Математика
Русский язык

18. Задачи с параметром

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи с параметром из ЕГЭ прошлых лет

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система \[\begin{cases} (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end{cases}\]

имеет единственное решение.

 

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 19 апреля 2018)

Добавить задание в избранное

Перепишем систему в виде: \[\begin{cases} ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end{cases}\] Рассмотрим три функции: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\), \(g=x^2-4\), \(h=-2x-1\). Из системы следует, что \(y\leqslant g\), но \(y\geqslant h\). Следовательно, чтобы система имела решения, график \(y\) должен находиться в области, которая задается условиями: “выше” графика \(h\), но “ниже” графика \(g\):



(будем называть “левую” область областью I, “правую” область – областью II)
Заметим, что при каждом фиксированном \(a\ne 0\) графиком \(y\) является парабола, вершина которой находится в точке \((-1;0)\), а ветви обращены либо вверх, либо вниз. Если \(a=0\), то уравнение выглядит как \(y=0\) и графиком является прямая, совпадающая с осью абсцисс.
Заметим, что для того, чтобы исходная система имела единственное решение, нужно, чтобы график \(y\) имел ровно одну общую точку с областью I или с областью II (это значит, что график \(y\) должен иметь единственную общую точку с границей одной из этих областей).

 

Рассмотрим по отдельности несколько случаев.

 

1) \(a>0\). Тогда ветви параболы \(y\) обращены вверх. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) касалась границы области I или границы области II, то есть касалась параболы \(g\), причем абсцисса точки касания должна быть \(\leqslant -3\) или \(\geqslant 2\) (то есть парабола \(y\) должна коснуться границы одной из областей, которая находится выше оси абсцисс, раз парабола \(y\) лежит выше оси абсцисс).



\(y'=2a(x+1)\), \(g'=2x\). Условия касания графиков \(y\) и \(g\) в точке с абсциссой \(x_0\leqslant -3\) или \(x_0\geqslant 2\): \[\begin{cases} 2a(x_0+1)=2x_0\\ a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\ \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end{aligned}\end{gathered}\right. \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\\[1ex] a=\dfrac{x_0}{x_0+1}\\[1ex] x_0^2+5x_0+4=0 \end{cases}\] Из данной системы \(x_0=-4\), \(a=\frac43\).
Получили первое значение параметра \(a\).

 

2) \(a=0\). Тогда \(y=0\) и видно, что прямая имеет бесконечное множество общих точек с областью II. Следовательно, это значение параметра нам не подходит.


 

3) \(a<0\). Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\), причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\), то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\)).



Найдем \(a\), при которых парабола \(y\) проходит через точку \(B\): \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\] Убеждаемся, что при этом значении параметра вторая точка пересечения параболы \(y=-\frac34(x+1)^2\) с прямой \(h=-2x-1\) – это точка с координатами \(\left(-\frac13; -\frac13\right)\).
Таким образом, получили еще одно значение параметра.

 

Так как мы рассмотрели все возможные случаи для \(a\), то итоговый ответ: \[a\in \left\{-\dfrac34; \dfrac43\right\}\]

Ответ:

\(\left\{-\frac34; \frac43\right\}\)

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end{cases}\]

имеет ровно два решения.

 

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 26 января 2018)

Добавить задание в избранное

1) Рассмотрим первое уравнение системы как квадратное относительно \(x\): \[2x^2-(5y)x+2y^2=0\] Дискриминант равен \(D=9y^2\), следовательно, \[x_{1,2}=\dfrac{5y\pm 3y}4\quad\Rightarrow \quad x_1=2y, \quad x_2=\dfrac12y\] Тогда уравнение можно переписать в виде \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\] Следовательно, всю систему можно переписать в виде \[\begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y=2x\\[1ex] &y=0,5x\end{aligned}\end{gathered}\right.\\[1ex] (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4\end{cases}\] Совокупность задает две прямые, второе уравнение системы задает окружность с центром в \((a;a)\) и радиусом \(R=\sqrt5a^2\). Чтобы исходное уравнение имело два решения, нужно, чтобы окружность пересекала график совокупности ровно в двух точках. Вот чертеж, когда, например, \(a=1\):

Заметим, что так как координаты центра окружности равны, то центр окружности “бегает” по прямой \(y=x\).

