Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Пусть нам дан \(\triangle ABC\), проведем в нем биссектрисы \(AA_1, BB_1, CC_1\) и докажем что они пересекаются в одной точке.
Воспользуемся свойством биссектрисы для всех трех биссектрис:
Для биссектрисы \(AA_1: \ \dfrac{BA_1}{A_1C} =\dfrac{AB}{AC}\)
Для биссектрисы \(BB_1: \ \dfrac{CB_1}{B_1A} =\dfrac{BC}{BA}\)
Для биссектрисы \(CC_1: \ \dfrac{AC_1}{C_1B} =\dfrac{CA}{CB}\)
Воспользуемся теоремой Чевы: \[\dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} \cdot \dfrac{AC_1}{C_1B} = \dfrac{AB}{AC} \cdot \dfrac{BC}{BA} \cdot \dfrac{CA}{CB} = \dfrac{AB\cdot BC \cdot CA}{AB\cdot BC \cdot CA} =1.\]
Следовательно, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Ответ:
Доказательство