Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи про банковский кредит: дифференцированный платеж (страница 4)

Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц).
При этом платежи каждый год разные.

 

Таким образом, если кредит взят на \(n\) лет, то это значит, что сумму кредита \(A\) разделили на \(n\) равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на \(\dfrac1n A\) по сравнению с долгом на начало года.

 

Пример: Александр взял в банке кредит на \(50\,000\) рублей на \(3\) месяца, причем выплачивать кредит он должен ежемесячными выплатами так, чтобы сумма долга каждый месяц уменьшалась на одну и ту же величину. Сколько рублей составит переплата Александра по кредиту, если процентная ставка в банке \(10\%\)?

 

Т.к. кредит взят на \(3\) месяца, то после первой выплаты долг должен составить \(A-\frac13A=\frac23 A\), после второй \(\frac23A-\frac13A=\frac13A\), а после третьей — \(\frac13A-\frac13A=0\) рублей. Составим таблицу, производя все вычисления в тыс. рублей: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Выплата}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после выплаты}&\\ \hline 1&50&50+0,1\cdot 50&\frac23\cdot 50&0,1\cdot 50+\frac13\cdot 50\\ \hline 2&\frac23\cdot 50&\frac23\cdot 50+0,1\cdot\frac23\cdot 50&\frac13\cdot 50&0,1\cdot \frac23\cdot 50+\frac13\cdot50\\ \hline 3&\frac13\cdot 50&\frac13\cdot 50+0,1\cdot \frac13\cdot 50&0&0,1\cdot \frac13\cdot 50+\frac13\cdot 50\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, всего Александр заплатил банку \(\big(0,1\cdot 50+\dfrac13\cdot 50\big)+\big(0,1\cdot \dfrac23\cdot 50+\dfrac13\cdot50\big)+\big(0,1\cdot \dfrac13\cdot 50+\dfrac13\cdot 50\big)\) тыс.рублей.

 

Перегруппируем слагаемые и вынесем за скобки общие множители:

 

\(0,1\cdot 50 \left(1+\dfrac23+\dfrac13\right)+3\cdot \dfrac13\cdot 50=0,1\cdot 50\cdot 2+50\)

 

Для того, чтобы найти переплату по кредиту, необходимо из того, что он в итоге заплатил банку, отнять сумму кредита:

 

\(\big(0,1\cdot 50\cdot 2+50\big)-50=10\) тыс. рублей.
Таким образом, его переплата составила \(10\,000\) рублей.  

Заметим,

 

I. что каждая выплата состоит из двух частей:
первая часть — это сумма “набежавших” процентов на текущий долг (в первый год это \(0,1\cdot 50\), во второй — \(0,1\cdot \big(\frac23\cdot 50\big)\) и т.д.)
вторая часть всегда фиксирована — это та часть, на которую должен уменьшаться долг каждый год (в нашем примере это \(\frac13\cdot 50\)).

 

Действительно, когда клиент выплачивает “набежавшие” проценты, сумма его долга становится равна той, которая была до начисления процентов (например, в первый год становится равна \(A\)). А далее он еще вносит \(\frac 1n\) часть от этого долга. И таким образом сумма долга уменьшается на \(\frac 1n\) часть, что и подразумевает дифференцированная система платежей.

 

II. переплата по кредиту всегда равна сумме “набежавших” процентов на долг в первый год, во второй год, в третий год и т.д.

 

В нашем примере переплата как раз равна \(0,1\cdot 50+0,1\cdot \frac23\cdot 50+0,1\cdot \frac13\cdot 50\).

 

Формула для выплаты в \(i\)-ый год: \[{\Large{x_i=\dfrac{r}{100}\cdot \dfrac{n-i+1}{n}A+\dfrac1n A}}\] где \(n\) – количество лет, на которое взят кредит, \(A\) – сумма кредита, \(r\%\) – процентная ставка.

Задание 22 #2892
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Клиент взял в банке кредит на некоторую сумму на 12 лет под \(8\%\) годовых, причем выплачивал кредит он так, чтобы сумма долга каждый год уменьшалась равномерно. Известно, что за первые 8 лет он отдал банку 7 млн рублей. Найдите, сколько млн. рублей он заплатил банку за последние 4 года пользования кредитом.