 

2) Так как у прямой \(y=kx\) тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению оси \(Ox\) равен \(k\), то тангенс угла наклона прямой \(y=0,5x\) равен \(0,5\) (назовем его \(\mathrm{tg}\,\alpha\)), прямой \(y=2x\) – равен \(2\) (назовем его \(\mathrm{tg}\,\beta\)). Заметим, что \(\mathrm{tg}\,\alpha\cdot \mathrm{tg}\,\beta=1\), следовательно, \(\mathrm{tg}\,\alpha=\mathrm{ctg}\,\beta=\mathrm{tg}\,(90^\circ-\beta)\). Следовательно, \(\alpha=90^\circ-\beta\), откуда \(\alpha+\beta=90^\circ\). Это значит, что угол между \(y=2x\) и положительным направлением \(Oy\) равен углу между \(y=0,5x\) и положительным направлением \(Ox\):

А так как прямая \(y=x\) является биссектрисой I координатного угла (то есть углы между ней и положительными направлениями \(Ox\) и \(Oy\) равны по \(45^\circ\)), то углы между \(y=x\) и прямыми \(y=2x\) и \(y=0,5x\) равны.
Все это нам нужно было для того, чтобы сказать, что прямые \(y=2x\) и \(y=0,5x\) симметричны друг другу относительно \(y=x\), следовательно, если окружность касается одной из них, то она обязательно касается и второй прямой.
Заметим, что если \(a=0\), то окружность вырождается в точку \((0;0)\) и имеет лишь одну точку пересечения с обеими прямыми. То есть этот случай нам не подходит.
Таким образом, для того, чтобы окружность имела 2 точки пересечения с прямыми, нужно, чтобы она касалась этих прямых:

Видим, что случай, когда окружность располагается в третьей четверти, симметричен (относительно начала координат) случаю, когда она располагается в первой четверти. То есть в первой четверти \(a>0\), а в третьей \(a<0\) (но такие же по модулю).
Поэтому рассмотрим только первую четверть.

Заметим, что \(OQ=\sqrt{(a-0)^2+(a-0)^2}=\sqrt2a\), \(QK=R=\sqrt5a^2\). Тогда \[OK=\sqrt{2a^2-5a^4}\] Тогда \[\mathrm{tg}\,\angle QOK=\dfrac{\sqrt5a^2}{\sqrt{2a^2-5a^4}}\] Но, с другой стороны, \[\mathrm{tg}\,\angle QOK=\mathrm{tg}\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac{\mathrm{tg}\, 45^\circ-\mathrm{tg}\,\alpha}{1+\mathrm{tg}\,45^\circ\cdot \mathrm{tg}\,\alpha}\] следовательно, \[\dfrac{1-0,5}{1+1\cdot 0,5}=\dfrac{\sqrt5a^2}{\sqrt{2a^2-5a^4}} \quad\Leftrightarrow\quad a=\pm \dfrac15\] Таким образом, мы уже сразу получили и положительное, и отрицательное значение для \(a\). Следовательно, ответ: \[a\in \{-0,2;0,2\}\]

Ответ:

\(\{-0,2;0,2\}\)

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения \(a\), для каждого из которых уравнение \[25^x-(a+6)\cdot 5^x=(5+3|a|)\cdot 5^x-(a+6)(3|a|+5)\]

имеет единственное решение.

 

(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)

Добавить задание в избранное

Сделаем замену \(t=5^x, t>0\) и перенесем все слагаемые в одну часть: \[t^2-\bigg((a+6)+(5+3|a|)\bigg)\cdot t+(a+6)(3|a|+5)=0\] Получили квадратное уравнение, корнями которого по теореме Виета являются \(t_1=a+6\) и \(t_2=5+3|a|\). Для того, чтобы исходное уравнение имело один корень, достаточно, чтобы полученное уравнение с \(t\) тоже имело один (положительный!) корень.
Заметим сразу, что \(t_2\) при всех \(a\) будет положительным. Таким образом, получаем два случая:

 

1) \(t_1=t_2\): \[a+6=5+3|a| \quad\Leftrightarrow\quad 3|a|=a+1 \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} & 3a=a+1\\ &3a=-a-1 \end{aligned} \end{gathered} \right. \\ a+1\geqslant 0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} & a=\dfrac12\\[2ex] &a=-\dfrac14 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

2) Так как \(t_2\) всегда положителен, то \(t_1\) должен быть \(\leqslant 0\): \[a+6\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad a\leqslant -6.\]

Ответ:

\((-\infty;-6]\cup\left\{-\frac14;\frac12\right\}\)

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{3x^2-(3a+1)x+a}\]

имеет ровно один корень на отрезке \([0;1]\).

