Математика
Русский язык

18. Задачи с параметром

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи с параметром из ЕГЭ прошлых лет

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения \(a\), для каждого из которых уравнение \[25^x-(a+6)\cdot 5^x=(5+3|a|)\cdot 5^x-(a+6)(3|a|+5)\]

имеет единственное решение.

 

(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)

Добавить задание в избранное

Сделаем замену \(t=5^x, t>0\) и перенесем все слагаемые в одну часть: \[t^2-\bigg((a+6)+(5+3|a|)\bigg)\cdot t+(a+6)(3|a|+5)=0\] Получили квадратное уравнение, корнями которого по теореме Виета являются \(t_1=a+6\) и \(t_2=5+3|a|\). Для того, чтобы исходное уравнение имело один корень, достаточно, чтобы полученное уравнение с \(t\) тоже имело один (положительный!) корень.
Заметим сразу, что \(t_2\) при всех \(a\) будет положительным. Таким образом, получаем два случая:

 

1) \(t_1=t_2\): \[a+6=5+3|a| \quad\Leftrightarrow\quad 3|a|=a+1 \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} & 3a=a+1\\ &3a=-a-1 \end{aligned} \end{gathered} \right. \\ a+1\geqslant 0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} & a=\dfrac12\\[2ex] &a=-\dfrac14 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

2) Так как \(t_2\) всегда положителен, то \(t_1\) должен быть \(\leqslant 0\): \[a+6\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad a\leqslant -6.\]

Ответ:

\((-\infty;-6]\cup\left\{-\frac14;\frac12\right\}\)

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{3x^2-(3a+1)x+a}\]

имеет ровно один корень на отрезке \([0;1]\).

 

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Добавить задание в избранное

Уравнение можно переписать в виде: \[\sqrt{(x-a)(x+a)}=\sqrt{(3x-1)(x-a)}\] Таким образом, заметим, что \(x=a\) является корнем уравнения при любых \(a\), так как уравнение принимает вид \(0=0\). Для того, чтобы этот корень принадлежат отрезку \([0;1]\), нужно, чтобы \(0\leqslant a\leqslant 1\).
Второй корень уравнения находится из \(x+a=3x-1\), то есть \(x=\frac{a+1}2\). Для того, чтобы это число было корнем уравнения, нужно, чтобы оно удовлетворяло ОДЗ уравнения, то есть: \[\left(\dfrac{a+1}2-a\right)\cdot \left(\dfrac{a+1}2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\] Для того, чтобы этот корень принадлежал отрезку \([0;1]\), нужно, чтобы \[0\leqslant \dfrac{a+1}2\leqslant 1 \quad\Rightarrow\quad -1\leqslant a\leqslant 1\] Таким образом, чтобы корень \(x=\frac{a+1}2\) существовал и принадлежал отрезку \([0;1]\), нужно, чтобы \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\).
Заметим, что тогда при \(0\leqslant a\leqslant 1\) оба корня \(x=a\) и \(x=\frac{a+1}2\) принадлежат отрезку \([0;1]\) (то есть уравнение имеет два корня на этом отрезке), кроме случая, когда они совпадают: \[a=\dfrac{a+1}2\quad\Rightarrow\quad a=1\] Таким образом, нам подходят \(a\in \left[-\frac13; 0\right)\) и \(a=1\).

Ответ:

\(a\in \left[-\frac13;0\right)\cup\{1\}\)

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[x\sqrt{x-a}=\sqrt{6x^2-(6x+3a)x+3a}\]

имеет единственный корень на отрезке \([0;1].\)

 

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Добавить задание в избранное

Уравнение равносильно: \[x\sqrt{x-a}=\sqrt{3a(1-x)}\] ОДЗ уравнения: \[\begin{cases} x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end{cases}\] На ОДЗ уравнение перепишется в виде: \[x^3-a(x^2-3x+3)=0\]

1) Пусть \(a<0\). Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\). Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \([0;1]\), этот корень должен быть равен \(1\). Проверим: \[1^3-a(1^2-3\cdot 1+3)=0 \quad\Rightarrow\quad a=1.\] Не подходит под \(a<0\). Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.

 

2) Пусть \(a=0\). Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 0\). Уравнение перепишется в виде: \[x^3=0 \quad\Rightarrow\quad x=0\] Полученный корень подходит под ОДЗ и входит в отрезок \([0;1]\). Следовательно, \(a=0\) – подходит.

