Математика
Русский язык

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи про банковский кредит: дифференцированный платеж

Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц).
При этом платежи каждый год разные.

 

Таким образом, если кредит взят на \(n\) лет, то это значит, что сумму кредита \(A\) разделили на \(n\) равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на \(\dfrac1n A\) по сравнению с долгом на начало года.

 

Пример: Александр взял в банке кредит на \(50\,000\) рублей на \(3\) месяца, причем выплачивать кредит он должен ежемесячными выплатами так, чтобы сумма долга каждый месяц уменьшалась на одну и ту же величину. Сколько рублей составит переплата Александра по кредиту, если процентная ставка в банке \(10\%\)?

 

Т.к. кредит взят на \(3\) месяца, то после первой выплаты долг должен составить \(A-\frac13A=\frac23 A\), после второй \(\frac23A-\frac13A=\frac13A\), а после третьей — \(\frac13A-\frac13A=0\) рублей. Составим таблицу, производя все вычисления в тыс. рублей: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Выплата}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после выплаты}&\\ \hline 1&50&50+0,1\cdot 50&\frac23\cdot 50&0,1\cdot 50+\frac13\cdot 50\\ \hline 2&\frac23\cdot 50&\frac23\cdot 50+0,1\cdot\frac23\cdot 50&\frac13\cdot 50&0,1\cdot \frac23\cdot 50+\frac13\cdot50\\ \hline 3&\frac13\cdot 50&\frac13\cdot 50+0,1\cdot \frac13\cdot 50&0&0,1\cdot \frac13\cdot 50+\frac13\cdot 50\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, всего Александр заплатил банку \(\big(0,1\cdot 50+\dfrac13\cdot 50\big)+\big(0,1\cdot \dfrac23\cdot 50+\dfrac13\cdot50\big)+\big(0,1\cdot \dfrac13\cdot 50+\dfrac13\cdot 50\big)\) тыс.рублей.

 

Перегруппируем слагаемые и вынесем за скобки общие множители:

 

\(0,1\cdot 50 \left(1+\dfrac23+\dfrac13\right)+3\cdot \dfrac13\cdot 50=0,1\cdot 50\cdot 2+50\)

 

Для того, чтобы найти переплату по кредиту, необходимо из того, что он в итоге заплатил банку, отнять сумму кредита:

 

\(\big(0,1\cdot 50\cdot 2+50\big)-50=10\) тыс. рублей.
Таким образом, его переплата составила \(10\,000\) рублей.  

Заметим,

 

I. что каждая выплата состоит из двух частей:
первая часть — это сумма “набежавших” процентов на текущий долг (в первый год это \(0,1\cdot 50\), во второй — \(0,1\cdot \big(\frac23\cdot 50\big)\) и т.д.)
вторая часть всегда фиксирована — это та часть, на которую должен уменьшаться долг каждый год (в нашем примере это \(\frac13\cdot 50\)).

 

Действительно, когда клиент выплачивает “набежавшие” проценты, сумма его долга становится равна той, которая была до начисления процентов (например, в первый год становится равна \(A\)). А далее он еще вносит \(\frac 1n\) часть от этого долга. И таким образом сумма долга уменьшается на \(\frac 1n\) часть, что и подразумевает дифференцированная система платежей.

 

II. переплата по кредиту всегда равна сумме “набежавших” процентов на долг в первый год, во второй год, в третий год и т.д.

 

В нашем примере переплата как раз равна \(0,1\cdot 50+0,1\cdot \frac23\cdot 50+0,1\cdot \frac13\cdot 50\).

 

Формула для выплаты в \(i\)-ый год: \[{\Large{x_i=\dfrac{r}{100}\cdot \dfrac{n-i+1}{n}A+\dfrac1n A}}\] где \(n\) – количество лет, на которое взят кредит, \(A\) – сумма кредита, \(r\%\) – процентная ставка.