 

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Добавить задание в избранное

Уравнение можно переписать в виде: \[\sqrt{(x-a)(x+a)}=\sqrt{(3x-1)(x-a)}\] Таким образом, заметим, что \(x=a\) является корнем уравнения при любых \(a\), так как уравнение принимает вид \(0=0\). Для того, чтобы этот корень принадлежат отрезку \([0;1]\), нужно, чтобы \(0\leqslant a\leqslant 1\).
Второй корень уравнения находится из \(x+a=3x-1\), то есть \(x=\frac{a+1}2\). Для того, чтобы это число было корнем уравнения, нужно, чтобы оно удовлетворяло ОДЗ уравнения, то есть: \[\left(\dfrac{a+1}2-a\right)\cdot \left(\dfrac{a+1}2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\] Для того, чтобы этот корень принадлежал отрезку \([0;1]\), нужно, чтобы \[0\leqslant \dfrac{a+1}2\leqslant 1 \quad\Rightarrow\quad -1\leqslant a\leqslant 1\] Таким образом, чтобы корень \(x=\frac{a+1}2\) существовал и принадлежал отрезку \([0;1]\), нужно, чтобы \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\).
Заметим, что тогда при \(0\leqslant a\leqslant 1\) оба корня \(x=a\) и \(x=\frac{a+1}2\) принадлежат отрезку \([0;1]\) (то есть уравнение имеет два корня на этом отрезке), кроме случая, когда они совпадают: \[a=\dfrac{a+1}2\quad\Rightarrow\quad a=1\] Таким образом, нам подходят \(a\in \left[-\frac13; 0\right)\) и \(a=1\).

Ответ:

\(a\in \left[-\frac13;0\right)\cup\{1\}\)

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[x\sqrt{x-a}=\sqrt{6x^2-(6x+3a)x+3a}\]

имеет единственный корень на отрезке \([0;1].\)

 

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Добавить задание в избранное

Уравнение равносильно: \[x\sqrt{x-a}=\sqrt{3a(1-x)}\] ОДЗ уравнения: \[\begin{cases} x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end{cases}\] На ОДЗ уравнение перепишется в виде: \[x^3-a(x^2-3x+3)=0\]

1) Пусть \(a<0\). Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\). Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \([0;1]\), этот корень должен быть равен \(1\). Проверим: \[1^3-a(1^2-3\cdot 1+3)=0 \quad\Rightarrow\quad a=1.\] Не подходит под \(a<0\). Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.

 

2) Пусть \(a=0\). Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 0\). Уравнение перепишется в виде: \[x^3=0 \quad\Rightarrow\quad x=0\] Полученный корень подходит под ОДЗ и входит в отрезок \([0;1]\). Следовательно, \(a=0\) – подходит.

 

3) Пусть \(a>0\). Тогда ОДЗ: \(x\geqslant a\) и \(x\leqslant 1\). Следовательно, если \(a>1\), то ОДЗ – пустое множество. Таким образом, \(0<a\leqslant 1\) и при этих \(a\) ОДЗ: \(a\leqslant x\leqslant 1\). Следовательно, если корень подойдет по ОДЗ, то он попадет и в отрезок \([0;1]\).
Рассмотрим функцию \(y=x^3-a(x^2-3x+3)\). Исследуем ее.
Производная равна \(y'=3x^2-2ax+3a\). Определим, какого знака может быть производная. Для этого найдем дискриминант уравнения \(3x^2-2ax+3a=0\): \(D=4a(a-9)\). Следовательно, при \(a\in (0;1]\) дискриминант \(D<0\). Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\) положительно при всех \(x\). Следовательно, при \(a\in (0;1]\) производная \(y'>0\). Следовательно, \(y\) возрастает. Таким образом, по свойству возрастающей функции уравнение \(y(x)=0\) может иметь не более одного корня.



Следовательно, для того, чтобы корень уравнения (точка пересечения графика \(y\) с осью абсцисс) находился на отрезке \([a;1]\), нужно, чтобы \[\begin{cases} y(1)\geqslant 0\\ y(a)\leqslant 0 \end{cases}\quad\Rightarrow\quad a\in [0;1]\] Учитывая, что изначально в рассматриваемом случае \(a\in (0;1]\), то ответ \(a\in (0;1]\).

 

Итоговый ответ, полученный объединением ответов во всех трех случаях: \[a\in [0;1]\]

Ответ:

\([0;1]\)

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{5x-3}\cdot \ln (x^2-6x+10-a^2)=0\]

имеет ровно один корень на отрезке \([0;3]\).

