Математика
Русский язык

Тренировочные варианты "Школково". Уровень школьник

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Уровень школьник. Тренировочный вариант №6

Задание 1

Велосипедист преодолел \(72\) километра за \(5\) часов. Найдите среднюю скорость велосипедиста. Ответ дайте в метрах в секунду.

Средняя скорость по определению есть отношение всего пути ко времени, за которое этот путь был проделан. Средняя скорость велосипедиста \(72 : 5 = 14,4\, км/ч\), что составляет \(14400\, м/ч\) или \(14400 : (60 \cdot 60) = 4\, м/с\).

Ответ: 4

Задание 2

На диаграмме показано количество посетителей сайта Lie.ru во все дни первых двух недель января \(2016\) года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали – количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, какого числа количество посетителей сайта Lie.ru было наименьшим за указанный период.



По диаграмме видно, что наименьшее количество посетителей за указанный период было \(13\) числа.

Ответ: 13

Задание 3

В параллелограмме \(ABCD\): \(BE\) – высота, \(BE = ED = 5\). Площадь параллелограмма \(ABCD\) равна 35. Найдите длину \(AE\).



Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда \(35 = BE \cdot AD = 5\cdot(5 + AE)\), откуда находим \(AE = 2\).

Ответ: 2

Задание 4

Вход в музей охраняют два охранника. Вероятность того, что старший из них забудет рацию равна \(0,2\), а вероятность того, что младший из них забудет рацию равна \(0,1\). Какова вероятность того, что у них не будет ни одной рации?

Так как рассматриваемые события независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей. Тогда искомая вероятность равна \[0,2\cdot 0,1 = 0,02.\]

Ответ: 0,02

Задание 5

Найдите корень уравнения \((-x - 11)^3 = 216\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них.

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение \((-x - 11)^3 = 6^3\) стандартного вида, оно эквивалентно уравнению \(-x - 11 = 6\), откуда заключаем, что \(x = -17\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -17

Задание 6

В треугольнике \(ABC\): \(AB = BC\), \(\sin{\angle A} = 0,96\). Найдите синус внешнего угла при вершине \(B\).




 

Так как \(AB = BC\), то \(\angle A = \angle C\). Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника, не смежных с ним, тогда внешний угол при вершине \(B\) равен \(2\cdot \angle A\), а его синус равен \(\sin{(2\cdot\angle A)}\).

\[\sin{(2\cdot\angle A)} = 2\sin{\angle A}\cdot \cos{\angle A}.\] При помощи основного тригонометрического тождества находим \(\cos{\angle A} = \pm 0,28\), но в равнобедренном треугольнике угол при основании всегда острый, тогда \(\cos{\angle A} = 0,28\), следовательно, \(\sin{(2\cdot\angle A)} = 2\sin{\angle A}\cdot \cos{\angle A} = 2\cdot 0,96 \cdot 0,28 = 0,5376\).

Ответ: 0,5376

Задание 7

На рисунке изображены график функции \(y = f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\). Найдите значение производной функции \(f'(x)\) в точке \(x_0\).

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

По рисунку видно, что касательная проходит через точки \((0,5; -0,5)\) и \((1; 1)\), тогда тангенс угла наклона касательной составляет \(1,5 : 0,5 = 3\), следовательно, \(f'(x_0) = 3\).

Ответ: 3

Задание 8

Прямые \(a\) и \(b\) перпендикулярны и лежат в плоскости \(\pi\). Прямая \(c\) перпендикулярна прямой \(b\) и пересекает прямую \(a\) в точке \(B\), а также пересекает прямую \(l\) в точке \(C\), так что \(BC = 8\). При этом прямая \(l\) пересекает \(a\) в точке \(A\) так, что \(AB = 6\), \(AC = 10\). Найдите угол между прямыми \(b\) и \(l\). Ответ дайте в градусах.




 

Так как \(AB^2 + BC^2 = AC^2\), то отрезок \(BC\) перпендикулярен \(AB\), следовательно прямая \(c\) перпендикулярна \(a\), но \(c\) перпендикулярна \(b\), \(a\) и \(b\) – пересекаются, тогда \(c\) перпендикулярна \(\pi\), следовательно \(AB\) – проекция \(AC\) на \(\pi\).

Итого: \(b\) перпендикулярна проекции \(l\) на \(\pi\), тогда по теореме о трех перпендикулярах \(b\) перпендикулярна \(l\), то есть угол между ними составляет \(90^{\circ}\).