Добавить задание в избранное

Пусть \(A\) млн. рублей — сумма, взятая в кредит. Так как “сумма долга каждый год уменьшалась равномерно”, то кредит выплачивается дифференцированными платежами. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг до начисления }\%&\text{Долг после начисления }\% &\text{Платеж}\\ \hline 1 & A & A+0,08\cdot A & 0,08\cdot A+\frac1{12}\cdot A \\ \hline 2 & \frac{11}{12}A & \frac{11}{12}A+0,08\cdot \frac{11}{12}A & 0,08\cdot \frac{11}{12}A+\frac1{12}A \\ \hline 3 & \frac{10}{12}A & \frac{10}{12}A+0,08\cdot\frac{10}{12}A & 0,08\cdot\frac{10}{12}A+\frac1{12}A \\ \hline 4 & \frac{9}{12}A & \frac{9}{12}A+0,08\cdot\frac{9}{12}A & 0,08\cdot\frac{9}{12}A+\frac1{12}A \\ \hline ... & ... & ... & ... \\ \hline 8 & \frac{5}{12}A & \frac{5}{12}A+0,08\cdot\frac{5}{12}A & 0,08\cdot\frac{5}{12}A+\frac1{12}A \\ \hline ... & ... & ... & ... \\ \hline 11 & \frac2{12} A & \frac2{12}A+0,08\cdot\frac2{12}A & 0,08\cdot\frac2{12}A+\frac1{12}A \\ \hline 12 & \frac1{12} A & \frac1{12}A+0,08\cdot\frac1{12}A & 0,08\cdot\frac1{12}A+\frac1{12}A\\ \hline \end{array}\]

Значит, за первые 8 лет клиент отдал банку \[\begin{aligned} &\left(0,08\cdot A+\frac1{12}\cdot A\right)+\left(0,08\cdot \frac{11}{12}A+\frac1{12}A\right)+\dots+\left(0,08\cdot\frac{5}{12}A+\frac1{12}A\right)=7\\[2ex] &8\cdot \frac1{12}A+0,08A\cdot\left(1+\frac{11}{12}+\frac{10}{12}+\dots+\frac5{12}\right)=7\\[2ex] &\frac23A+0,08A\cdot \dfrac{17}3=7\\[2ex] &A=6,25 \end{aligned}\]

Тогда за последние 4 года он отдал банку \[\begin{aligned} &\left(0,08\cdot\frac{4}{12}A+\frac1{12}A\right)+\left(0,08\cdot\frac{3}{12}A+\frac1{12}A\right)+ \left(0,08\cdot\frac{2}{12}A+\frac1{12}A\right)+\left(0,08\cdot\frac{1}{12}A+\frac1{12}A\right)=\\[2ex] &4\cdot \frac1{12}A+0,08A\cdot \left(\frac4{12}+\frac3{12}+\frac2{12}+\frac1{12}\right)=\dfrac25A=\dfrac25\cdot 6,25=2,5\end{aligned}\]

Следовательно, за последние 4 года от отдал банку \(2,5\) млн. рублей.

Ответ: 2,5

Задание 23 #2021
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Одну и ту же сумму в кредит можно получить в банке “Берикредит” на 5 лет под \(x\%\) годовых, а в банке “Вдолгдам” — на 4 года под \(y\%\) годовых, причем выплачиваться кредит в обоих банках должен дифференцированными платежами. Известно, что банк “Берикредит” предлагает более выгодные условия, нежели банк “Вдолгдам”, причем выгода эта составляет \(2x\%\) от суммы кредита. Найдите отношение \(x:y\).

Добавить задание в избранное

Пусть сумма, которую в кредит предлагают оба банка, равна \(A\).

Составим таблицу для банка “Берикредит”:

\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг после} & \text{Сумма} & \text{Долг после}\\ & \text{начисления }\% &\text{платежа} & \text{платежа} \\ \hline &&&\\ 1& A+0,01x\cdot A & 0,01x\cdot A+\dfrac15\cdot A & \dfrac45\cdot A\\ &&&\\ \hline &&&\\ 2& \dfrac45\cdot A+0,01x\cdot\dfrac45\cdot A & 0,01x\cdot\dfrac45\cdot A+\dfrac15\cdot A & \dfrac35\cdot A\\ &&&\\ \hline &&&\\ 3& \dfrac35\cdot A+0,01x\cdot\dfrac35\cdot A & 0,01x\cdot\dfrac35\cdot A+\dfrac15\cdot A & \dfrac25\cdot A\\ &&&\\ \hline &&&\\ 4& \dfrac25\cdot A+0,01x\cdot\dfrac25\cdot A & 0,01x\cdot\dfrac25\cdot A+\dfrac15\cdot A & \dfrac15\cdot A\\ &&&\\ \hline &&&\\ 5& \dfrac15\cdot A+0,01x\cdot\dfrac15\cdot A & 0,01x\cdot\dfrac15\cdot A+\dfrac15\cdot A & 0\\ &&&\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, переплата (сумма всех платежей за вычетом суммы кредита) в этом банке равна

\[R_x=0,01x\cdot A\cdot\left(1+\dfrac45+\dfrac35+\dfrac25+\dfrac15\right)=0,03x\cdot A\]

