Математика
Русский язык

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи про банковский кредит: дифференцированный платеж (страница 4)

Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц).
При этом платежи каждый год разные.

 

Таким образом, если кредит взят на \(n\) лет, то это значит, что сумму кредита \(A\) разделили на \(n\) равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на \(\dfrac1n A\) по сравнению с долгом на начало года.

 

Пример: Александр взял в банке кредит на \(50\,000\) рублей на \(3\) месяца, причем выплачивать кредит он должен ежемесячными выплатами так, чтобы сумма долга каждый месяц уменьшалась на одну и ту же величину. Сколько рублей составит переплата Александра по кредиту, если процентная ставка в банке \(10\%\)?

 

Т.к. кредит взят на \(3\) месяца, то после первой выплаты долг должен составить \(A-\frac13A=\frac23 A\), после второй \(\frac23A-\frac13A=\frac13A\), а после третьей — \(\frac13A-\frac13A=0\) рублей. Составим таблицу, производя все вычисления в тыс. рублей: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Выплата}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после выплаты}&\\ \hline 1&50&50+0,1\cdot 50&\frac23\cdot 50&0,1\cdot 50+\frac13\cdot 50\\ \hline 2&\frac23\cdot 50&\frac23\cdot 50+0,1\cdot\frac23\cdot 50&\frac13\cdot 50&0,1\cdot \frac23\cdot 50+\frac13\cdot50\\ \hline 3&\frac13\cdot 50&\frac13\cdot 50+0,1\cdot \frac13\cdot 50&0&0,1\cdot \frac13\cdot 50+\frac13\cdot 50\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, всего Александр заплатил банку \(\big(0,1\cdot 50+\dfrac13\cdot 50\big)+\big(0,1\cdot \dfrac23\cdot 50+\dfrac13\cdot50\big)+\big(0,1\cdot \dfrac13\cdot 50+\dfrac13\cdot 50\big)\) тыс.рублей.

 

Перегруппируем слагаемые и вынесем за скобки общие множители:

 

\(0,1\cdot 50 \left(1+\dfrac23+\dfrac13\right)+3\cdot \dfrac13\cdot 50=0,1\cdot 50\cdot 2+50\)

 

Для того, чтобы найти переплату по кредиту, необходимо из того, что он в итоге заплатил банку, отнять сумму кредита:

 

\(\big(0,1\cdot 50\cdot 2+50\big)-50=10\) тыс. рублей.
Таким образом, его переплата составила \(10\,000\) рублей.  

Заметим,

 

I. что каждая выплата состоит из двух частей:
первая часть — это сумма “набежавших” процентов на текущий долг (в первый год это \(0,1\cdot 50\), во второй — \(0,1\cdot \big(\frac23\cdot 50\big)\) и т.д.)
вторая часть всегда фиксирована — это та часть, на которую должен уменьшаться долг каждый год (в нашем примере это \(\frac13\cdot 50\)).

 

Действительно, когда клиент выплачивает “набежавшие” проценты, сумма его долга становится равна той, которая была до начисления процентов (например, в первый год становится равна \(A\)). А далее он еще вносит \(\frac 1n\) часть от этого долга. И таким образом сумма долга уменьшается на \(\frac 1n\) часть, что и подразумевает дифференцированная система платежей.

 

II. переплата по кредиту всегда равна сумме “набежавших” процентов на долг в первый год, во второй год, в третий год и т.д.

 

В нашем примере переплата как раз равна \(0,1\cdot 50+0,1\cdot \frac23\cdot 50+0,1\cdot \frac13\cdot 50\).

 

Формула для выплаты в \(i\)-ый год: \[{\Large{x_i=\dfrac{r}{100}\cdot \dfrac{n-i+1}{n}A+\dfrac1n A}}\] где \(n\) – количество лет, на которое взят кредит, \(A\) – сумма кредита, \(r\%\) – процентная ставка.

Задание 22
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Банк выдал кредит на \(1\) млн. рублей под \(7\%\) годовых сроком на 15 лет. Через сколько полных лет после выдачи кредита банк вернет себе свой миллион, если выплаты производятся раз в год дифференцированными платежами?

Добавить задание в избранное

Так как кредит выплачивается дифференцированными платежами, то каждый год после выплаты основной долг уменьшается на \(\frac1{15}\) (так как 15 лет) часть от кредита, равного 1 млн. рублей. Следовательно, на начало второго года долг будет равен \(\frac{14}{15}\) млн. рублей, на начало третьего будет равен \(\frac{13}{15}\) млн. рублей и т.д.

