\(16\) августа на покупку телефона стоимостью \(60\,000\) рублей в банке был взят кредит на \(3\) месяца. Условия пользования кредитом таковы:
– \(10\) числа каждого месяца, начиная с сентября, банк начисляет на остаток долга \(10\%\);
– с \(11\) по \(15\) числа каждого месяца, начиная с сентября, клиент обязан внести в банк платеж;
– суммы платежей подбираются так, чтобы долг каждый месяц уменьшался на одну и ту же величину (так называемый дифференцированный платеж). Сколько рублей в итоге составит переплата по данному кредиту?
Т.к. кредит был взят на \(3\) месяца, то долг каждый месяц должен уменьшаться на \(\dfrac{1}{3}\) часть.
Составим таблицу, все суммы будем вычислять в тыс.руб.: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц}&\text{Долг до} & \text{Долг после} & \text{Сумма}& \text{Долг после}\\ & \text{начисления }\%& \text{начисления }\% &\text{платежа}& \text{платежа} \\ \hline &&&&\\ 1& \dfrac{3}{3}\cdot 60=60&60+0,1\cdot 60 &0,1\cdot 60+\dfrac{1}{3}\cdot 60& \dfrac{2}{3}\cdot 60\\ &&&&\\ \hline &&&&\\ 2&\dfrac{2}{3}\cdot 60 & \dfrac{2}{3}\cdot 60+0,1\cdot \dfrac{2}{3}\cdot 60&0,1\cdot \dfrac{2}{3}\cdot 60+\dfrac{1}{3}\cdot 60&\dfrac{1}{3}\cdot 60 \\ &&&&\\ \hline &&&&\\ 3&\dfrac{1}{3}\cdot 60 &\dfrac{1}{3}\cdot 60+0,1\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 60 &0,1\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 60+\dfrac{1}{3}\cdot 60&0 \\ &&&&\\ \hline \end{array}\]
Заметим, что каждый платеж состоит из \(\dfrac{1}{3}\cdot 60\) и из процентов, начисленных на остаток долга (т.е. все платежи – разные). Именно поэтому удобнее долг после начисления процентов записывать в виде \(A+0,1\cdot A\), а не в виде \(1,1\cdot A\).
Общая выплата по кредиту равна сумме всех платежей по кредиту, т.е.
\(0,1\cdot 60+\dfrac{1}{3}\cdot 60+0,1\cdot \dfrac{2}{3}\cdot 60+\dfrac{1}{3}\cdot 60+0,1\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 60+\dfrac{1}{3}\cdot 60=60+0,1\cdot 60\cdot (1+\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3})\)
Следовательно, переплата составит: \(60+0,1\cdot 60\cdot (1+\frac{2}{3}+\frac{1}{3})-60=0,1\cdot 60\cdot 2=12\) тыс.руб.
Ответ:
\(12\,000\) рублей.