Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

Тренировочные варианты "Школково". Уровень составитель ЕГЭ

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Уровень составитель ЕГЭ. Тренировочный вариант №4

Задание 1

Один торт равен \(8\) кускам торта. Пусть \(T\) – количество тортов в магазине, а \(K\) – количество кусков торта в том же магазине. Найдите \(\dfrac{K}{T}\). Ответ округлите до десятых.

\(T\cdot 1\) торт \(= T\cdot 8\) кусков торта \(= K\) кусков торта, откуда \(8\cdot T = K\), то есть \(\dfrac{K}{T} = 8\).

Ответ: 8

Задание 2

На рисунке показано изменение координаты материальной точки на протяжении \(6\) секунд от начала движения. По вертикали указывается безразмерная координата, по горизонтали – время в секундах. Через сколько секунд после начала движения координата материальной точки станет равна \(90\)?



Координата материальной точки станет равна \(90\) через \(6\) секунд после начала движения.

Ответ: 6

Задание 3

В четырёхугольнике \(ABCD\): \(BC = 5\), \(AD = 20\), \(\angle B = \angle ACD\), \(\angle D = \angle BAC\). Найдите \(AC\).



Треугольники \(ABC\) и \(ACD\) подобны по двум углам (\(\angle B = \angle ACD\), \(\angle D = \angle BAC\)).
Так как в подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны, то
\(\dfrac{BC}{AC} = \dfrac{AC}{AD}\). Обозначим \(AC = x\), тогда имеем \[\dfrac{5}{x} = \dfrac{x}{20},\] откуда \(x^2 = 100\), следовательно, \(x = \pm 10\), но \(x > 0\), тогда \(x = 10\).

Ответ: 10

Задание 4

Танкист три раза стреляет по вражеским танкам. Вероятность попадания во вражеский танк при одном выстреле равна \(0,4\). Найдите вероятность того, что первые два раза танкист попал во вражеские танки, а в последний раз промахнулся.

Так как рассматриваемые события независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей. Тогда искомая вероятность равна \[0,4\cdot 0,4\cdot (1 - 0,4) = 0,096.\]

Ответ: 0,096

Задание 5

Найдите корень уравнения \(\dfrac{20x}{3x^2 - 7} = 1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

ОДЗ: \(3x^2 - 7 \neq 0\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{20x - 3x^2 + 7}{3x^2 - 7} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(20x - 3x^2 + 7 = 0\), что равносильно \(3x^2 - 20x - 7 = 0\).

Дискриминант \[D = 400 + 84 = 484 = 22^2.\] Корни \[x_1 = \dfrac{20 + 22}{6} = 7, x_2 = \dfrac{20 - 22}{6} = -\dfrac{1}{3}\] – подходят по ОДЗ. Больший из корней равен \(7\).

Ответ: 7

Задание 6

\(AC\) и \(BC\) касаются окружности с центром \(O\). \(\angle OCB = 40^{\circ}\). Найдите \(\angle ACB\). Ответ дайте в градусах.



\(OC\) – биссектриса \(\angle ACB\). Покажем это:
Построим радиусы \(OA\) и \(OB\).



Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, следовательно
\(O\) – точка внутри угла \(ACB\), равноудалённая от его сторон. Тогда \(O\) лежит на биссектрисе этого угла (это можно показать через равенство треугольников \(AOC\) и \(BOC\)).

В данной задаче \(\angle OCB = 40^{\circ}\), тогда \(\angle ACB = 2\cdot \angle OCB = 2\cdot 40^{\circ} = 80^{\circ}\).

Ответ: 80

Задание 7

На рисунке изображен график функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-0,5; 4,1)\). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Для функции \(f(x)\), у которой производная в точке \(x_0\) имеет смысл, \(f'(x_0) < 0\) равносильно тому, что \(f(x)\) убывает в \(x_0\).

На интервале \((-0,5; 4,1)\) целыми являются точки \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\). Среди этих точек \(f(x)\) убывает только в \(2\) и \(4\). Таким образом, производная функции \(y = f(x)\) отрицательна в \(2\) целых точках.