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

\(16\) августа на покупку телефона стоимостью \(60\,000\) рублей в банке был взят кредит на \(3\) месяца. Условия пользования кредитом таковы:
\(10\) числа каждого месяца, начиная с сентября, банк начисляет на остаток долга \(10\%\);
– с \(11\) по \(15\) числа каждого месяца, начиная с сентября, клиент обязан внести в банк платеж;
– суммы платежей подбираются так, чтобы долг каждый месяц уменьшался на одну и ту же величину (так называемый дифференцированный платеж). Сколько рублей в итоге составит переплата по данному кредиту?

Добавить задание в избранное

Т.к. кредит был взят на \(3\) месяца, то долг каждый месяц должен уменьшаться на \(\dfrac{1}{3}\) часть.

Составим таблицу, все суммы будем вычислять в тыс.руб.: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц}&\text{Долг до} & \text{Долг после} & \text{Сумма}& \text{Долг после}\\ & \text{начисления }\%& \text{начисления }\% &\text{платежа}& \text{платежа} \\ \hline &&&&\\ 1& \dfrac{3}{3}\cdot 60=60&60+0,1\cdot 60 &0,1\cdot 60+\dfrac{1}{3}\cdot 60& \dfrac{2}{3}\cdot 60\\ &&&&\\ \hline &&&&\\ 2&\dfrac{2}{3}\cdot 60 & \dfrac{2}{3}\cdot 60+0,1\cdot \dfrac{2}{3}\cdot 60&0,1\cdot \dfrac{2}{3}\cdot 60+\dfrac{1}{3}\cdot 60&\dfrac{1}{3}\cdot 60 \\ &&&&\\ \hline &&&&\\ 3&\dfrac{1}{3}\cdot 60 &\dfrac{1}{3}\cdot 60+0,1\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 60 &0,1\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 60+\dfrac{1}{3}\cdot 60&0 \\ &&&&\\ \hline \end{array}\]

Заметим, что каждый платеж состоит из \(\dfrac{1}{3}\cdot 60\) и из процентов, начисленных на остаток долга (т.е. все платежи – разные). Именно поэтому удобнее долг после начисления процентов записывать в виде \(A+0,1\cdot A\), а не в виде \(1,1\cdot A\).

Общая выплата по кредиту равна сумме всех платежей по кредиту, т.е.

 

\(0,1\cdot 60+\dfrac{1}{3}\cdot 60+0,1\cdot \dfrac{2}{3}\cdot 60+\dfrac{1}{3}\cdot 60+0,1\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 60+\dfrac{1}{3}\cdot 60=60+0,1\cdot 60\cdot (1+\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3})\)

 

Следовательно, переплата составит: \(60+0,1\cdot 60\cdot (1+\frac{2}{3}+\frac{1}{3})-60=0,1\cdot 60\cdot 2=12\) тыс.руб.

Ответ:

\(12\,000\) рублей.

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

\(10\) лет назад Григорий брал в банке кредит на \(4\) года, причем Григорий помнит, что выплачивал он кредит дифференцированными платежами и переплата по кредиту составила \(32,5\%\) от кредита. Под какой годовой процент был взят тогда кредит?