Аналогично составляя таблицу для банка “Вдолгдам”, найдем переплату в этом банке:

\[R_y=0,01y\cdot A\cdot \left(1+\dfrac34+\dfrac24+\dfrac14\right)=0,025y\cdot A\]

Т.к. банк “Берикредит” предлагает более выгодные условия, то переплата в этом банке должна быть меньше, чем переплата в банке “Вдолгдам”, то есть \(R_x<R_y\). Значит, \(R_y-R_x\) – и есть выгода. Т.к. выгода составляет \(2x\%\) от суммы кредита, то:

\(\dfrac{R_y-R_x}A\cdot 100\%=2x\% \quad \Rightarrow \quad \dfrac{A\cdot (0,025y-0,03x)\cdot 100}A=2x \quad \Leftrightarrow\)

 

\(\Leftrightarrow \quad 2,5y-3x=2x \quad \Leftrightarrow \quad x:y=1:2\)

Ответ:

\(1:2\)

Задание 24 #2888
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Банк выдал кредит на сумму \(666\,666\) рублей под \(12,5\%\) годовых на некоторое число \(n\) лет. Известно, что кредит выплачивался ежегодными платежами, уменьшающими долг каждый год равномерно. Найдите наибольшее возможное \(n\), если известно, что наибольший платеж по кредиту точно превысил \(150\,000\) рублей.

Добавить задание в избранное

Фраза “кредит выплачивался ежегодными платежами, уменьшающими долг каждый год равномерно” означает, что долг выплачивался дифференцированными платежами. Значит, наибольший платеж по кредиту – это первый платеж. Действительно, если кредит взят на \(A\) рублей сроком на \(n\) лет под \(12,5\%\) годовых, то каждый год после платежа долг должен уменьшаться на \(\frac1nA\) по сравнению с долгом до начисления процентов (определение дифференцированного платежа): после первого платежа он станет равен \(A-\frac1nA=\frac{n-1}nA\), после второго – \(\frac{n-2}nA\) и т.д. Это значит, что каждый платеж состоит из двух частей: первая часть состоит из процентов, начисленных на долг в текущем году, а вторая часть всегда одинакова (это \(\frac1n A\)). А так как долг с каждым годом становится меньше, то первая часть платежа также становится меньше, соответственно, и платежи становятся меньше.

 

В первый год долг равен \(666\,666\), то есть первый платеж равен \[x_1=\frac 1n\cdot 666\,666 +0,125\cdot 666\,666\]

Так как наибольший платеж превысил \(150\,000\) рублей, то получаем неравенство  

\(\frac 1n\cdot 666\,666 +0,125\cdot 666\,666>150\,000\quad\Leftrightarrow\quad 666\,666\cdot \left(\dfrac1n+\dfrac18\right)>150\,000\quad\Leftrightarrow\)  

\(\Leftrightarrow\quad \dfrac1n>\dfrac{88\,889}{888\,888}\quad\Rightarrow\quad n<\dfrac{888\,888}{88\,889}=\dfrac{888\,890-2}{88\,889}=10-\dfrac{2}{88\,889}\)  

Таким образом, наибольшее целое \(n\) (целое, так как это количество лет) равно \(n=9\).

Ответ: 9

Задание 25 #2889
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Банк выдал кредит на \(1\) млн. рублей под \(7\%\) годовых сроком на 15 лет. Через сколько полных лет после выдачи кредита банк вернет себе свой миллион, если выплаты производятся раз в год дифференцированными платежами?

Добавить задание в избранное

Так как кредит выплачивается дифференцированными платежами, то каждый год после выплаты основной долг уменьшается на \(\frac1{15}\) (так как 15 лет) часть от кредита, равного 1 млн. рублей. Следовательно, на начало второго года долг будет равен \(\frac{14}{15}\) млн. рублей, на начало третьего будет равен \(\frac{13}{15}\) млн. рублей и т.д.