 

3) Пусть \(a>0\). Тогда ОДЗ: \(x\geqslant a\) и \(x\leqslant 1\). Следовательно, если \(a>1\), то ОДЗ – пустое множество. Таким образом, \(0<a\leqslant 1\) и при этих \(a\) ОДЗ: \(a\leqslant x\leqslant 1\). Следовательно, если корень подойдет по ОДЗ, то он попадет и в отрезок \([0;1]\).
Рассмотрим функцию \(y=x^3-a(x^2-3x+3)\). Исследуем ее.
Производная равна \(y'=3x^2-2ax+3a\). Определим, какого знака может быть производная. Для этого найдем дискриминант уравнения \(3x^2-2ax+3a=0\): \(D=4a(a-9)\). Следовательно, при \(a\in (0;1]\) дискриминант \(D<0\). Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\) положительно при всех \(x\). Следовательно, при \(a\in (0;1]\) производная \(y'>0\). Следовательно, \(y\) возрастает. Таким образом, по свойству возрастающей функции уравнение \(y(x)=0\) может иметь не более одного корня.



Следовательно, для того, чтобы корень уравнения (точка пересечения графика \(y\) с осью абсцисс) находился на отрезке \([a;1]\), нужно, чтобы \[\begin{cases} y(1)\geqslant 0\\ y(a)\leqslant 0 \end{cases}\quad\Rightarrow\quad a\in [0;1]\] Учитывая, что изначально в рассматриваемом случае \(a\in (0;1]\), то ответ \(a\in (0;1]\).

 

Итоговый ответ, полученный объединением ответов во всех трех случаях: \[a\in [0;1]\]

Ответ:

\([0;1]\)

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{5x-3}\cdot \ln (x^2-6x+10-a^2)=0\]

имеет ровно один корень на отрезке \([0;3]\).

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

ОДЗ уравнения: \[\begin{cases} 5x-3\geqslant 0\quad (1)\\ x^2-6x+10-a^2>0 \quad (2)\end{cases}\] Корнями уравнения будут \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &5x-3=0\\ &x^2-6x+10-a^2=1 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Rightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac35\\[2ex] &(x-3)^2=a^2 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Rightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac35\\[2ex] &x_2=3+a\\ &x_3=3-a \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Заметим, что корень \(x_1\) удовлетворяет \((1)\), корни \(x_2\) и \(x_3\) удовлетворяют \((2)\). Также заметим, что корень \(x_1\) принадлежит отрезку \([0;3]\).
Рассмотрим три случая:

 

1) \(a>0\). Тогда \(x_2>3\), \(x_3<3\), следовательно, \(x_2\notin [0;3].\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \([0;3]\) в одном из двух случаях:
\(x_1\) удовлетворяет \((2)\), \(x_3\) не удовлетворяет \((1)\), или совпадает с \(x_1\), или удовлетворяет \((1)\), но не входит в отрезок \([0;3]\) (то есть меньше \(0\));
\(x_1\) не удовлетворяет \((2)\), \(x_3\) удовлетворяет \((1)\) и не равен \(x_1\).
Заметим, что \(x_3\) не может быть одновременно меньше нуля и удовлетворять \((1)\) (то есть быть больше \(\frac35\)). Учитывая это замечание, случаи записываются в следующую совокупность: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\[2ex] 3-a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\ &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\[2ex] 3-a> \dfrac35\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решая данную совокупность и учитывая, что \(a>0\), получим: \[a\in \left[\dfrac{12}5;\dfrac{13}5\right)\]

2) \(a=0\). Тогда \(x_2=x_3=3\in [0;3].\) Заметим, что в этом случае \(x_1\) удовлетворяет \((2)\) и \(x_2=3\) удовлетворяет \((1)\), то есть уравнение имеет два корня на \([0;3]\). Это значение \(a\) нам не подходит.

