Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

16. Задачи по планиметрии

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на теоремы Менелая, Чевы и Стюарта

\(\blacktriangleright\) Теорема Менелая: пусть прямая пересекает треугольник в точке \(C_1\) на стороне \(AB\), в точке \(A_1\) на стороне \(BC\) и в точке \(B_1\) на продолжении стороны \(AC\). Тогда имеет место следующее соотношение:

 

\(\blacktriangleright\) Теорема, обратная теореме Менелая: пусть в треугольнике точка \(B_1\) лежит на продолжении стороны \(AC\), а точки \(A_1, C_1\) — на сторонах \(BC\) и \(AB\) соответственно. Тогда, если выполнено равенство \[\dfrac{AB_1}{B_1C}\cdot \dfrac{CA_1}{A_1B}\cdot \dfrac{BC_1}{C_1A}=1,\] то точки \(A_1, B_1, C_1\) лежат на одной прямой.

 

Теорема Чевы: пусть на сторонах треугольника \(ABC\) выбраны точки \(A_1\in BC, B_1\in AC, C_1\in AB\). Отрезки \(AA_1, BB_1, CC_1\) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено равенство \[{\large{\dfrac{AB_1}{B_1C}\cdot \dfrac{CA_1}{A_1B}\cdot \dfrac{BC_1}{C_1A}=1}}\]

\(\blacktriangleright\) Теорема Стюарта: пусть в треугольнике на стороне \(AB\) отмечена точка \(P\). Тогда, если \(CP=p, AP=x, BP=y,AC=b, BC=a\), верно следующее соотношение:

 

\(\blacktriangleright\) С помощью теоремы Стюарта выводятся формулы нахождения биссектрис и медиан треугольника:

 

I. Если \(l_c\) — биссектриса, проведенная к стороне \(c\) и разбивающая эту сторону на отрезки \(x\) и \(y\), а \(a,b\) — две другие его стороны, то \[{\large{l^2_c=ab-xy}}\]

II. Если \(m_c\) — медиана, проведенная к стороне \(c\) треугольника, а \(a,b\) — две другие его стороны, то \[{\large{m^2_c=\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}4}}\]

Задание 1 #2826
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Добавить задание в избранное

Пусть нам дан \(\triangle ABC\), проведем в нем биссектрисы \(AA_1, BB_1, CC_1\) и докажем что они пересекаются в одной точке.

Воспользуемся свойством биссектрисы для всех трех биссектрис:  

Для биссектрисы \(AA_1: \ \dfrac{BA_1}{A_1C} =\dfrac{AB}{AC}\)  

Для биссектрисы \(BB_1: \ \dfrac{CB_1}{B_1A} =\dfrac{BC}{BA}\)  

Для биссектрисы \(CC_1: \ \dfrac{AC_1}{C_1B} =\dfrac{CA}{CB}\)  

Воспользуемся теоремой Чевы: \[\dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} \cdot \dfrac{AC_1}{C_1B} = \dfrac{AB}{AC} \cdot \dfrac{BC}{BA} \cdot \dfrac{CA}{CB} = \dfrac{AB\cdot BC \cdot CA}{AB\cdot BC \cdot CA} =1.\]

Следовательно, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Ответ:

Доказательство

Задание 2 #2827
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Добавить задание в избранное

Пусть нам дан \(\triangle ABC\), проведем в нем высоты \(AA_1, BB_1, CC_1\) и докажем что они пересекаются в одной точке.

Заметим, что: \[\begin{aligned} &BA_1= \cos{\angle B} \cdot AB,\qquad A_1C= \cos{\angle C} \cdot AC,\\ &CB_1= \cos{\angle C} \cdot BC,\qquad B_1A= \cos{\angle A} \cdot AB,\\ &AC_1= \cos{\angle A} \cdot AC,\qquad C_1B= \cos{\angle B} \cdot BC. \end{aligned}\] Воспользуемся теоремой Чевы: \[\begin{aligned} &\dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} \cdot \dfrac{AC_1}{C_1B} = \dfrac{\cos{\angle B} \cdot AB}{\cos{\angle C} \cdot AC} \ \cdot \ \dfrac{\cos{\angle C} \cdot BC}{\cos{\angle A} \cdot AB} \ \cdot \ \dfrac{\cos{\angle A} \cdot AC}{\cos{\angle B} \cdot BC} =\\[1.5ex] = \ & \dfrac{AB\cdot BC \cdot CA \cdot \cos{\angle A} \cdot \cos{\angle B} \cdot \cos{\angle C}}{AB\cdot BC \cdot CA \cdot \cos{\angle A} \cdot \cos{\angle B} \cdot \cos{\angle C}} =1\,. \end{aligned}\]

Следовательно, высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Ответ:

Доказательство

Задание 3 #2828
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Добавить задание в избранное

Пусть нам дан \(\triangle ABC\), проведем в нем медианы \(AA_1, BB_1, CC_1\) и докажем что они пересекаются в одной точке.

Воспользуемся теоремой Чевы: \[\dfrac{AB_1}{B_1C} \cdot \dfrac{CA_1}{A_1B} \cdot \dfrac{BC_1}{C_1A} =\dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{1}{1} =1,\] так как \(A_1, \ B_1, \ C_1\) – середины сторон \(BC, \ AC, \ AB\) соответственно.
Следовательно, медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Ответ:

Доказательство