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

ОДЗ уравнения: \[\begin{cases} 5x-3\geqslant 0\quad (1)\\ x^2-6x+10-a^2>0 \quad (2)\end{cases}\] Корнями уравнения будут \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &5x-3=0\\ &x^2-6x+10-a^2=1 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Rightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac35\\[2ex] &(x-3)^2=a^2 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Rightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac35\\[2ex] &x_2=3+a\\ &x_3=3-a \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Заметим, что корень \(x_1\) удовлетворяет \((1)\), корни \(x_2\) и \(x_3\) удовлетворяют \((2)\). Также заметим, что корень \(x_1\) принадлежит отрезку \([0;3]\).
Рассмотрим три случая:

 

1) \(a>0\). Тогда \(x_2>3\), \(x_3<3\), следовательно, \(x_2\notin [0;3].\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \([0;3]\) в одном из двух случаях:
\(x_1\) удовлетворяет \((2)\), \(x_3\) не удовлетворяет \((1)\), или совпадает с \(x_1\), или удовлетворяет \((1)\), но не входит в отрезок \([0;3]\) (то есть меньше \(0\));
\(x_1\) не удовлетворяет \((2)\), \(x_3\) удовлетворяет \((1)\) и не равен \(x_1\).
Заметим, что \(x_3\) не может быть одновременно меньше нуля и удовлетворять \((1)\) (то есть быть больше \(\frac35\)). Учитывая это замечание, случаи записываются в следующую совокупность: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\[2ex] 3-a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\ &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\[2ex] 3-a> \dfrac35\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решая данную совокупность и учитывая, что \(a>0\), получим: \[a\in \left[\dfrac{12}5;\dfrac{13}5\right)\]

2) \(a=0\). Тогда \(x_2=x_3=3\in [0;3].\) Заметим, что в этом случае \(x_1\) удовлетворяет \((2)\) и \(x_2=3\) удовлетворяет \((1)\), то есть уравнение имеет два корня на \([0;3]\). Это значение \(a\) нам не подходит.

 

3) \(a<0\). Тогда \(x_2<3\), \(x_3>3\) и \(x_3\notin [0;3]\). Рассуждая аналогично пункту 1), нужно решить совокупность: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\[2ex] 3+a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\ &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\[2ex] 3+a> \dfrac35\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решая данную совокупность и учитывая, что \(a<0\), получим: \[a\in \left(-\dfrac{13}5;-\dfrac{12}5\right]\]

Ответ:

\(\left(-\frac{13}5;-\frac{12}5\right] \cup\left[\frac{12}5;\frac{13}5\right)\)

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{1-4x}\cdot \ln(9x^2-a^2)=\sqrt{1-4x}\cdot \ln (3x+a)\]

имеет ровно один корень.

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

Данное уравнение можно переписать как \[\begin{cases} \sqrt{1-4x}\cdot \ln \dfrac{(3x-a)(3x+a)}{3x+a}=0\\[2ex] 3x+a>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \sqrt{1-4x}\cdot \ln (3x-a)=0\\ 3x+a>0\end{cases}\] Система имеет два корня:
1) \(x_1=\frac14\), если он удовлетворяет \(3x+a>0\) и \(3x-a>0\): \[\begin{cases} \dfrac34+a>0\\[1ex] \dfrac34-a>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac34<a<\dfrac34\]
2) \(x_2=\frac{a+1}3\), если он удовлетворяет \(3x+a>0\) и \(1-4x\geqslant 0\): \[\begin{cases} a+1+a>0\\[1ex] 1-\dfrac43a-\dfrac43\geqslant 0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac12<a\leqslant -\dfrac14\]

 

Рассмотрим случаи, когда данная система имеет ровно один корень. Пусть \(x_1\ne x_2\), то есть \(a\ne -\frac14\).
1. Пусть \(x_1=\frac14\) – единственное решение системы.
\(x_1\) будет корнем, если \(-\frac34<a<\frac34\), \(x_2\) не будет корнем, если \(a\in \left(-\infty;-\frac12\right]\cup\left(-\frac14;+\infty\right)\). Пересекая эти значения, а также учитывая, что \(a\ne -\frac14\), получаем: \[a\in \left(-\dfrac34;-\dfrac12\right]\cup\left(-\dfrac14;\dfrac34\right)\] 2. Пусть \(x_2=\frac{a+1}3\) – единственное решение системы.
\(x_1\) не будет корнем, если \(a\in \left(-\infty;-\frac34\right]\cup\left[\frac34;+\infty\right)\), \(x_2\) будет корнем, если \(-\frac12<a\leqslant -\frac14\). Пересекая эти значения, а также учитывая, что \(a\ne -\frac14\), получаем: \[a\in \varnothing\]

Пусть \(x_1=x_2\). Тогда \(a=-\frac14\). Заметим, что при этом значении что \(x_1\), что \(x_2\) являются решением, следовательно, оно нам подходит.
Итоговый ответ: \[a\in \left(-\dfrac34;-\dfrac12\right]\cup\left[-\dfrac14;\dfrac34\right)\]

Ответ:

\(a\in \left(-\dfrac34;-\dfrac12\right]\cup\left[-\dfrac14;\dfrac34\right) \)