Математика
Русский язык

Тренировочные варианты "Школково". Уровень школьник

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Уровень школьник. Тренировочный вариант №1

Задание 1

Доллар стоит \(80\) рублей. Какое наибольшее количество долларов можно купить на \(1500\) рублей?

По условию задачи надо найти наибольшее целое число, при умножении которого на \(80\) результат останется не больше \(1500\). Это число получается после округления в меньшую сторону результата от деления \(1500\) на \(80\) и равно \(18\). (Т.к. для покупки \(19\) долларов нам необходимо уже \(1520\) рублей, а это превышает имеющуюся сумму денег.)

Ответ: 18

Задание 2

На рисунке жирными точками показано количество осадков, выпавших в Чебоксарах в период со \(2\) по \(15\) апреля. По горизонтали указывается день месяца, по вертикали – количество осадков в миллиметрах, выпавших в соответствующий день. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольшее количество дневных осадков, выпавшее в Чебоксарах в этот период. Ответ дайте в миллиметрах.



По рисунку видно, что наибольшее количество осадков в день, выпадавшее за этот период, равно \(6,5\, мм\).

Ответ: 6,5

Задание 3

В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 70^{\circ}\), \(AB = BC\). Найдите \(\angle B\). Ответ дайте в градусах.



В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle A = \angle C = 70^{\circ}\). Так как у любого треугольника сумма углов равна \(180^{\circ}\), то \(\angle B = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 70^{\circ} = 40^{\circ}\).

Ответ: 40

Задание 4

В классе \(10\) мальчиков и \(15\) девочек. Учитель случайным образом выбирает отвечающего у доски. Какова вероятность того, что у доски будет отвечать девочка?

Так как вероятности выбора любого школьника одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества девочек к общему количеству человек в классе. Вероятность выбора девочки равна \[\dfrac{15}{10 + 15} = 0,6.\]

Ответ: 0,6

Задание 5

Найдите корень уравнения \(2017^{5 + x} = 1\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение есть \(2017^{5 + x} = 2017^0\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(5 + x = 0\), что равносильно \(x = -5\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -5

Задание 6

\(AC\) – диаметр окружности с центром в точке \(O\). Найдите \(\angle ABC\), если \(B\) лежит на окружности. Ответ дайте в градусах.




 

1 способ: \(\angle ABC\) – вписанный. Вписанный угол в два раза меньше градусной меры дуги, на которую он опирается.
Градусная мера дуги есть градусная мера центрального угла, который на неё опирается, тогда градусная мера дуги \(AC\) равна \(180^{\circ}\) и \(\angle ABC = 90^{\circ}\).

 

2 способ: из теоремы “Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым” сразу следует, что \(\angle ABC=90^\circ\).

Ответ: 90

Задание 7

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t) = 7t^2 - 12t\), где \(x\) – расстояние от точки \(x = 0\) в метрах, \(t\) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени \(t = 1\, c\). Ответ дайте в метрах в секунду.

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону \(x(t)\), в момент времени \(t_0\) равна \(x'(t_0)\).

\(x'(t) = 14t - 12\), тогда в момент \(t = 1\) с:

\(x'(1) = 14\cdot 1 - 12 = 2\, м/с\).

Ответ: 2

Задание 8

\(ABCD\) – треугольная пирамида, \(V_{ABCD} = 102\). Плоскость \(\beta\parallel (ABC)\). Сечение \(ABCD\) плоскостью \(\beta\) есть треугольник \(EFG\), причём \(BC = 2\sqrt{3}\cdot FG\), а высота пирамиды \(h\), проведённая из вершины \(D\) к плоскости \((ABC)\), равна \(34\). Найдите \(S_{EFG}\).




 

Так как \((EFG)\parallel (ABC)\), то треугольники \(EFG\) и \(ABC\) подобны.

 

Так как \(\dfrac{BC}{FG} = 2\sqrt{3}\), то \(\dfrac{S_{ABC}}{S_{EFG}} = \left(2\sqrt3\right)^2=12\). \[V_{ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}\cdot h = 102\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{1}{3}S_{ABC}\cdot 34 = 102\qquad\Rightarrow\qquad S_{ABC} = 9,\] следовательно, \(S_{EFG} = \dfrac{1}{12}\cdot S_{ABC} = 0,75\).