Добавить задание в избранное

Обозначим за \(y\) - годовой процент по кредиту, а за \(A\) руб. – сумму кредита. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг до} & \text{Долг после} & \text{Сумма}& \text{Долг после}\\ & \text{начисления }\%& \text{начисления }\% &\text{платежа}& \text{платежа} \\ \hline &&&&\\ 1& A&A+\dfrac{y}{100}\cdot A &\dfrac{y}{100}\cdot A+\dfrac{1}{4}\cdot A& \dfrac{3}{4}\cdot A\\ &&&&\\ \hline &&&&\\ 2&\dfrac{3}{4}\cdot A & \dfrac{3}{4}\cdot A+\dfrac{y}{100}\cdot \dfrac{3}{4}\cdot A&\dfrac{y}{100}\cdot \dfrac{3}{4}\cdot A+\dfrac{1}{4}\cdot A&\dfrac{2}{4}\cdot A \\ &&&&\\ \hline &&&&\\ 3&\dfrac{2}{4}\cdot A &\dfrac{2}{4}\cdot A+\dfrac{y}{100}\cdot \dfrac{2}{4}\cdot A &\dfrac{y}{100}\cdot \dfrac{2}{4}\cdot A+\dfrac{1}{4}\cdot A&\dfrac{1}{4}A \\ &&&&\\ \hline &&&&\\ 4&\dfrac{1}{4}\cdot A &\dfrac{1}{4}\cdot A+\dfrac{y}{100}\cdot \dfrac{1}{4}\cdot A &\dfrac{y}{100}\cdot \dfrac{1}{4}\cdot A+\dfrac{1}{4}\cdot A&0 \\ &&&&\\ \hline \end{array}\]

Переплата по кредиту составит:

 

\(\dfrac{y}{100}\cdot A +\dfrac{y}{100}\cdot \dfrac{3}{4}\cdot A+\dfrac{y}{100}\cdot \dfrac{2}{4}\cdot A+\dfrac{y}{100}\cdot \dfrac{1}{4}\cdot A=\dfrac{y}{100}\cdot A\cdot \dfrac{5}{2}=\dfrac{yA}{40}\)

 

Т.к. переплата в итоге составила \(32,5\%\) от суммы кредита, то \(\dfrac{yA}{40}=0,325A \Rightarrow y=13\%\)

Ответ:

\(13 \%\).

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Родион хочет взять кредит на некоторую сумму и выбирает между двумя банками. Первый банк предлагает кредит на 15 лет под \(6\%\) годовых, второй – на 6 лет под \(14\%\) годовых, причем в обоих банках дифференцированная система платежей. Определите, в какой банк выгоднее обратиться Родиону и сколько процентов от кредита составляет эта выгода.

Добавить задание в избранное

Выгоднее будет предложение от того банка, по которому будет меньше переплата. Пусть \(A\) – сумма, которую Родион хочет взять в кредит. Заметим, что так как система выплат дифференцированная, то переплата по кредиту равна сумме “набежавших” на долг процентов на начало каждого года.

 

1) Первый банк предлагает кредит на 15 лет, следовательно, каждый год после платежа основной долг уменьшается на \(\frac1{15}\) часть. То есть если в начале 1-ого года долг равен \(A\), то в начале 2-ого — \(A-\frac1{15}A=\frac{14}{15}A\), в начале 3-его — \(\frac{13}{15}A\), в начале 4-ого — \(\frac{12}{15}A\) и т.д. Значит, “набежавшие” в 1-ый год проценты — это \(0,06\cdot A\), во 2-ой год — это \(0,06\cdot \frac{14}{15}A\), в 3-ий — это \(0,06\cdot \frac{13}{15}A\) и т.д. Следовательно, переплата: \[\begin{aligned}&Per_1=0,06\cdot A+0,06\cdot \frac{14}{15}A+\dots+ 0,06\cdot \frac2{15}A+0,06\cdot \frac1{15}A=\\[2ex] &=0,06A\cdot \left(1+\frac{14}{15}+\dots+\frac2{15}+\frac1{15}\right)=0,06A\cdot 8=0,48A\end{aligned}\]

2) Второй банк предлагает кредит на 6 лет, следовательно, применяя те же рассуждения, получим: \[Per_2=0,14A\cdot \left(1+\frac56+\frac46+\frac36+\frac26+\frac16\right)= 0,14A\cdot 3,5=0,49A\]

Следовательно, в первом банке переплата меньше, значит, обратиться в этот банк будет более выгодно.

 

Выгода равна \(0,49A-0,48A=0,01A\), значит, она составляет \(1\%\) от суммы кредита.

