ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
а) Перенесём всё влево
\[\begin{aligned}
2\sin^2 x + 2 - 5\sin x = 0.
\end{aligned}\]
Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно \(\sin x\).
Сделаем замену \(\sin x = t\), тогда уравнение примет вид \[2t^2 - 5 t + 2 = 0.\] Его дискриминант \(D = 25 - 16 = 9\), тогда \(t_{1, 2} = \dfrac{5\pm 3}{4}\), откуда \(t_1 = 2\), \(t_2 = 0,5\), следовательно,
\(\sin x = 2\) или \(\sin x = 0,5\).
Так как \(\sin x\leqslant 1\), то \(\sin x = 2\) быть не может, следовательно, \(\sin x = 0,5\).
Уравнение \(\sin x = a\) имеет решения \(x = \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi k\), \(x = \pi - \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,
уравнение \(\sin x = 0,5\) имеет решения \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).
б) \[0 < \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{\pi}{6} < 2\pi k < \dfrac{5\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{1}{12} < k < \dfrac{5}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих решений подходит только решение при \(k = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{6}\).
\[0 < \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{5\pi}{6} < 2\pi k < \dfrac{\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{5}{12} < k < \dfrac{1}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих решений подходит только решение при \(k = 0\): \(x = \dfrac{5\pi}{6}\).
Ответ:
а) \(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).
б) \(\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{5\pi}{6}\).