 

Составим таблицу, ведя вычисления в млн. рублей: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг до начисления }\%&\text{Долг после начисления }\% &\text{Платеж}\\ \hline 1 & 1 & 1+0,07\cdot 1 & 0,07\cdot 1+\frac1{15}\cdot 1 \\ \hline 2 & \frac{14}{15} & \frac{14}{15}+0,07\cdot \frac{14}{15} & 0,07\cdot \frac{14}{15}+\frac1{15} \\ \hline 3 & \frac{13}{15} & \frac{13}{15}+0,07\cdot\frac{13}{15} & 0,07\cdot\frac{13}{15}+\frac1{15} \\ \hline 4 & \frac{12}{15} & \frac{12}{15}+0,07\cdot\frac{12}{15} & 0,07\cdot\frac{12}{15}+\frac1{15} \\ \hline ... & ... & ... & ... \\ \hline k & \frac{15-(k-1)}{15} & \frac{15-(k-1)}{15}+0,07\cdot\frac{15-(k-1)}{15} & 0,07\cdot\frac{15-(k-1)}{15}+\frac1{15} \\ \hline ... & ... & ... & ... \\ \hline 14 & \frac2{15} & \frac2{15}+0,07\cdot\frac2{15} & 0,07\cdot\frac2{15}+\frac1{15} \\ \hline 15 & \frac1{15} & \frac1{15}+0,07\cdot\frac1{15} & 0,07\cdot\frac1{15}+\frac1{15}\\ \hline \end{array}\]

1 способ.

 

Тогда банк вернет себе свой миллион тогда, когда впервые сумма выплат станет больше 1 млн рублей. Следовательно, необходимо просуммировать все выплаты с 1-ого по \(k\)-ый годы, и тот наименьший \(k\), для которого эта сумма превысит 1 миллион, и будет ответом на вопрос задачи.

\[\begin{aligned} &\left(0,07\cdot 1+\frac1{15}\cdot 1\right)+\left(0,07\cdot \frac{14}{15}+\frac1{15}\right)+ \dots+\left(0,07\cdot\frac{15-(k-2)}{15}+\frac1{15}\right)+\left(0,07\cdot\frac{15-(k-1)}{15}+\frac1{15}\right)>1 \quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &0,07\cdot\left(1+\frac{14}{15}+\dots+\frac{15-(k-2)}{15}+\frac{15-(k-1)}{15}\right)+\dfrac1{15}\cdot k>1\quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &0,07\cdot\left(\dfrac{15}{15}+\frac{15-1}{15}+\dots+\frac{15-(k-2)}{15}+\frac{15-(k-1)}{15}\right)+\dfrac1{15}\cdot k>1\quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &0,07\cdot \dfrac{15\cdot k-(1+2+\dots+(k-2)+(k-1))}{15}+\dfrac k{15}>1\quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &0,07\cdot \dfrac{15k-\frac{k(k-1)}2}{15}+\dfrac k{15}>1\quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &7k^2-417k+3000<0\quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad & k\in\left(\dfrac{417-19\sqrt{249}}{14};\dfrac{417+19\sqrt{249}}{14}\right) \end{aligned}\]

Заметим, что \(\dfrac{417-19\sqrt{249}}{14}>0\), следовательно, необходимо оценить данное число с точностью до целого.

 

\[\begin{aligned} &15<\sqrt{249}<16\\ &-304<-19\cdot \sqrt{249}<-285\\[2ex] &8\frac1{14}=\dfrac{113}{14}<\dfrac{417-19\sqrt{249}}{14}<\dfrac{132}{14}=9\frac37 \end{aligned}\]

 

Таким образом, наименьшее подходящее \(k\) – это либо \(9\) (если \(\frac{417-19\sqrt{249}}{14}\sim 8,...\)), либо \(10\) (если \(\frac{417-19\sqrt{249}}{14}\sim 9,...\)). Подставив в выражение \(7k^2-417k+3000\) \(k=9\), получим \(-186\). Так как неравенство было как раз “\(<0\,\)”, то подходит \(k=9\).

 

Следовательно, через 9 лет банк вернет себе миллион.

 

2 способ.

 

Учитывая рассуждения из 1 способа, будем вычислять последовательно сумму выплат за первый год, за первый и второй, за первый, второй и третий и т.д., пока не получится число больше 1 млн. рублей.

 

За 1 год: \(0,07\cdot 1+\dfrac1{15}\cdot 1=\dfrac7{100}+\dfrac1{15}=\dfrac{41}{300}<1\).  

За 1 и 2 годы: \(\dfrac{41}{300}+0,07\cdot \dfrac{14}{15}+\dfrac1{15}=\dfrac{403}{1500}<1\).  

За 1, 2 и 3 годы: \(\dfrac{403}{1500}+0,07\cdot\dfrac{13}{15}+\dfrac1{15}=\dfrac{594}{1500}<1\).  

\(\dots\)  

За 1-8 годы: \(\dfrac{1444}{1500}<1\).  

За 1-9 годы: \(\dfrac{1593}{1500}>1\).

Ответ: 9