 

3) \(a<0\). Тогда \(x_2<3\), \(x_3>3\) и \(x_3\notin [0;3]\). Рассуждая аналогично пункту 1), нужно решить совокупность: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\[2ex] 3+a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\ &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\[2ex] 3+a> \dfrac35\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решая данную совокупность и учитывая, что \(a<0\), получим: \[a\in \left(-\dfrac{13}5;-\dfrac{12}5\right]\]

Ответ:

\(\left(-\frac{13}5;-\frac{12}5\right] \cup\left[\frac{12}5;\frac{13}5\right)\)

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{1-4x}\cdot \ln(9x^2-a^2)=\sqrt{1-4x}\cdot \ln (3x+a)\]

имеет ровно один корень.

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

Данное уравнение можно переписать как \[\begin{cases} \sqrt{1-4x}\cdot \ln \dfrac{(3x-a)(3x+a)}{3x+a}=0\\[2ex] 3x+a>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \sqrt{1-4x}\cdot \ln (3x-a)=0\\ 3x+a>0\end{cases}\] Система имеет два корня:
1) \(x_1=\frac14\), если он удовлетворяет \(3x+a>0\) и \(3x-a>0\): \[\begin{cases} \dfrac34+a>0\\[1ex] \dfrac34-a>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac34<a<\dfrac34\]
2) \(x_2=\frac{a+1}3\), если он удовлетворяет \(3x+a>0\) и \(1-4x\geqslant 0\): \[\begin{cases} a+1+a>0\\[1ex] 1-\dfrac43a-\dfrac43\geqslant 0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac12<a\leqslant -\dfrac14\]

 

Рассмотрим случаи, когда данная система имеет ровно один корень. Пусть \(x_1\ne x_2\), то есть \(a\ne -\frac14\).
1. Пусть \(x_1=\frac14\) – единственное решение системы.
\(x_1\) будет корнем, если \(-\frac34<a<\frac34\), \(x_2\) не будет корнем, если \(a\in \left(-\infty;-\frac12\right]\cup\left(-\frac14;+\infty\right)\). Пересекая эти значения, а также учитывая, что \(a\ne -\frac14\), получаем: \[a\in \left(-\dfrac34;-\dfrac12\right]\cup\left(-\dfrac14;\dfrac34\right)\] 2. Пусть \(x_2=\frac{a+1}3\) – единственное решение системы.
\(x_1\) не будет корнем, если \(a\in \left(-\infty;-\frac34\right]\cup\left[\frac34;+\infty\right)\), \(x_2\) будет корнем, если \(-\frac12<a\leqslant -\frac14\). Пересекая эти значения, а также учитывая, что \(a\ne -\frac14\), получаем: \[a\in \varnothing\]

Пусть \(x_1=x_2\). Тогда \(a=-\frac14\). Заметим, что при этом значении что \(x_1\), что \(x_2\) являются решением, следовательно, оно нам подходит.
Итоговый ответ: \[a\in \left(-\dfrac34;-\dfrac12\right]\cup\left[-\dfrac14;\dfrac34\right)\]

Ответ:

\(a\in \left(-\dfrac34;-\dfrac12\right]\cup\left[-\dfrac14;\dfrac34\right) \)

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{5x-3}\cdot \ln(3x-a)=\sqrt{5x-3}\cdot \ln (4x+a)\]

имеет ровно один корень на отрезке \([0;1]\).

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

Уравнение можно переписать в виде: \[\sqrt{5x-3}\cdot \left( \ln(3x-a)-\ln (4x+a)\right)=0\] Следовательно, уравнение может иметь корни на \([0;1]\):

 

1) \(x_1=\frac35\) (уже лежит в \([0;1]\)), если он удовлетворяет \(3x-a>0\) и \(4x+a>0\): \[\begin{cases} \dfrac95-a>0\\[2ex] \dfrac{12}5+a>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad a\in \left(-\dfrac{12}5;\dfrac95\right)\]

2) \(3x-a=4x+a\), откуда \(x_2=-2a\), если он удовлетворяет \(5x-3\geqslant 0\), \(3x-a>0\) и \(0\leqslant x_2\leqslant 1\): \[\begin{cases} -10a-3\geqslant 0\\ -6a-a>0\\ 0\leqslant -2a\leqslant 1\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad a\in \left[-\dfrac12; -\dfrac3{10}\right]\]

Заметим, что если \(x_1=x_2\), то есть \(a=-\frac3{10}\), то уравнение имеет один корень, лежащий в \([0;1]\). Следовательно, \(a=-\frac3{10}\) нам подходит.