Ответ: 0,75

Задание 9

Найдите значение выражения \(\dfrac{\frac{12}{5}}{2\frac{2}{5}}\).

\[\dfrac{\frac{12}{5}}{2\frac{2}{5}} = \dfrac{\frac{12}{5}}{\frac{12}{5}} = 1\] (так как тут ненулевое число делим на себя).

Ответ: 1

Задание 10

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона: \(pV = \nu RT\), где \(p\) – давление в паскалях, \(V\) – объем в \(\text{м}^3\), \(\nu\) – количество вещества в молях, \(T\) – температура в кельвинах, \(R\) – универсальная газовая постоянная, равная \(8,31\, Дж/(К\cdot моль)\). В некоторый момент давление газа увеличилось в \(2\) раза по сравнению с первоначальным. Во сколько раз при этом должен был увеличиться объем газа, чтобы его температура увеличилась в \(7\) раз?

Пусть \(V_1\) – начальный объём газа в \(м^3\), \(p_1\) – начальное давление газа в паскалях, \(T_1\) – начальная температура газа в кельвинах, \(V_2\) – конечный объем газа в \(м^3\), тогда \(7T_1\) – конечная температура, \(2p_1\) – конечное давление газа.

Для начальных параметров известно, что \[p_1V_1 = \nu R T_1,\] для конечных параметров известно, что \[2p_1V_2 = \nu R\cdot 7T_1.\] Умножая первое уравнение на \(7\), получаем \[7p_1V_1 = 7\nu R T_1,\] откуда заключаем, что \(7p_1V_1 = 2p_1V_2\), следовательно, \(V_2 = 3,5 V_1\), то есть, объем совершенного газа должен увеличиться в \(3,5\) раза.

Ответ: 3,5

Задание 11

Из двух городов, расстояние между которыми равно \(840\, км\), одновременно навстречу друг другу выехали два автомобилиста. Скорость первого \(70\, км/ч\), а скорость второго \(60\, км/ч\). Через сколько часов они встретились, если известно, что автомобиль первого автомобилиста сломался на полпути между этими городами и на его починку пришлось потратить час.

Половина расстояния между городами \(420\, км\). Это расстояние первый автомобилист преодолел за \(6\) часов, а второй автомобилист за \(7\) часов.

Так как первый сломался на полпути между городами, то через \(7\) часов после начала движения он также был на полпути между городами, то есть, через \(7\) часов они встретились.

Ответ: 7

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции \(y = -x^2 + 21x + 11\).

Способ I.

1) \(y' = -2x + 21\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-2x + 21 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 10,5.\] Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 10,5\) – точка максимума функции \(y\).
\(y(10,5) = -(10,5)^2 + 21\cdot 10,5 + 11 = 121,25\).
Итого: наибольшее значение функции \(y\) равно \(121,25\).

 

Способ II.

Графиком функции \(y=-x^2 + 21x + 11\) является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в вершине параболы \(x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{21}{-2}=\dfrac{21}2\).

 

Тогда \(y_{\text{наиб.}}=y\left(\frac{21}2\right)=121,25\).

Ответ: 121,25

Задание 13

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} (\sin x + \cos x)\left(\sin x + \left(\cos\dfrac{x}{2} - \sin\dfrac{x}{2}\right)\left(\cos\dfrac{x}{2} + \sin\dfrac{x}{2}\right)\right) = 0. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]\).

а) ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

\((\sin x + \cos x)\left(\sin x + \left(\cos^2\dfrac{x}{2} - \sin^2\dfrac{x}{2}\right)\right) = 0\).

 

По формуле косинуса двойного угла:

 

\((\sin x + \cos x)\left(\sin x + \cos\left(2\cdot\dfrac{x}{2}\right)\right) = 0\).

 

\((\sin x + \cos x)^2 = 0\).

 

\(\sin x + \cos x = 0\).

 

Проверим, что \(\cos x\neq 0\): если \(\cos x = 0\), то из полученного уравнения следует, что и \(\sin x = 0\), но в силу основного тригонометрического тождества \(\sin x\) и \(\cos x\) не могут быть равны \(0\) одновременно.
Тогда на \(\cos x\) можно поделить:

 

\(\mathrm{tg}\, x = -1\), откуда \(x = \dfrac{3\pi}{4} + \pi k, k\in\mathbb{Z}\).

 

Окончательно: \(x = \dfrac{3\pi}{4} + \pi k, k\in\mathbb{Z}\).

