по одному углу: \(0\) (при \(k=0\)), \(\frac{\pi}4\) (при \(n_1=0\)) и \(\frac{\pi}2\) (при \(m=0\)).

Ответ:

а) \(2\pi k; \dfrac{\pi}4+\pi n; \dfrac{\pi}2+2\pi m; \ n,m,k\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(0; \dfrac{\pi}4; \dfrac{\pi}2\)

Задание 5
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin^4x-\cos^4x=\dfrac12\]

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left(-\dfrac{\pi}4; \dfrac{11\pi}4\right)\).

Добавить задание в избранное

а) Применим формулу разности квадратов \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) для левой части:

 

\((\sin^2x+\cos^2x)(\sin^2x-\cos^2x)=\dfrac12 \quad \Rightarrow \quad \sin^2x-\cos^2x=\dfrac12 \quad \Rightarrow \quad -\cos2x=\dfrac12 \quad \Rightarrow\)

 

\(\Rightarrow \quad \cos2x=-\dfrac12 \quad \Rightarrow \quad 2x=\pm \dfrac{2\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z} \quad \Rightarrow \quad x=\pm\dfrac{\pi}3+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) Отберем корни:

\[-\dfrac{\pi}4<\dfrac{\pi}3+\pi n_1<\dfrac{11\pi}4 \quad \Rightarrow \quad -\dfrac7{12}<n_1<\dfrac{29}{12}\]
Среди целых чисел подходят \(n_1=0;1;2\), при которых получаются корни \(x=\dfrac{\pi}3; \ \dfrac{4\pi}3; \ \dfrac{7\pi}3\).

 

\[-\dfrac{\pi}4<-\dfrac{\pi}3+\pi n_2<\dfrac{11\pi}4 \quad \Rightarrow \quad \dfrac1{12}<n_2<\dfrac{37}{12}\]
Среди целых чисел подходят \(n_2=1;2;3\), при которых получаются корни \(x=\dfrac{2\pi}3; \ \dfrac{5\pi}3; \ \dfrac{8\pi}3\).

Ответ:

а) \(\pm \dfrac{\pi}3+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{\pi}3; \dfrac{2\pi}3; \dfrac{4\pi}3; \dfrac{5\pi}3; \dfrac{7\pi}3; \dfrac{8\pi}3\)

Задание 6
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin^4x+\cos^4x=\dfrac34\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие интервалу \(\left(0;\pi\right)\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Добавим и вычтем в левой части уравнения \(2\sin^2x\cos^2x\):

\[\begin{gathered} \sin^4x+2\sin^2x\cos^2x+\cos^4x-2\sin^2x\cos^2x=\dfrac34 \Rightarrow (\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x=\dfrac34 \Rightarrow\\ 1-2\sin^2x\cos^2x=\dfrac34 \Rightarrow 4\sin^2x\cos^2x=\dfrac12\end{gathered}\]

По формуле двойного угла для синуса \(2\sin x\cos x=\sin2x \Rightarrow (2\sin x\cos x)^2=\sin^22x \Rightarrow 4\sin^2x\cos^2x=\sin^22x\). Следовательно:

\[\sin^22x=\dfrac12 \Rightarrow \sin 2x=\pm\dfrac{\sqrt2}2\]

Отметим точки \(\pm\dfrac{\sqrt2}2\) на оси синусов. Получим четыре точки на окружности, в которых находятся все углы, синус которых равен \(-\dfrac{\sqrt2}2\) или \(\dfrac{\sqrt2}2\).


 

Заметим, что эти четыре точки разбили окружность на четыре равных дуги (длина дуги между любыми двумя соседними точками равна \(\frac{2\pi}4=\frac{\pi}2\)). Это значит, что все эти точки можно записать в виде одной формулы: \(2x=\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2 n, \in\mathbb{Z}\), следовательно:

\[x=\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi}4 n, \in\mathbb{Z}\]

б) Отбор корней.   \[0<\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi}4 n<\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac12<n<3\frac12\quad\Rightarrow\quad n=0;1;2;3\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}8; \ \dfrac{3\pi}8; \ \dfrac{5\pi}8; \ \dfrac{7\pi}8\]

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi}4 n, \in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{\pi}8; \ \dfrac{3\pi}8; \ \dfrac{5\pi}8; \ \dfrac{7\pi}8\)

Задание 7
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin^32x-\cos^32x=\sin2x-\cos2x\]

б) Найдите сумму его корней, принадлежащих промежутку \(\left[-\dfrac{\pi}4; \pi\right)\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

По формуле сокращенного умножения \(a^3-b^3=(a-b)(a2+ab+b^2)\) имеем: \(\sin^32x-\cos^32x=(\sin2x-\cos2x)(\sin^22x+\sin2x\cos 2x+\cos^22x)=\)
\(=(\sin2x-\cos2x)(1+\sin2x\cos2x)\).

 

Таким образом, уравнение примет вид: \[(\sin2x-\cos2x)(1+\sin2x\cos2x)-(\sin2x-\cos2x)=0 \Rightarrow (\sin2x-\cos2x)\sin2x\cos2x=0\]

По формуле двойного угла для синуса \(\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac12\sin2\alpha\) уравнение преобразуется к виду:

\[(\sin2x-\cos2x)\cdot \dfrac12\sin4x=0 \Rightarrow\]

\[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\sin2x-\cos2x=0\\ &\sin4x=0 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\mathrm{tg}\,2x=1\\ &4x=\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi}2 m, m\in\mathbb{Z}\\ &x=\dfrac{\pi}4 n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни:

\[-\dfrac{\pi}4\leqslant \dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi}2 m<\pi \Rightarrow -\dfrac34\leqslant m < \dfrac74\]

Целые \(m\), удовлетворяющие данному неравенству, это \(m=0;1\). Им соответствуют углы \(\dfrac{\pi}8; \dfrac{5\pi}8\).

\[-\dfrac{\pi}4\leqslant \dfrac{\pi}4 n<\pi \Rightarrow -1\leqslant n<4\]

Целые \(n\), удовлетворяющие данному неравенству, это \(n=-1;0;1;2;3\). Им соответствуют углы \(-\dfrac{\pi}4;0;\dfrac{\pi}4;\dfrac{\pi}2; \dfrac{3\pi}4\).

Таким образом, сумма всех корней, принадлежащих промежутку: \[\dfrac{\pi}8+ \dfrac{5\pi}8-\dfrac{\pi}4+0+\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2+ \dfrac{3\pi}4=2\pi\]

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi}2 m, \dfrac{\pi}4 n, \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(2\pi\)