 

Составим таблицу, ведя вычисления в млн. рублей: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг до начисления }\%&\text{Долг после начисления }\% &\text{Платеж}\\ \hline 1 & 1 & 1+0,07\cdot 1 & 0,07\cdot 1+\frac1{15}\cdot 1 \\ \hline 2 & \frac{14}{15} & \frac{14}{15}+0,07\cdot \frac{14}{15} & 0,07\cdot \frac{14}{15}+\frac1{15} \\ \hline 3 & \frac{13}{15} & \frac{13}{15}+0,07\cdot\frac{13}{15} & 0,07\cdot\frac{13}{15}+\frac1{15} \\ \hline 4 & \frac{12}{15} & \frac{12}{15}+0,07\cdot\frac{12}{15} & 0,07\cdot\frac{12}{15}+\frac1{15} \\ \hline ... & ... & ... & ... \\ \hline k & \frac{15-(k-1)}{15} & \frac{15-(k-1)}{15}+0,07\cdot\frac{15-(k-1)}{15} & 0,07\cdot\frac{15-(k-1)}{15}+\frac1{15} \\ \hline ... & ... & ... & ... \\ \hline 14 & \frac2{15} & \frac2{15}+0,07\cdot\frac2{15} & 0,07\cdot\frac2{15}+\frac1{15} \\ \hline 15 & \frac1{15} & \frac1{15}+0,07\cdot\frac1{15} & 0,07\cdot\frac1{15}+\frac1{15}\\ \hline \end{array}\]

1 способ.

 

Тогда банк вернет себе свой миллион тогда, когда впервые сумма выплат станет больше 1 млн рублей. Следовательно, необходимо просуммировать все выплаты с 1-ого по \(k\)-ый годы, и тот наименьший \(k\), для которого эта сумма превысит 1 миллион, и будет ответом на вопрос задачи.

\[\begin{aligned} &\left(0,07\cdot 1+\frac1{15}\cdot 1\right)+\left(0,07\cdot \frac{14}{15}+\frac1{15}\right)+ \dots+\left(0,07\cdot\frac{15-(k-2)}{15}+\frac1{15}\right)+\left(0,07\cdot\frac{15-(k-1)}{15}+\frac1{15}\right)>1 \quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &0,07\cdot\left(1+\frac{14}{15}+\dots+\frac{15-(k-2)}{15}+\frac{15-(k-1)}{15}\right)+\dfrac1{15}\cdot k>1\quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &0,07\cdot\left(\dfrac{15}{15}+\frac{15-1}{15}+\dots+\frac{15-(k-2)}{15}+\frac{15-(k-1)}{15}\right)+\dfrac1{15}\cdot k>1\quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &0,07\cdot \dfrac{15\cdot k-(1+2+\dots+(k-2)+(k-1))}{15}+\dfrac k{15}>1\quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &0,07\cdot \dfrac{15k-\frac{k(k-1)}2}{15}+\dfrac k{15}>1\quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &7k^2-417k+3000<0\quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad & k\in\left(\dfrac{417-19\sqrt{249}}{14};\dfrac{417+19\sqrt{249}}{14}\right) \end{aligned}\]

Заметим, что \(\dfrac{417-19\sqrt{249}}{14}>0\), следовательно, необходимо оценить данное число с точностью до целого.

 

\[\begin{aligned} &15<\sqrt{249}<16\\ &-304<-19\cdot \sqrt{249}<-285\\[2ex] &8\frac1{14}=\dfrac{113}{14}<\dfrac{417-19\sqrt{249}}{14}<\dfrac{132}{14}=9\frac37 \end{aligned}\]

 

Таким образом, наименьшее подходящее \(k\) – это либо \(9\) (если \(\frac{417-19\sqrt{249}}{14}\sim 8,...\)), либо \(10\) (если \(\frac{417-19\sqrt{249}}{14}\sim 9,...\)). Подставив в выражение \(7k^2-417k+3000\) \(k=9\), получим \(-186\). Так как неравенство было как раз “\(<0\,\)”, то подходит \(k=9\).

 

Следовательно, через 9 лет банк вернет себе миллион.

 

2 способ.

 

Учитывая рассуждения из 1 способа, будем вычислять последовательно сумму выплат за первый год, за первый и второй, за первый, второй и третий и т.д., пока не получится число больше 1 млн. рублей.

 

За 1 год: \(0,07\cdot 1+\dfrac1{15}\cdot 1=\dfrac7{100}+\dfrac1{15}=\dfrac{41}{300}<1\).  

За 1 и 2 годы: \(\dfrac{41}{300}+0,07\cdot \dfrac{14}{15}+\dfrac1{15}=\dfrac{403}{1500}<1\).  

За 1, 2 и 3 годы: \(\dfrac{403}{1500}+0,07\cdot\dfrac{13}{15}+\dfrac1{15}=\dfrac{594}{1500}<1\).  

\(\dots\)  

За 1-8 годы: \(\dfrac{1444}{1500}<1\).  

За 1-9 годы: \(\dfrac{1593}{1500}>1\).

Ответ: 9