Ответ: 1

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Банк выдает кредит на следующих условиях:
— раз в год банк начисляет на текущий долг некоторый процент годовых;
— раз в год после начисления процентов клиент обязан внести платеж в счет погашения кредита, причем платежи вносятся таким образом, чтобы сумма долга уменьшалась каждый год на одну и ту же величину;
— отношение наибольшего платежа к наименьшему платежу равно \(17:9\).
Сколько процентов составит переплата от кредита, если взять такой кредит на 9 лет?

Добавить задание в избранное

Из условия следует, что кредит должен выплачиваться дифференцированными платежами.
Пусть в банке взято \(A\) рублей в кредит. Если \(r\%\) – процентная ставка в банке, то обозначим величину \(0,01r=p\). Тогда можно составить таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до начисления проц.} & \text{Долг после начисления проц.} & \text{Платеж}\\ \hline 1 & A & A+pA & pA+\frac19A\\ \hline 2 & \frac89A & \frac89A+p\cdot \frac89A & p\cdot \frac89A+\frac19A\\ \hline ... &... & ... & ...\\ \hline 9 & \frac19A & \frac19A+p\cdot \frac19A & p\cdot \frac19A+\frac19A\\ \hline \end{array}\]

Так как система выплат дифференцированная, то наибольший платеж – первый, а наименьший – последний. Следовательно, \[\dfrac{pA+\frac19A}{p\cdot \frac19A+\frac19A}=\dfrac{17}9 \quad\Leftrightarrow \quad p=\dfrac18\] Тогда переплата по кредиту равна \[pA+p\cdot \dfrac89A+p\cdot \dfrac79A+\dots+p\cdot \dfrac19A= p\cdot A\cdot \left(1+\dfrac89+\dfrac79+\dots+\dfrac19\right)=5pA\] Следовательно, переплата составила от кредита \[\dfrac{5pA}{A}\cdot 100\%=500p\%=62,5\%.\]

Ответ: 62,5

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Павлу банком был предложен кредит на следующих условиях:
– сумма кредита не должна превышать \(150\,000\) рублей;
– раз в месяц банк начисляет на остаток долга \(22\%\);
– после начисления процентов Павел вносит в банк некоторый платеж, причем весь кредит должен быть выплачен тремя платежами так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно.
Помогите посчитать Павлу, сколько процентов от первоначального долга составит переплата по данному кредиту?

Добавить задание в избранное

Т.к. долг должен уменьшаться равномерно, то схема выплаты кредита – дифференцированные платежи. Т.к. платежей должно быть \(3\), значит, кредит дается на \(3\) месяца, следовательно, долг каждый месяц должен уменьшаться на \(\dfrac{1}{3}\) часть. Составим таблицу, обозначив за \(A\) – сумму кредита:

\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц}&\text{Долг до} & \text{Долг после} & \text{Сумма}& \text{Долг после}\\ & \text{начисления }\%& \text{начисления }\% &\text{платежа}& \text{платежа} \\ \hline &&&&\\ 1& A&A+0,22\cdot A &0,22\cdot A+\dfrac{1}{3}\cdot A& \dfrac{2}{3}\cdot A\\ &&&&\\ \hline &&&&\\ 2&\dfrac{2}{3}\cdot A & \dfrac{2}{3}\cdot A+0,22\cdot \dfrac{2}{3}\cdot A&0,22\cdot \dfrac{2}{3}\cdot A+\dfrac{1}{3}\cdot A&\dfrac{1}{3}\cdot A \\ &&&&\\ \hline &&&&\\ 3&\dfrac{1}{3}\cdot A &\dfrac{1}{3}\cdot A+0,22\cdot \dfrac{1}{3}\cdot A &0,22\cdot \dfrac{1}{3}\cdot A+\dfrac{1}{3}\cdot A&0 \\ &&&&\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, переплата по кредиту составит:

 

\(\left(0,22\cdot A+\dfrac{1}{3}\cdot A+0,22\cdot \dfrac{2}{3}\cdot A+\dfrac{1}{3}\cdot A+0,22\cdot \dfrac{1}{3}\cdot A+\dfrac{1}{3}\cdot A\right) - A=\)  

\(=0,22\cdot A\cdot \left(1+\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}\right)=0,44A\)

 

Следовательно, процент, который составит переплата относительно первоначального долга, равен:

 

\(\dfrac{0,44A}{A}\cdot 100\% = 44 \%\).