Ответ: 90

Задание 9

Найдите значение выражения \(\dfrac{(6\cdot\tau^3)^2}{(2\cdot\tau)^4\cdot\tau^2}\) при тех значениях \(\tau\), при которых оно имеет смысл.

При \(\tau \neq 0\) имеем: \[\dfrac{(6\cdot\tau^3)^2}{(2\cdot\tau)^4\cdot\tau^2} = \dfrac{6^2\cdot(\tau^3)^2}{2^4\cdot\tau^4\cdot\tau^2} = \dfrac{36\cdot\tau^{3\cdot 2}}{16\cdot\tau^{4+2}} = \dfrac{36\cdot\tau^{6}}{16\cdot\tau^{6}} = \dfrac{36}{16} = 2,25.\]

Ответ: 2,25

Задание 10

Купаясь в ванне, Игорь прикинул, что на него со стороны воды действует сила Архимеда \(F_A = \rho g V\), где \(\rho\) – плотность воды в \(кг/м^3\), \(g\) – ускорение свободного падения в \(м/с^2\), \(V\) – объем Игоря в \(м^3\). Игорь задумался, во сколько раз увеличилась бы сила, действующая на него со стороны воды в ванне, если бы при неизменной плотности его объем увеличился в 8 раз. Какой ответ должен получить Игорь?

Пусть до увеличения объем Игоря был \(V_{\text{Игоря}}\, м^3\), сила Архимеда, с которой на него действовала вода, была \(F_{A_{1}}\), тогда
после увеличения объем Игоря стал \(8V_{\text{Игоря}}\, м^3\). Сила Архимеда после увеличения объема Игоря стала \[F_{A_{2}} = \rho g\cdot 8V_{\text{Игоря}} = 8\rho g V_{\text{Игоря}} = 8F_{A_{1}}.\]

Ответ: 8

Задание 11

Из точки A круговой орбиты далёкой планеты одновременно в одном направлении вылетели два метеорита. Скорость первого метеорита на \(10000\, км/ч\) больше, чем скорость второго. Известно, что впервые после вылета они встретились через \(8\) часов. Найдите длину орбиты в километрах.

В тот момент, когда они впервые встретились, разница расстояний, которые они пролетели, равна длине орбиты.

За \(8\) часов разница стала \(8 \cdot 10000 = 80000\, км\).

Ответ: 80000

Задание 12

Найдите точку локального максимума функции \(y = \dfrac{1}{3}x^3 - 8x^2 + 55x + 11\).

1) \(y' = x^2 - 16x + 55\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):

\(x^2 - 16x + 55 = 0\), откуда находим корни \(x_1 = 5, \ x_2 = 11\). Таким образом, \[y' = (x-5)(x-11).\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика \(y\):


 

Таким образом, \(x = 5\) – точка локального максимума функции \(y\).

Ответ: 5

Задание 13

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} 2\sin^2 x + 2 = 5\sin x. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((0; \pi)\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Перенесём всё влево

\[\begin{aligned} 2\sin^2 x + 2 - 5\sin x = 0. \end{aligned}\]

Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно \(\sin x\).

Сделаем замену \(\sin x = t\), тогда уравнение примет вид \[2t^2 - 5 t + 2 = 0.\] Его дискриминант \(D = 25 - 16 = 9\), тогда \(t_{1, 2} = \dfrac{5\pm 3}{4}\), откуда \(t_1 = 2\), \(t_2 = 0,5\), следовательно,
\(\sin x = 2\) или \(\sin x = 0,5\).

Так как \(\sin x\leqslant 1\), то \(\sin x = 2\) быть не может, следовательно, \(\sin x = 0,5\).

 

Уравнение \(\sin x = a\) имеет решения \(x = \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi k\), \(x = \pi - \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,   уравнение \(\sin x = 0,5\) имеет решения \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[0 < \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{\pi}{6} < 2\pi k < \dfrac{5\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{1}{12} < k < \dfrac{5}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих решений подходит только решение при \(k = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{6}\).

\[0 < \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{5\pi}{6} < 2\pi k < \dfrac{\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{5}{12} < k < \dfrac{1}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих решений подходит только решение при \(k = 0\): \(x = \dfrac{5\pi}{6}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{5\pi}{6}\).

Задание 14

\(SABCD\) – четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат \(ABCD\), а две боковые грани \(SAB\) и \(SAD\) представляют собой прямоугольные треугольники с прямым углом \(\angle A\).

 

1) Проведите плоскость \(\alpha\) через точку пересечения диагоналей основания параллельно грани \(SBC\).

2) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью \(\alpha\), если \(SA=SB=a\).

1) Пусть \(AC\cap BD=O\). Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости.

 


 

Заметим, что т.к. \(\angle SAB=\angle SAD=90^o \Rightarrow SA\perp (ABC)\).

 

Проведем в плоскости \(SAC\) прямую \(OK\parallel SC\). Т.к. \(O\) – середина \(AC\), то по теореме Фалеса \(K\) – середина \(SA\). Через точку \(K\) в плоскости \(SAB\) проведем \(KM\parallel SB\). Таким образом, плоскость, проходящая через прямые \(OK\) и \(KM\) и будет искомой плоскостью.

 

Необходимо найти сечение пирамиды этой плоскостью. Соединив точки \(O\) и \(M\), получим прямую \(MN\).

 

Т.к. \(\alpha\parallel (SBC)\),то \(\alpha\) пересечет плоскость \(SCD\) по прямой \(NP\parallel SC\) (если \(NP\cap SC \ne \emptyset\), то \(\alpha\cap (SBC)\ne \emptyset\), что невозможно в виду их параллельности).

 

Таким образом, \(KMNP\) – искомое сечение, причем \(KP\parallel AD\parallel MN \Rightarrow\) это трапеция.

 

2) Т.к. все точки \(K,M,N,P\) – середины отрезков \(SA, AB, CD, SD\) соответственно, то:

 

а) \(MN=AD=a\)

 

б) \(KP=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{a}{2}\)

 

в) \(KM=\dfrac{1}{2}SB=\dfrac{a\sqrt2}{2}\)

 

Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах \(SB\perp BC \Rightarrow KM\perp MN\). Таким образом, \(KMNP\) – прямоугольная трапеция.

 

\(S_{KMNP}=\dfrac{KP+MN}{2}\cdot KM=\dfrac{3\sqrt2}{8}a^2\)

Ответ:

1) Рисунок.

2) \(\dfrac{3\sqrt2}{8}a^2\)

Задание 15

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{x^3 - 3\pi x^2 + 3\pi^2 x - \pi^3}{x^3 + 2ex^2 + 3x + 6e} > 0 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} x^3 + 2ex^2 + 3x + 6e\neq 0 \end{aligned}\]

Найдём нули числителя: \[x^3 - 3\pi x^2 + 3\pi^2 x - \pi^3 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x - \pi)^3 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \pi\]

Найдём нули знаменателя:

\[\begin{aligned} &x^3 + 2ex^2 + 3x + 6e = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2(x + 2e) + 3(x + 2e) = 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (x^2 + 3)(x + 2e) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -2e\,. \end{aligned}\]

Так как при любом \(x\in\mathbb{R}\) выполнено \(x^2 + 3 > 0\), то исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - \pi)^3}{x + 2e} > 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов



таким образом, с учётом ОДЗ ответ: \[x\in(-\infty; -2e)\cup(\pi; +\infty)\,.\]

Ответ:

\((-\infty; -2e)\cup(\pi; +\infty)\)

Задание 16

Радиус вписанной в треугольник \(ABC\) окружности равен трети одной из его высот.

а) Докажите, что одна из сторон треугольника \(ABC\) равна среднему арифметическому двух других его сторон.

б) Найдите наибольшее возможное значение периметра такого треугольника, если одна из его сторон равна \(4\), а две другие имеют целые длины.



а) \(S_{ABC} = p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, а \(r\) – радиус вписанной в \(ABC\) окружности.

 

Пусть \(h\) – длина той высоты, которая равна \(3r\), \(a\) – длина стороны, высота к которой имеет длину \(h\), \(P\) – периметр треугольника \(ABC\).

В итоге имеем: \[\dfrac{1}{2}h\cdot a = S_{ABC} = p\cdot r = p\cdot\dfrac{h}{3},\] откуда \(a = \dfrac{P}{3}\), тогда \(b + c = \dfrac{2P}{3} = 2a\), где \(b\) и \(c\) длины других сторон треугольника.

 

б) Длины сторон треугольника \(ABC\) образуют арифметическую прогрессию: если обозначить \(a - c = d\), то \(a = c + d\), \(b = c + 2d\).

Пусть \(d > 0\). Тогда \(b\) наибольшая сторона треугольника \(ABC\) и существование треугольника \(ABC\) с длинами сторон \(a\), \(b\) и \(c\) равносильно выполнению неравенства \[b < a + c\qquad\Leftrightarrow\qquad c + 2d < 2c + d\qquad\Leftrightarrow\qquad d < c.\] Так как длины всех сторон треугольника \(ABC\) – целые числа, то \(d\) – целое, следовательно, \(d\leqslant c - 1\).