Ответ: 2

Задание 8

В основание \(ABC\) треугольной пирамиды \(ABCD\) вписан круг \(L\), а проекция её вершины \(D\) на плоскость основания совпадает с центром вписанной окружности. Известно, что объём пирамиды равен \(4,5\), периметр основания \[P = \dfrac{2\pi}{7},\qquad\qquad\dfrac{h}{r} = \dfrac{21}{8\pi},\] где \(h\) – высота пирамиды, а \(r\) – радиус \(L\). Найдите объём конуса с вершиной \(D\) и основанием \(L\).




 

Так как площадь треугольника равна полупроизведению периметра на радиус вписанной окружности, то: \[V_{ABCD} = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot h = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{P_{ABC}}{2}\cdot r\cdot h,\] но \(\dfrac{h}{r} = \dfrac{21}{8\pi}\), то есть \(h = \dfrac{21}{8\pi}r\), откуда \(\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{P_{ABC}}{2}\cdot r\cdot h = \dfrac{7r^2\cdot\pi}{7\cdot 8\pi} = 4,5\), тогда \(r^2 = 36\), значит, \(r = 6\).

 

\(h = \dfrac{21}{8\pi}r = \dfrac{63}{4\pi}\), следовательно, \(V_{\text{кон}} = \dfrac{1}{3}\pi\cdot r^2h = \dfrac{1}{3}\pi\cdot\dfrac{63}{4\pi}\cdot 36 = 189\).

Ответ: 189

Задание 9

Найдите значение выражения \(\log_{x^3}\left(\dfrac{x^2}{y^5}\right)\), если \(\log_{x}y = 4\).

По свойствам логарифма при \(\dfrac{x^2}{y^5} > 0\), \(1 \neq x^3 > 0\): \[\log_{x^3}\left(\dfrac{x^2}{y^5}\right) = \log_{x^3}x^2 - \log_{x^3}y^5 = \dfrac{1}{3}\cdot 2\log_{x}|x| - \dfrac{1}{3}\cdot 5\log_xy = \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{3}\cdot\log_{x}y.\] При \(\log_{x}y = 4\) получим \(\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{3}\cdot 4 = -6\).

Ответ: -6

Задание 10

Максим подкинул монетку, высота которой до падения меняется по закону \[h = 1,2 + 15t - 5t^2,\] где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, отсчитываемое от момента подкидывания. Сколько секунд монетка будет находиться на высоте не менее \(11,2\) метра?

Монетка будет находиться на высоте не менее \(11,2\) метра в те моменты \(t\), которые удовлетворяют неравенству \[1,2 + 15t - 5t^2 \geqslant 11,2\qquad\Leftrightarrow\qquad t^2 -3t + 2\leqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(t^2 -3t + 2 = 0\): \[t_1 = 1,\qquad\qquad t_2 = 2,\] тогда:



то есть монетка находилась на высоте не менее \(11,2\) метра в моменты \(t \in [1; 2]\), тогда она находилась на высоте не менее \(11,2\) метра в течение \(2 - 1 = 1\) секунды.

Ответ: 1

Задание 11

В государстве \(\pi\) в \(2012\) году ЕГЭ по математике не сдали \(20000\) выпускников. В \(2013\) году число не сдавших уменьшилось на \(5\%\), а в \(2014\) году – увеличилось на \(17\%\) по сравнению с \(2013\) годом. Сколько выпускников не сдали ЕГЭ по математике в \(2014\) году в государстве \(\pi\)?

В \(2013\) году число не сдавших составило \(100\%-5\%=95\%\) от числа не сдавших в \(2012\) году, тогда в \(2013\) году не сдали ЕГЭ по математике \[20000 \cdot \dfrac{95}{100} = 19000 \ \text{выпускников}.\] В \(2014\) году число не сдавших составило \(100\%+17\%=117\%\) от числа не сдавших в \(2013\) году, тогда в \(2014\) не сдали ЕГЭ по математике \[19000 \cdot \dfrac{117}{100} = 22230\ \text{выпускника}.\]

Ответ: 22230

Задание 12

Найдите точку локального минимума функции

\(y = \dfrac{xe^{-0,5x}}{x + 1}\).