 

Заметим, что информация о том, что сумма кредита не должна превышать \(150\,000\) рублей, на самом деле не нужна для того, чтобы ответить на вопрос задачи.

Ответ:

\(44 \%\).

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

15-го января планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условие его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на \(3\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на 16-й месяц кредитования нужно сделать платеж в размере 29,6 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Пусть \(A\) тыс. рублей – сумма, взятая в кредит. Фраза “долг должен быть на одну и ту же величину меньше” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами. Каждый такой платеж состоит из двух частей: первая часть всегда одинаковая – это \(\dfrac1{31}\) часть от \(A\); вторая часть состоит из процентов, “набежавших” на долг в этом месяце.

Составим таблицу:

\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} &\text{Долг до} & \text{Долг после} & \text{Сумма} & \text{Долг после}\\ & \text{начисления }\%& \text{начисления }\% &\text{платежа} & \text{платежа} \\ \hline &&&&\\ 1& A&A+0,03\cdot A &0,03\cdot A+\dfrac{1}{31}\cdot A& \dfrac{30}{31}\cdot A\\ &&&&\\ \hline &&&&\\ 2&\dfrac{30}{31}\cdot A & \dfrac{30}{31}\cdot A+0,03\cdot \dfrac{30}{31}\cdot A &0,03\cdot \dfrac{30}{31}\cdot A+\dfrac{1}{31}\cdot A&\dfrac{29}{31}\cdot A \\ &&&&\\ \hline &&&&\\ 3&\dfrac{29}{31}\cdot A &\dfrac{29}{31}\cdot A+0,03\cdot \dfrac{29}{31}\cdot A &0,03\cdot \dfrac{29}{31}\cdot A+\dfrac{1}{31}\cdot A&\dfrac{28}{31}\cdot A \\ &&&&\\ \hline &&&&\\ ...&... &... &...&... \\ &&&&\\ \hline &&&&\\ 16&\dfrac{16}{31}\cdot A &\dfrac{16}{31}\cdot A+0,03\cdot \dfrac{16}{31}\cdot A &0,03\cdot \dfrac{16}{31}\cdot A+\dfrac{1}{31}\cdot A=29,6&\dfrac{15}{31}\cdot A \\ &&&&\\ \hline &&&&\\ ...&... &... &...&... \\ &&&&\\ \hline &&&&\\ 31&\dfrac{1}{31}\cdot A &\dfrac{1}{31}\cdot A+0,03\cdot \dfrac{1}{31}\cdot A &0,03\cdot \dfrac{1}{31}\cdot A+\dfrac{1}{31}\cdot A&0 \\ &&&&\\ \hline \end{array}\]

Из полученного уравнения \(0,03\cdot \dfrac{16}{31}\cdot A+\dfrac{1}{31}\cdot A=29,6\) можно найти \[A=620.\]

Тогда за все месяцы кредитования будет выплачено банку:   \(0,03\cdot A+\dfrac1{31}A+0,03\cdot \dfrac{30}{31}A+\dfrac1{31}A+\dots+0,03\cdot \dfrac1{31}A+\dfrac1{31}A= 31\cdot \dfrac1{31}A+0,03\cdot A\cdot \left(1+\dfrac{30}{31}+\dfrac{29}{31}+\dots+\dfrac1{31}\right)=\)   \(=A+0,03\cdot A\cdot \dfrac{1+\frac1{31}}2\cdot 31=\dfrac{37}{25}A=\dfrac{37}{25}\cdot 620=917,6\) тыс. рублей.