Так как \(c\) – меньшая из сторон, то \(c\leqslant 4\), тогда \(d\leqslant 3\), откуда \(a\leqslant 7\), \(b\leqslant 10\), тогда \[P_{\triangle ABC}\leqslant 4 + 7 + 10 = 21.\] При этом случай \(c = 4\), \(a = 7\), \(b = 10\) подходит, следовательно, при \(d > 0\) максимально возможный периметр равен 21.

 

При \(d = 0\) треугольник \(ABC\) равносторонний и \(P_{\triangle ABC} = 12 < 21\).

 

Случай \(d < 0\) рассматривается аналогично (меняется только то, что \(c > a > b\), следовательно, достаточно в рассуждении из случая \(d > 0\) всюду поменять местами \(b\) и \(c\)).

Таким образом, наибольший возможный периметр треугольника \(ABC\) равен 21.

Ответ:

б) \(21\).

Задание 17

Владелец автосалона решил разделить свой капитал на \(3\) части и вложить их в \(3\) различных банка, причем годовые процентные ставки в этих банках относятся как \(2:3:5\). В каком отношении он должен поделить свой капитал, чтобы через год чистая прибыль от вкладов во всех трех банках была одинакова?

Обозначим за \(2y\) процентную ставку в первом банке, тогда в остальных банках ставки будут \(3y\%\) и \(5y\%\). Пусть вклад в первый банк составил \(A_{1}\), во второй – \(A_{2}\), в третий – \(A_{3}\). Составим таблицу:
\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Банк}&\text{Размер вклада до} &\text{Размер вклада после} &\text{Чистая прибыль}\\ &\text{начисления }\%&\text{начисления }\%&\\ \hline &&&\\ 1&A_{1} &\dfrac{100+2y}{100}\cdot A_{1}&A_{1}\cdot \left(\dfrac{100+2y}{100}-1\right)\\ &&&\\ \hline &&&\\ 2&A_{2} &\dfrac{100+3y}{100}\cdot A_{2}&A_{2}\cdot \left(\dfrac{100+3y}{100}-1\right)\\ &&&\\ \hline &&&\\ 3&A_{3} &\dfrac{100+5y}{100}\cdot A_{3}&A_{3}\cdot \left(\dfrac{100+5y}{100}-1\right)\\ &&&\\ \hline \end{array}\]

Т.к. чистая прибыль во всех банках должна быть одинакова, то   \(A_{1}\cdot \left(\dfrac{100+2y}{100}-1\right)=A_{2}\cdot \left(\dfrac{100+3y}{100}-1\right)=A_{3}\cdot \left(\dfrac{100+5y}{100}-1\right) \Leftrightarrow \)   \(2A_{1}=3A_{2}=5A_{3} \Rightarrow A_{1}:A_{2}:A_{3}=15:10:6\).

Ответ:

\(15:10:6\).

Задание 18

При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[x^2+3ax-a^2+1=0\] имеет два корня из отрезка \([-3;0]\) ?

Т.к. уравнение квадратное, то для того, чтобы оно имело 2 корня, необходимо, чтобы его дискриминант был больше нуля: \(D=13a^2-4>0\).

 

Для того, чтобы оба корня были из отрезка \([-3;0]\), нужно, чтобы парабола \(y=x^2+3ax-a^2+1\) выглядела так:

 


 

Заметим, что \(x_o=-\dfrac{3a}{2}\) — вершина параболы.

 

Т.е. нужно выполнение сразу нескольких условий:

\[\begin{cases} D>0\\ y(-3)\geqslant 0\\ y(0)\geqslant 0\\ -3<x_o<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a\in (-\infty; -\frac{2}{\sqrt{13}})\cup(\frac{2}{\sqrt{13}};+\infty)\\ -10<a<1\\ -1<a<1\\ 0<a<2 \end{cases}\]

\(\Rightarrow a\in(\frac{2}{\sqrt{13}};1)\).

Ответ:

\(a\in\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}};1\right)\).

Задание 19

Существует ли целое число, произведение цифр которого равно \(594\)?

Разложим число \(594\) на простые множители: \[594 = 2\cdot 3^3\cdot 11.\]

Пусть это произведение цифр какого-то целого числа, но ведь никакая цифра не содержит в своем разложении на простые множители число \(11\) (цифры – это: \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9, \ 0)\). Следовательно, такого числа не существует.

Ответ:

Нет