Математика
Русский язык

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение тригонометрических уравнений на формулы сокращенного умножения (страница 2)

Формулы сокращенного умножения с подстановкой в них \(\sin x\) и \(\cos x\) выглядят следующим образом: \[\begin{array}{l} \\ I. \ (\sin x\pm \cos x)^2=\sin^2x\pm 2\sin x\cos x+\cos^2x=1\pm \sin{2x}\\\\ \hline\\ II. \ \cos^2x-\sin^2x=\cos{2x}\\\\ \hline\\ III. \ \sin^3x\pm\cos^3x=(\sin x\pm\cos x)(\sin^2x\mp\sin x\cos x+\cos^2x)=(\sin x\pm\cos x)(1\mp \frac12 \sin{2x})\\\\ \hline\\ IV. \ (\sin x\pm \cos x)^3=\sin^3x\pm \cos^3x\pm 3\sin x\cos x(\sin x\pm \cos x)=(1\pm\sin{2x})(\sin x\pm\cos x)\\ \end{array}\]

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin^6x+\cos^6x=0,25\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((0;1)\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

По формуле сокращенного умножения \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) имеем: \(\sin^6x+\cos^6x=(\sin^2x)^3+(\cos^2x)^3=(\sin^2x+\cos^2x)(\sin^4x-\sin^2x\cos^2x+\cos^4x)=\)
\(=1\cdot (\sin^4x-\sin^2x\cos^2x+\cos^4x)\).

 

Добавим и вычтем в скобках \(2\sin^2x\cos^2x\) и получим:
\(\sin^4x+2\sin^2x\cos^2x+\cos^4x-3\sin^2x\cos^2x=(\sin^2x+\cos^2x)^2-3\sin^2x\cos^2x=\)
\(=1-3\sin^2x\cos^2x\).

 

Таким образом, уравнение преобразуется к виду:

\[1-3\sin^2x\cos^2x=0,25 \Longrightarrow \sin^2x\cos^2x=\dfrac14\]

По формуле двойного угла для синуса \(\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac12\sin2\alpha \Longrightarrow (\sin\alpha\cos\alpha)^2=\dfrac14\sin^22\alpha \Rightarrow\) уравнение равносильно:

\[\dfrac14\sin^24x=\dfrac14 \Longrightarrow \sin^24x=1 \Longrightarrow\sin4x=\pm1 \Longrightarrow 4x=\dfrac{\pi}2+\pi n, n\in\mathbb{Z} \Longrightarrow x=\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi}4n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни:

\[0<\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi}4n<1 \quad \Rightarrow \quad -\dfrac12<n<\dfrac4{\pi}-\dfrac12\]

Т.к. \(3<\pi<4 \quad \Rightarrow \quad 1<\dfrac4{\pi}<\dfrac43\quad \Rightarrow\quad \dfrac12<\dfrac4{\pi}-\dfrac12<\dfrac56\), следовательно, целые \(n\), удовлетворяющие неравенству, это \(n=0\). Тогда \(x=\dfrac{\pi}8\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi}4n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{\pi}8\)

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin^4x-\cos^4x+\cos2x=\sin x+\cos x\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left(-\dfrac{5\pi}2; 0\right)\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Т.к. по формуле сокращенного умножения \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) выражение \(\sin^4x-\cos^4x=(\sin^2x-\cos^2x)(\sin^2x+\cos^2x)=(\sin^2x-\cos^2x)\cdot 1\), а по формуле косинуса двойного угла \(\cos2x=\cos^2x-\sin^2x\), то уравнение примет вид:

\[\sin^2x-\cos^2x+\cos^2x-\sin^2x=\sin x+\cos x \Rightarrow 0=\sin x+\cos x\]

Полученное уравнение является однородным первой степени и решается делением обеих частей равенства на \(\cos x\):

\[\mathrm{tg}\,x=-1\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни:

\[-\dfrac{5\pi}2<-\dfrac{\pi}4+\pi n<0 \Rightarrow -\dfrac94<n<\dfrac14 \Rightarrow n=-2;-1;0\]

Значит, корни, принадлежащие данному промежутку — это \(-\dfrac{9\pi}4; -\dfrac{5\pi}4; -\dfrac{\pi}4\).