ОДЗ: \(x \neq -1\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = \left(\dfrac{x}{x+1}\cdot e^{-0,5x}\right)' = \dfrac{1}{(x + 1)^2}e^{-0,5x} - 0,5e^{-0,5x}\dfrac{x}{x + 1} = \dfrac{e^{-0,5x}}{(x + 1)^2}(-0,5x^2 - 0,5x + 1).\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{e^{-0,5x}}{(x + 1)^2}(-0,5x^2 - 0,5x + 1) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad -0,5x^2 - 0,5x + 1 = 0\] – на ОДЗ (так как \(e^t > 0\) при любом \(t\)), откуда находим корни \(x_1 = -2, \ x_2 = 1\). Производная функции \(y\) не определена при \(x = -1\), но \(x = -1\) не входит в ОДЗ. Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = -2\) – точка локального минимума функции \(y\).

Ответ: -2

Задание 13

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \sin^3{x} + 0,5\cos^2 x + \sin x = 1. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((-\pi; \pi)\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Перепишем исходное уравнение при помощи основного тригонометрического тождества:

\[\begin{aligned} \sin^3{x} + 0,5 - 0,5\sin^2 x + \sin x = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \sin^3{x} - 0,5\sin^2 x + \sin x - 0,5 = 0. \end{aligned}\]

Последнее уравнение является уравнением третьей степени относительно \(\sin{x}\). Сделаем замену \(\sin x = t\): \[t^3 - 0,5t^2 + t - 0,5 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t^2(t - 0,5) + (t - 0,5) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t^2 + 1)(t - 0,5) = 0.\] Так как \(t^2 + 1\geq 1 > 0\) при любом \(t\), то полученное уравнение равносильно \[t = 0,5,\] откуда \[\sin x = 0,5.\] Решения этого уравнения имеют вид \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[-\pi < \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{7\pi}{6} < 2\pi k < \dfrac{5\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{7}{12} < k < \dfrac{5}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих решений подходит только решение при \(k = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{6}\).

\[-\pi < \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{11\pi}{6} < 2\pi k < \dfrac{\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{11}{12} < k < \dfrac{1}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих решений подходит только решение при \(k = 0\): \(x = \dfrac{5\pi}{6}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{5\pi}{6}\).

Задание 14

\(ABCA_1B_1C_1\) - прямая треугольная призма, \(AB=16, \ BC=15, \ AA_1=8\). \(M, N\) – середины ребер \(AC\) и \(B_1C_1\) соответственно. \(K,P\) – такие точки на ребрах \(BC\) и \(B_1C_1\) соответственно, что \(CK=B_1P=\dfrac{1}{6}BC\).

 

а) Построить сечение призмы плоскостью \(\alpha\), параллельной прямой \(MN\) и проходящей через точки \(K\) и \(P\).

б) Найти площадь сечения призмы плоскостью \(\alpha\).

а)

 

Если прямая \(MN\parallel \alpha \Rightarrow MN\) параллельна некоторой прямой, лежащей в \(\alpha\). Проведем \(NS\perp BC, NS\cap KP=O\). В плоскости \(MNS\) проведем \(OH\parallel MN \Rightarrow MH=HS\). Тогда прямая \(KH\cap AB=T\). Так как плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) параллельны, то \(\alpha\) пересечет плоскость \(A_1B_1C_1\) по прямой, параллельной \(KT\). Следовательно, проведем \(PR\parallel KT\). Таким образом, \(TRPK\) – искомое сечение (трапеция).

 

б) Заметим, что \(CK=\dfrac{1}{6} \cdot 15=\dfrac{5}{2} \Rightarrow KS=5\). Т.к. \(MS\) – средняя линия треугольника \(ABC \Rightarrow MS=8 \Rightarrow HS=4\). Таким образом, по обратной теореме Пифагора треугольник \(HKS\) – прямоугольный, следовательно, \(\angle H =90^\circ\) и \(HK=3\). Таким образом, по теореме о трех перпендикулярах, из того, что \(NS\perp (ABC), HS\perp KT \Rightarrow OH\perp KT\).