 

б) Рассмотрим \(\pi \leqslant \dfrac{3\pi}{4} + \pi k \leqslant \dfrac{5\pi}{2}\), что равносильно \(\dfrac{1}{4} \leqslant k \leqslant \dfrac{7}{4}\), то есть подходит \(x\) при \(k = 1\): \(x = \dfrac{7\pi}{4}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{3\pi}{4} + \pi k, k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{7\pi}{4}\).

Задание 14

В цилиндре параллельно диаметру \(AB=10\) в нижнем основании проведена прямая, пересекающая окружность нижнего основания в точках \(M\) и \(N\), причем \(MN=6\). Через отрезок \(MN\) проведена плоскость \(\alpha\) под углом \(15^\circ\) к плоскости осевого сечения \(ABCD\). Найдите расстояние от центра нижнего основания до плоскости \(\alpha\).

1) Т.к. \(MN\parallel AB\), то плоскость \(\alpha\) пересечет плоскость \(ABCD\) по прямой \(p\), параллельной \(AB\) (если это не так, то \(p\cap AB = K \Rightarrow K\in \text{нижнему основанию и } K\in \alpha \Rightarrow K \in MN \Rightarrow AB\cap MN \ne \varnothing\), что противоречит условию).


 

Обозначим за \(OQ\) – ось цилиндра. Тогда \(OQ\perp AB \Rightarrow OQ\perp p\) (\(OQ\cap p =L\)). Проведем \(OR\perp MN \Rightarrow \) по теореме о трех перпендикулярах \(RL\perp MN \Rightarrow RL\perp p \Rightarrow \angle RLO\) – угол между плоскостями \(ABCD\) и \(\alpha\).

 

2) Т.к. \(OR\perp MN \text{ и } LR\perp MN\), то перпендикуляр из точки \(O\) на плоскость \(\alpha\) упадет на прямую \(LR\).

Рассмотрим \(\triangle OMR: \ OM=5, MR=3, \angle ORM=90^\circ \Rightarrow OR=4\).

Рассмотрим \(\triangle LOR: \ \angle HOR=\angle RLO=15^\circ \Rightarrow OH=OR\cdot \cos15^\circ=4\cdot \cos{(45^\circ-30^\circ)}=\sqrt6+\sqrt2\).

Ответ:

\(\sqrt6+\sqrt2\).

Задание 15

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{\log_{x}(x - 3)}{(e^x + 2)\cdot\log_{2}(x + 11)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x > 0\\ x\neq 1\\ x - 3 > 0\\ e^x + 2\neq 0\\ \log_{2}(x + 11)\neq 0\\ x + 11 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 3\,. \end{aligned}\]

По методу рационализации: на ОДЗ \[\dfrac{\log_{x}(x - 3)}{(e^x + 2)\cdot\log_{2}(x + 11)}\leqslant 0\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{(x - 1)(x - 3 - 1)}{(e^x + 2)\cdot(2 - 1)(x + 11 - 1)}\leqslant 0\]

С учётом ОДЗ последнее неравенство равносильно \[x - 4\leqslant 0\]

Таким образом, с учётом ОДЗ: \[x\in (3; 4].\]

Ответ:

\((3; 4]\)

Задание 16

В трапеции \(ABCD\) углы \(\angle A\) и \(\angle D\) прямые, \(AB > CD\). Известно, что биссектриса угла \(\angle B\) пересекает \(AD\) в середине.

а) Докажите, что периметр трапеции \(ABCD\) равен \(AD + 2BC\).

б) Найдите площадь трапеции \(ABCD\), если \(S_{\triangle MNP} = 100\), где \(MN = AD\), \(NP = BC\), \(\angle MNP = 150^\circ\).

а) На прямой, содержащей \(AB\), отложим точку \(E\) так, что \(AE = CD\) и \(A\) лежит между \(E\) и \(B\). Достаточно доказать, что \(EB = CB\).

Пусть точка \(F\) – середина \(AD\). Прямоугольные треугольники \(AEF\) и \(CDF\) равны по двум катетам, откуда \(\angle AFE = \angle DFC\), следовательно, точки \(E\), \(F\) и \(C\) лежат на одной прямой, причём \(EF = FC\), то есть \(BF\) – медиана.