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{9\pi}4; -\dfrac{5\pi}4; -\dfrac{\pi}4\)

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin^2x+4\sin x\cos x+4\cos^2x=5\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[0;\dfrac{\pi}2\right]\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Данное уравнение можно решить, сведя к однородному второй степени. Но мы решим его по-другому. Заметим, что \[\sin^2x+4\sin x\cos x+4\cos^2x=(\sin x+2\cos x)^2\]

Следовательно, наше уравнение равносильно \[(\sin x+2\cos x)^2=5 \Rightarrow \sin x+2\cos x=\pm \sqrt5\]

Преобразуем левую часть уравнения с помощью формулы вспомогательного угла: \[\sin x+2\cos x=\sqrt5\left(\dfrac1{\sqrt5}\sin x+\dfrac 2{\sqrt5}\cos x\right)= \sqrt5 \sin \left(x+\phi\right), \ \text{где } \cos \phi=\dfrac1{\sqrt5}\]

Значит, наше уравнение примет вид: \[\sqrt5 \sin \left(x+\phi\right)=\pm\sqrt 5 \Rightarrow \sin \left(x+\phi\right)=\pm 1 \Rightarrow x+\phi=\dfrac{\pi}2+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

Сделаем постановку \(\phi=\arccos \dfrac1{\sqrt5}\) и получим окончательный ответ: \[x=\dfrac{\pi}2-\arccos \dfrac1{\sqrt5}+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни. Т.к. \(\dfrac1{\sqrt5}>0 \Rightarrow \arccos \dfrac1{\sqrt5} \in \left(0;\dfrac{\pi}2\right) \Rightarrow \dfrac{\pi}2-\arccos \dfrac1{\sqrt5} \in \left(0;\dfrac{\pi}2\right)\).

 

Следовательно, единственный корень, попадающий в отрезок \(\left[0;\dfrac{\pi}2\right]\) — это \(x=\dfrac{\pi}2-\arccos \dfrac1{\sqrt5}\) при \(n=0\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2-\arccos \dfrac1{\sqrt5}+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{\pi}2-\arccos \dfrac1{\sqrt5}\)

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\mathrm{tg}^2\,x-2\sin x+\cos^2x=0\]

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку \([2\pi;3\pi]\).

Добавить задание в избранное

а) Т.к. \(\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\), то уравнение можно переписать в виде:

\(\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)^2-2\sin x+\cos^2x=0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\sin^2x-2\sin x\cos^2x+\cos^4x}{\cos^2x}=0 \quad \Rightarrow \)

 

\(\Rightarrow \quad \left(\dfrac{\sin x-\cos^2x}{\cos x}\right)^2=0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\sin x-\cos^2x}{\cos x}=0 \quad \Rightarrow\)

 

\(\Rightarrow \quad \begin{cases} \sin x-\cos^2x=0 \\ \cos x\ne 0\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \sin x-1+\sin^2x=0\\ \cos x\ne 0 \end{cases}\)

 

Первое уравнение с помощью замены \(\sin x=t\) сводится к квадратному, корнями которого являются \[t_1=\dfrac{-1-\sqrt5}2 \qquad \text{и} \qquad t_2=\dfrac{-1+\sqrt5}2\]

Корень \(t_1\) не подходит, т.к. область значений синуса от \(-1\) до \(1\), а \(\frac{-1-\sqrt5}2<-1\). Делаем обратную замену:

\[\sin x=\dfrac{\sqrt5-1}2 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin\dfrac{\sqrt5-1}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x=\pi -\arcsin \dfrac{\sqrt5-1}2+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Заметим, что для этих корней выполнено \(\cos x\ne 0\) (т.к. если \(\cos x=0\), то \(\sin x\) равен \(\pm1\)).

 

б) Отберем корни.

 

Обозначим \(\arcsin \dfrac{\sqrt5-1}2=\alpha\). Тогда

 

1) \[2\pi\leqslant \alpha+2\pi n\leqslant 3\pi \quad \Rightarrow \quad 1-\dfrac{\alpha}{2\pi}\leqslant n\leqslant \dfrac32-\dfrac{\alpha}{2\pi}\]

Заметим, что т.к. \(\dfrac{\pi}6<\alpha<\dfrac{\pi}2\) (т.к. \(\frac12<\frac{\sqrt5-1}2<1\)), то

 

\(\dfrac1{12}<\dfrac{\alpha}{2\pi}<\dfrac14\). Следовательно, \(1-\dfrac{\alpha}{2\pi}=0,...\), \(\quad \dfrac32-\dfrac{\alpha}{2\pi}=1,...\)

 

Следовательно, среди целых чисел нам подходит только \(n=1\), при котором получаем корень \(x=\alpha+2\pi = \arcsin\frac{\sqrt5-1}2+2\pi\).