Ответ: 917,6

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьший годовой процент, под который банку необходимо выдавать кредит сроком на 4 года, чтобы переплата по такому кредиту составила не менее \(30\%\) от суммы кредита, а выплачивался кредит ежегодными платежами, уменьшающими долг каждый год на одну и ту же величину.

Добавить задание в избранное

Фраза “выплачивался кредит ежегодными платежами, уменьшающими долг каждый год на одну и ту же величину” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами. Следовательно, каждый год после платежа долг становился меньше на одну и ту же величину, равную \(\frac14\) (так как 4 года) части от суммы, взятой в кредит.

 

Пусть \(A\) – сумма, взятая в кредит, \(y\%\) – годовой процент в банке. Тогда обозначим величину \(0,01y=p\) (десятичный процент). Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг до начисления }\%&\text{Долг после начисления }\%&\text{Платеж}\\ \hline 1& A & A+p\cdot A & p\cdot A+\frac14A\\ \hline 2& \frac34A & \frac34A+p\cdot \frac34A & p\cdot \frac34A+\frac14A\\ \hline 3& \frac24A & \frac24A+p\cdot \frac24A & p\cdot \frac24A+\frac14A\\ \hline 4& \frac14A & \frac14A+p\cdot \frac14A & p\cdot \frac14A+\frac14A\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, общая сумма выплат по кредиту равна \[p\cdot A+\frac14A+p\cdot \frac34A+\frac14A+p\cdot \frac24A+\frac14A+p\cdot \frac14A+\frac14A= pA\cdot \left(1+\frac34+\frac24+\frac14\right)+A\]

Значит, переплата \(Per\) равна \[Per=pA\cdot \left(1+\frac34+\frac24+\frac14\right)=\frac52pA\]

Необходимо, чтобы переплата составила не менее \(30\%\) от суммы кредита, то есть \[Per\geqslant 0,3A \quad\Rightarrow\quad \frac52pA\geqslant 0,3A\quad\Leftrightarrow\quad p\geqslant \frac6{50}\quad\Rightarrow\quad y\geqslant 12.\]

Таким образом, наименьший годовой процент равен \(12\%\).

Ответ: 12

Курс современной математики, которая преподается будущим выпускникам в старших классах, регулярно меняется. В настоящее время учащийся, который готовится к сдаче ЕГЭ по этому предмету, должен уметь правильно решать задачи на дифференцированные платежи. В аттестационном испытании профильного уровня задания, затрагивающие сферу финансовой математики, встречаются регулярно. Решение задач ЕГЭ по дифференцированным платежам за кредит предполагает наличие у школьника базовых навыков анализа числовых данных и осуществление практических расчетов по формулам.

Вместе с образовательным порталом «Школково» вы сможете восполнить пробелы в знаниях и отточить необходимое умение. Базовый теоретический и практический материал по данной теме представлен в соответствующих разделах сайта таким образом, чтобы все учащиеся могли без особых затруднений справляться с задачами ЕГЭ на дифференцированные платежи.

Основные моменты

При выполнении заданий из области финансовой математики необходимо запомнить несколько важных нюансов:

  1. Общая выплата по кредиту состоит из тела кредита и процентов, которые начисляются банком. Эта важная формула лежит в основе практически всех задач по данной тематике.
  2. В процессе расчета дифференцированного платежа общая сумма первоначального кредита должна быть поделена на равные части. Как правило, их количество соответствует числу проводимых платежей.
  3. Если в условии задачи фигурируют словосочетания «равными частями», «долг уменьшается на одну и ту же величину» и т. п., вероятнее всего, речь идет именно о дифференцированном платеже.

Для того чтобы выпускник мог не только усвоить теоретический материал, но и отточить навык выполнения практических заданий, рекомендуем сделать соответствующие упражнения. Для каждого из них специалисты «Школково» прописали алгоритм решения и привели правильный ответ. Тренироваться в решении задач на дифференцированные платежи при подготовке к ЕГЭ выпускники могут в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.