Так как биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, то \[\dfrac{EF}{EB} = \dfrac{FC}{CB}\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{EF}{EB} = \dfrac{EF}{CB}\qquad\Rightarrow\qquad EB = CB\qquad\Rightarrow\qquad CB = EA + AB,\] то есть \(CB = CD + AB\), тогда \[P_{ABCD} = AB + CD + BC + AD = 2BC + AD.\]

 

б) \[S_{MNP} = 0,5\cdot AD\cdot BC\cdot\sin 150^\circ = 0,25\cdot AD\cdot BC = 0,25\cdot AD\cdot(AB + CD) = 0,5\cdot S_{ABCD},\] откуда \[S_{ABCD} = 2\cdot S_{MNP} = 200.\]

Ответ:

б) \(200\).

Задание 17

\(16\) августа на покупку телефона стоимостью \(60\,000\) рублей в банке был взят кредит на \(3\) месяца. Условия пользования кредитом таковы:
\(10\) числа каждого месяца, начиная с сентября, банк начисляет на остаток долга \(10\%\);
– с \(11\) по \(15\) числа каждого месяца, начиная с сентября, клиент обязан внести в банк платеж;
– суммы платежей подбираются так, чтобы долг каждый месяц уменьшался на одну и ту же величину (так называемый дифференцированный платеж). Сколько рублей в итоге составит переплата по данному кредиту?

Т.к. кредит был взят на \(3\) месяца, то долг каждый месяц должен уменьшаться на \(\frac{1}{3}\) часть.

Составим таблицу, все суммы будем вычислять в тыс.руб.: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц}&\text{Долг до} & \text{Долг после} & \text{Сумма}& \text{Долг после}\\ & \text{начисления }\%& \text{начисления }\% &\text{платежа}& \text{платежа} \\ \hline &&&&\\ 1& \dfrac{3}{3}\cdot 60=60&60+0,1\cdot 60 &0,1\cdot 60+\dfrac{1}{3}\cdot 60& \dfrac{2}{3}\cdot 60\\ &&&&\\ \hline &&&&\\ 2&\dfrac{2}{3}\cdot 60 & \dfrac{2}{3}\cdot 60+0,1\cdot \dfrac{2}{3}\cdot 60&0,1\cdot \dfrac{2}{3}\cdot 60+\dfrac{1}{3}\cdot 60&\dfrac{1}{3}\cdot 60 \\ &&&&\\ \hline &&&&\\ 3&\dfrac{1}{3}\cdot 60 &\dfrac{1}{3}\cdot 60+0,1\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 60 &0,1\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 60+\dfrac{1}{3}\cdot 60&0 \\ &&&&\\ \hline \end{array}\]

Заметим, что каждый платеж состоит из \(\frac{1}{3}\cdot 60\) и из процентов, начисленных на остаток долга (т.е. все платежи – разные). Именно поэтому удобнее долг после начисления процентов записывать в виде \(A+0,1\cdot A\), а не в виде \(1,1\cdot A\).

Общая выплата по кредиту равна сумме всех платежей по кредиту, т.е.

 

\(0,1\cdot 60+\dfrac{1}{3}\cdot 60+0,1\cdot \dfrac{2}{3}\cdot 60+\dfrac{1}{3}\cdot 60+0,1\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 60+\dfrac{1}{3}\cdot 60=60+0,1\cdot 60\cdot \left(1+\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}\right)\)

 

Следовательно, переплата составит: \(60+0,1\cdot 60\cdot (1+\frac{2}{3}+\frac{1}{3})-60=0,1\cdot 60\cdot 2=12\) тыс.руб.

Ответ:

\(12\,000\) рублей.

Задание 18

При каких значениях параметра \(a\) неравенства

\[|x-2|<3 \qquad \text{и} \qquad x^2-(a-1)x-a<0\]

равносильны.

Для того, чтобы два неравенства были равносильны, нужно, чтобы они имели одинаковые решения.

 

Решим первое неравенство:

\[|x-2|<3 \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x-2<3\\x-2>-3 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad -1<x<5\]

Значит, \(x\in (-1;5)\) должно являться решением второго неравенства. Это значит, что дискриминант уравнения \(x^2-(a-1)x-a=0\) должен быть больше нуля и числа \(-1\) и \(5\) должны являться его корнями:

\[\begin{cases} (a-1)^2+4a>0\\ (-1)^2-(a-1)\cdot (-1)-a=0\\ 5^2-5(a-1)-a=0\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad a=5\]

Ответ:

\(a\in \{5\}\)

Задание 19

Боря выписал все различные делители числа \(12\). Сколько чисел выписал Боря?

Различные делители числа \(12\) – это \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(12\), то есть \(6\) чисел.

Ответ:

\(6\)