 

2) \[2\pi\leqslant \pi-\alpha+2\pi m\leqslant 3\pi \quad \Rightarrow \quad \dfrac12+\dfrac{\alpha}{2\pi}\leqslant m\leqslant 1+\dfrac{\alpha}{2\pi}\]

Аналогично получаем, что \(\dfrac12+\dfrac{\alpha}{2\pi}=0,...\), \(\quad 1+\dfrac{\alpha}{2\pi}=1,...\)

 

Таким образом, среди целых подходит только \(m=1\), откуда получаем корень \(x=\pi-\alpha+2\pi=3\pi -\arcsin\frac{\sqrt5-1}2\).

Ответ:

а) \(\arcsin\frac{\sqrt5-1}2+2\pi n; \ \pi-\arcsin \frac{\sqrt5-1}2+2\pi m; \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\arcsin \frac{\sqrt5-1}2+2\pi; \ 3\pi -\arcsin \frac{\sqrt5-1}2\)

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[(\sin x+\cos x)\left(1+\sin2x\right)=\log_{\sqrt2+1}\left(\dfrac1{\sqrt2-1}\right)\]

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку \((12;14)\).

Добавить задание в избранное

а) Сделаем преобразования с правой частью:

\[\log_{\sqrt2+1}\left(\dfrac1{\sqrt2-1}\right)= \log_{\sqrt2+1}\left(\dfrac{\sqrt2+1}{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}\right)= \log_{\sqrt2+1}\left(\dfrac{\sqrt2+1}{2-1}\right)=\log_{\sqrt2+1}(\sqrt2+1)=1\]

Значит, уравнение перепишется в виде:

 

\((\sin x+\cos x)(1+\sin 2x)=1 \quad \Rightarrow \quad (\sin x+\cos x)(1+2\sin x\cos x)=1 \quad \Rightarrow\)

 

\(\Rightarrow \quad (\sin x+\cos x)(\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x)=1 \quad \Rightarrow \quad (\sin x+\cos x)^3=1 \quad \Rightarrow \)

 

(последнее преобразование сделано по формуле сокращенного умножения)

 

\( \Rightarrow \quad \sin x+\cos x=1 \ |:\sqrt2 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\sqrt2}2\sin x+\dfrac{\sqrt2}2\cos x=\dfrac{\sqrt2}2 \quad \Rightarrow \quad \sin x\left(x+\dfrac{\pi}4\right)=\dfrac{\sqrt2}2\)

 

\(\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x+\dfrac{\pi}4=\dfrac{\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[1ex] &x+\dfrac{\pi}4=\dfrac{3\pi}4+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[1ex] &x=\dfrac{\pi}2+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\)

 

б) Отберем корни.

1) \[12<2\pi n<14 \quad \Rightarrow \quad \dfrac6{\pi}<n<\dfrac7{\pi}\]

Т.к. \(3<\pi<3,5\), то \(\frac{12}7<\frac6{\pi}<2\) и \(2<\frac7{\pi}<\frac73\), то есть, условно говоря,

 

\(\frac6{\pi}=1,...\)

 

\(\frac7{\pi}=2,...\)

 

Таким образом, среди целых чисел подходит только \(n=2\), который дает корень \(x=4\pi\).

 

2) \[12<\dfrac{\pi}2+2\pi m<14 \quad \Rightarrow \quad \dfrac6{\pi}-\dfrac14<m<\dfrac7{\pi}-\dfrac14\]

Из выведенных данных предыдущего пункта можно также условно сказать, что

 

\(\dfrac6{\pi}-\dfrac14=1,...\)

 

По поводу \(\frac7{\pi}-\frac14\) точного значения не получается (с той оценкой, которую мы сделали, получается, что это число из промежутка \((1,...;2,...)\)), поэтому необходимо точнее оценить \(\pi\):

 

\(\dfrac{314}{100}<\pi<\dfrac{315}{100} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{700}{315}<\dfrac7{\pi}<\dfrac{700}{314} \quad \Rightarrow\)

 

\(\Rightarrow \quad \dfrac{71}{36}<\dfrac7{\pi}-\dfrac14<\dfrac{1243}{628} \quad \Rightarrow \quad 1\frac{35}{36}<\dfrac7{\pi}-\dfrac14<1\frac{615}{628}\)

 

Таким образом, условно можно сказать, что \(\dfrac7{\pi}-\dfrac14=1,...\)

 

Значит, можно сказать, что \(1,...<m<1,...\), то есть это неравенство не имеет решений в целых числах.

Ответ:

а) \(2\pi n; \dfrac{\pi}2+2\pi m; n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(4\pi\)