Клиент взял в банке кредит на некоторую сумму на 12 лет под \(8\%\) годовых, причем выплачивал кредит он так, чтобы сумма долга каждый год уменьшалась равномерно. Известно, что за первые 8 лет он отдал банку 7 млн рублей. Найдите, сколько млн. рублей он заплатил банку за последние 4 года пользования кредитом.
Пусть \(A\) млн. рублей — сумма, взятая в кредит. Так как “сумма долга каждый год уменьшалась равномерно”, то кредит выплачивается дифференцированными платежами. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг до начисления }\%&\text{Долг после начисления }\% &\text{Платеж}\\ \hline 1 & A & A+0,08\cdot A & 0,08\cdot A+\frac1{12}\cdot A \\ \hline 2 & \frac{11}{12}A & \frac{11}{12}A+0,08\cdot \frac{11}{12}A & 0,08\cdot \frac{11}{12}A+\frac1{12}A \\ \hline 3 & \frac{10}{12}A & \frac{10}{12}A+0,08\cdot\frac{10}{12}A & 0,08\cdot\frac{10}{12}A+\frac1{12}A \\ \hline 4 & \frac{9}{12}A & \frac{9}{12}A+0,08\cdot\frac{9}{12}A & 0,08\cdot\frac{9}{12}A+\frac1{12}A \\ \hline ... & ... & ... & ... \\ \hline 8 & \frac{5}{12}A & \frac{5}{12}A+0,08\cdot\frac{5}{12}A & 0,08\cdot\frac{5}{12}A+\frac1{12}A \\ \hline ... & ... & ... & ... \\ \hline 11 & \frac2{12} A & \frac2{12}A+0,08\cdot\frac2{12}A & 0,08\cdot\frac2{12}A+\frac1{12}A \\ \hline 12 & \frac1{12} A & \frac1{12}A+0,08\cdot\frac1{12}A & 0,08\cdot\frac1{12}A+\frac1{12}A\\ \hline \end{array}\]
Значит, за первые 8 лет клиент отдал банку \[\begin{aligned} &\left(0,08\cdot A+\frac1{12}\cdot A\right)+\left(0,08\cdot \frac{11}{12}A+\frac1{12}A\right)+\dots+\left(0,08\cdot\frac{5}{12}A+\frac1{12}A\right)=7\\[2ex] &8\cdot \frac1{12}A+0,08A\cdot\left(1+\frac{11}{12}+\frac{10}{12}+\dots+\frac5{12}\right)=7\\[2ex] &\frac23A+0,08A\cdot \dfrac{17}3=7\\[2ex] &A=6,25 \end{aligned}\]
Тогда за последние 4 года он отдал банку \[\begin{aligned} &\left(0,08\cdot\frac{4}{12}A+\frac1{12}A\right)+\left(0,08\cdot\frac{3}{12}A+\frac1{12}A\right)+ \left(0,08\cdot\frac{2}{12}A+\frac1{12}A\right)+\left(0,08\cdot\frac{1}{12}A+\frac1{12}A\right)=\\[2ex] &4\cdot \frac1{12}A+0,08A\cdot \left(\frac4{12}+\frac3{12}+\frac2{12}+\frac1{12}\right)=\dfrac25A=\dfrac25\cdot 6,25=2,5\end{aligned}\]
Следовательно, за последние 4 года от отдал банку \(2,5\) млн. рублей.
Ответ: 2,5