 

I. Пусть нам походит только корень \(x_1\). Следовательно, нужно пересечь значения \(a\in\left(-\frac{12}5;\frac95\right)\) (когда нам подходит \(x_1\)) со значениями \(a\in \left(-\infty;-\frac12\right)\cup \left(-\frac3{10};+\infty\right)\) (когда \(x_2\) нам не подходит). Получим: \[a\in \left(-\frac{12}5; -\frac12\right)\cup\left(-\frac3{10};\frac95\right)\]

II. Пусть нам подходит только \(x_2\). Тогда аналогично нужно пересечь \(a\in \left[-\frac12; -\frac3{10}\right]\) c \(a\in \left(-\infty;-\frac{12}5\right]\cup\left[\frac95;+\infty\right)\): \[a\in \varnothing\]

Учитывая, что выше мы сказали, что \(a=-\frac3{10}\) нам подходит, получаем окончательный ответ: \[a\in \left(-\frac{12}5; -\frac12\right)\cup\left[-\frac3{10};\frac95\right)\]

Ответ:

\(\left(-\frac{12}5; -\frac12\right)\cup\left[-\frac3{10};\frac95\right)\)

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{x-a}\cdot \sin x=\sqrt{x-a}\cdot \cos x\]

имеет ровно один корень на отрезке \([0;\pi]\).

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

Преобразуем уравнение: \[\sqrt{x-a}\cdot (\sin x-\cos x)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x-a=0\\ &\sin x-\cos x=0 \end{aligned} \end{gathered}\right.\\ x-a\geqslant 0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=a\\ &\mathrm{tg}\,x=1 \end{aligned} \end{gathered}\right.\\ x\geqslant a \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=a\\ &x_2=\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\\ x\geqslant a \end{cases}\] Назовем решение неравенства \(x\geqslant a\) ОДЗ.
Заметим, что из серии корней \(x_2\) в отрезок \([0;\pi]\) попадает только корень \(x_2=\dfrac{\pi}4\). Следовательно, найдем, при каких значениях \(a\) система будет иметь одно решение на \([0;\pi]\): \[\begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=a\\ &x_2=\dfrac{\pi}4 \end{aligned} \end{gathered}\right.\\ x\geqslant a \end{cases}\] Заметим, что если \(a>\pi\), то ОДЗ пересекается с отрезком \([0;\pi]\) по пустому множеству, следовательно, система не будет иметь ни одного решения на отрезке \([0;\pi]\). Значит, как минимум, \(a\leqslant \pi\). Рассмотрим три случая:

 

1) \(0<a\leqslant \pi\). Тогда ОДЗ: \(x\in [a;+\infty)\). ОДЗ в пересечении с отрезком \([0;\pi]\) дает отрезок \([a;\pi]\). Следовательно, нужно, чтобы система имела одно решение на \([a;\pi]\). Заметим, что в этом случае \(x_1=a\) всегда попадает в \([a;\pi]\). Значит, нужно, чтобы \(x_2=\frac{\pi}4\) не лежал на отрезке \([a;\pi]\) (то есть \(\frac{\pi}4<a\)), либо совпадал с точкой \(a\). Тогда система будет иметь на \([0;\pi]\) ровно один корень \(x_1=a\). Следовательно, обобщая все вышесказанное: \[\begin{cases} 0<a\leqslant \pi\\[1ex] \dfrac{\pi}4\leqslant a \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{\pi}4\leqslant a\leqslant \pi\]

2) Если \(a=0\), то ОДЗ: \(x\in [0;+\infty)\) и система имеет два корня \(x_1=0\) и \(x_2=\frac{\pi}4\) на \([0;\pi]\), следовательно, этот случай нам не подходит.

 

3) Пусть \(a<0\). Тогда ОДЗ: \(x\in [a;+\infty)\) и ОДЗ в пересечении с отрезком \([0;\pi]\) дает отрезок \([0;\pi]\). Тогда корень \(x_1=a\) не попадает в отрезок \([0;\pi]\), \(x_2=\frac{\pi}4\) попадает и система имеет на этом отрезке ровно одно решение.

 

Таким образом, искомые \(a\): \[a\in (-\infty;0)\cup\left[\dfrac{\pi}4;\pi\right]\]

Ответ:

\((-\infty;0)\cup\left[\dfrac{\pi}4;\pi\right]\)