 

Проведем \(PH_1 \perp KT\). Из подобия треугольников \(HOK\) и \(H_1PK\) следует, что \(PH_1=2OH\). Т.к. \(OS=\dfrac{1}{2}NS=4, HS=4 \Rightarrow OH=4\sqrt2\). Таким образом найдена высота трапеции \(PH_1=8\sqrt2\).


 

Найдем основания трапеции \(KT\) и \(PR\).

 

\(\sin \angle KSH = \dfrac{3}{5}=\sin \angle B=\dfrac{KT}{KB} \Rightarrow KT=\dfrac{15}{2}\).

 

\(\bigtriangleup PRB_1 \sim \bigtriangleup KTB \Rightarrow PR=\dfrac{3}{2}\).

 

Таким образом, \(S_{TRPK} = \dfrac{1}{2}\cdot (\dfrac{15}{2}+\dfrac{3}{2})\cdot 8\sqrt2 = 36\sqrt2\)

Ответ:

б) \(36\sqrt2\)

Задание 15

Решите неравенство

\[\begin{aligned} x\log_{x + \frac{\pi}{2}} (x + 3) \leqslant 0 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x + \dfrac{\pi}{2} > 0\\ x + \dfrac{\pi}{2}\neq 1\\ x + 3 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x > -\dfrac{\pi}{2}\\ x \neq -\dfrac{\pi}{2} + 1 \end{cases} \end{aligned}\]

Заметим, что \[x + 3 > x + \dfrac{\pi}{2} + 1\]

Рассмотрим два случая:
1) \(x > -\dfrac{\pi}{2} + 1\), тогда \[\log_{x + \frac{\pi}{2}} (x + 3) > 0\] и исходное неравенство равносильно \[x \leqslant 0,\] то есть в этом случае подходят \[x\in \left(-\dfrac{\pi}{2} + 1; 0\right]\] 2) \(-\dfrac{\pi}{2} < x < -\dfrac{\pi}{2} + 1\), тогда \[\log_{x + \frac{\pi}{2}} (x + 3) < 0\] и исходное неравенство равносильно \[x \geqslant 0,\] то есть в этом случае подходящих \(x\) нет.
В итоге ответ с учётом ОДЗ: \[x\in \left(-\dfrac{\pi}{2} + 1; 0\right]\,.\]

Ответ:

\(\left(-\dfrac{\pi}{2} + 1; 0\right]\)

Задание 16

\(ABCD\) – выпуклый четырёхугольник, точки \(P\), \(Q\), \(R\) и \(S\) середины его сторон, причём \(PQRS\) тоже выпуклый четырёхугольник. \(A_1B_1C_1D_1\) другой выпуклый четырёхугольник с серединами сторон в точках \(P\), \(Q\), \(R\) и \(S\).

а) Докажите, что диагонали \(PQRS\) точкой пересечения делятся пополам.

б) Найдите максимально возможное значение величины \(\dfrac{S_{A_1B_1C_1D_1}}{S_{ABCD}}\).

а) Проведём диагонали \(AC\) и \(BD\).


 

Рассмотрим треугольники \(APS\) и \(ABD\): \(PS\) – средняя линия в треугольнике \(ABD\), тогда треугольники \(APS\) и \(ABD\) подобны, причём \(\dfrac{PS}{BD} = \dfrac{1}{2}\).

 

Аналогично \(\dfrac{QR}{BD} = \dfrac{1}{2}\), следовательно, \(PS = QR\).

 

Аналогично доказывается равенство \(PQ = RS\). В итоге в выпуклом четырёхугольнике \(PQRS\) противоположные стороны равны, тогда \(PQRS\) – параллелограмм, следовательно, его диагонали точкой пересечения делятся пополам.

 

б) Докажем, что по взаимному расположению середин сторон выпуклого четырёхугольника его площадь восстанавливается однозначно.

Из подобия \(APS\) и \(ABD\) получаем: \[\dfrac{S_{APS}}{S_{ABD}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}.\]

Аналогично \(4S_{QCR} = S_{CBD}\), \(4S_{PBQ} = S_{ABC}\), \(4S_{SDR} = S_{ACD}\). Тогда \[S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{CBD} = 4S_{APS} + 4S_{QCR}.\] С другой стороны, \[S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD} = 4S_{PBQ} + 4S_{SDR},\] тогда \[S_{ABCD} + S_{ABCD} = 4S_{APS} + 4S_{QCR} + 4S_{PBQ} + 4S_{SDR} \qquad\Leftrightarrow\] \[S_{APS} + S_{QCR} + S_{PBQ} + S_{SDR} = \dfrac{1}{2}S_{ABCD}.\] Но \(S_{ABCD} = S_{APS} + S_{QCR} + S_{PBQ} + S_{SDR} + S_{PQRS}\), откуда окончательно \[S_{PQRS} = \dfrac{1}{2}S_{ABCD}.\]

Таким образом, по взаимному расположению точек \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) однозначно восстанавливается площадь параллелограмма \(PQRS\), а значит и площадь любого выпуклого четырёхугольника с серединами сторон в точках \(P\), \(Q\), \(R\) и \(S\).

В итоге \[\dfrac{S_{A_1B_1C_1D_1}}{S_{ABCD}} = 1.\]

Ответ:

б) \(1\).

Задание 17

На последние два года обучения в ВУЗе студент вынужден был взять образовательный кредит. Условия пользования кредитом таковы:
– пока он учится, гасить кредит не нужно, но за пользование кредитом банк начисляет целое число \(y\) процентов, причем \(y\) кратно пяти;
– каждый год в течение обучения студента банк перечисляет на счет ВУЗа сумму, равную сумме годового обучения в ВУЗе;
– один раз в конце каждого года в течение обучения банк начисляет \(y \%\) на сумму, которую на данный момент клиент должен банку;
– по окончании обучения в течение двух лет клиент обязан выплачивать кредит равными ежегодными платежами после начисления процентов;
– в течение того времени, как клиент выплачивает кредит, банк увеличивает процентную ставку в два раза.
Под какое наименьшее \(y \%\) студент должен взять кредит, чтобы в итоге переплата банку составила \(115,6\%\) от кредита.

Составим таблицу пользования кредит в течение \(4\) лет (\(1\) и \(2\) - пока студент учится, \(3\) и \(4\) - пока студент выплачивает кредит), обозначив за \(t=1+0,01y, \ p=1+0,01\cdot 2y, \ A\) – стоимость годового обучения в ВУЗе, \(x\) – ежегодный платеж в последние два года: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до начисления }\% & \text{Сумма долга после начисления }\%& \text{Сумма долга после платежа}\\ \hline 1& A&tA & \text{не вносит платеж}\\ \hline 2& tA+A&t(tA+A)=B &\text{не вносит платеж}\\ \hline 3& B&pB &pB-x\\ \hline 4& pB-x &p(pB-x) &p(pB-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Т.к. в конце \(4\)-ого года кредит выплачен, то \(p(pB-x)-x=0 \ (*)\).

 

Заметим, что всего у банка было взято \(2A\) рублей (за \(2\) года обучения), а в итоге выплачено банку было \(2x\) рублей. Таким образом, переплата банку равна \(2x-2A\) рублей.

 

Необходимо, чтобы переплата составляла \(115,6 \%\) от суммы кредита, т.е. \(2x-2A=1,156\cdot 2A \Rightarrow x=2,156A\).

Выразим из \((*)\), чему равен ежегодный платеж \(x=\dfrac{p^2B}{p+1} \Rightarrow\)

\(\dfrac{p^2t(t+1)A}{p+1}=2,156A\) (обе части равенства можно разделить на \(A\)).

Сделав обратную замену \(t=1+0,01y, \ p=1+0,01\cdot 2y\), получим уравнение на \(y\): \[y^3 +300y^2 +22500y-578000=0.\]

Т.к. по условию сказано, что \(y\) - целое число, кратное пяти, то возможные значения \(y: 5, \ 10, \ 15, \ 20, \ 25, \cdots\)
Подставляя по очереди данные значения, находим, что наименьшее подходящее \(y=20 \%\).

Ответ:

\(20 \%\).

Задание 18

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \(3x^3+ax+5=0\) имеет единственное решение.

Пусть \(y=3x^3+ax+5\). Рассмотрим несколько случаев:

 

1) \(a=0\). Тогда уравнение имеет единственное решение \(x=-\sqrt[3]{\dfrac{5}{3}}\).

 

2) \(a>0\). Найдем производную \(y'=9x^2+a\). Т.к. \(a>0\), то \(y'>0\) при любых \(x\). Следовательно, функция \(y\) монотонно возрастает на всем \(\mathbb{R}\). Значит, имеет не более одной точки пересечения с осью \(Ox\).

 

Заметим, что \(y\left(-\dfrac{5}{a}\right)=-\dfrac{375}{a^3}<0; \ \ y(0)=5>0\), следовательно, на промежутке \(\left(-\dfrac{5}{a};0\right)\) есть точка \(x_o\), в которой \(y(x_o)=0\). Значит, \(x_o\) и есть единственное решение данного уравнения.


 

3) \(a<0\). Обозначим \(-a=b>0\).

 

Рассмотрим уравнение в виде \(3x^3=bx-5\). Обозначим \(f(x)=3x^3, \ g(x)=bx-5\). Найдем положительные значения \(b\), при которых функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют ровно одну точку пересечения.

Найдем значения \(b\), при которых \(g(x)\) касается \(f(x)\):

 

\(f'(x)=9x^2\). Пусть \(x_o\) – точка касания. Тогда: \[\begin{cases} b>0\\ f'(x_o)=b\\ f(x_o)=g(x_o) \end{cases} \Rightarrow b=9\sqrt[3]{\dfrac{25}{36}}\]

Значит, при \(b=9\sqrt[3]{\dfrac{25}{36}}\) функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют 2 точки пересечения, а при \(0<b<9\sqrt[3]{\dfrac{25}{36}}\) функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют ровно одну точку пересечения (например, прямая, обозначенная пунктиром).


 

Тогда \(-9\sqrt[3]{\dfrac{25}{36}}<a<0\).

Значит, уравнение будет иметь единственный корень при \(a\in \left(-9\sqrt[3]{\dfrac{25}{36}}; +\infty\right)\).

Ответ:

\(a\in \left( -9\sqrt[3]{\dfrac{25}{36}}; +\infty \right)\).

Задание 19

При каких значениях параметра \(a\) сумма корней уравнения \[a^4x - 4a^2x + x^2 + a + 5x = 0\] будет наименьшей?

\[\begin{aligned} &a^4x - 4a^2x + x^2 + a + 5x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + (a^4 - 4a^2 + 5)x + a = 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad x^2 + \bigl((a^2 - 2)^2 + 1\bigr)x + a = 0. \end{aligned}\]

По теореме Виета сумма корней этого уравнения (если у него они есть) равна \[(a^2 - 2)^2 + 1.\] Данное выражение будет наименьшим при \(a^2 = 2\), то есть при \(a = \pm\sqrt{2}\).

Остаётся только проверить, что при \(a = \pm\sqrt{2}\) у уравнения будут корни. При \(a = \sqrt{2}\): \[x^2 + x + \sqrt{2} = 0.\] Так как дискриминант \(D = 1 - 4\sqrt{2} < 0\), то у данного уравнения нет корней, следовательно, \(a = \sqrt{2}\) нам не подходит. При \(a = -\sqrt{2}\): \[x^2 + x - \sqrt{2} = 0.\] Так как дискриминант \(D = 1 + 4\sqrt{2} > 0\), то у данного уравнения есть два корня.
В итоге ответ: при \(a = -\sqrt{2}\).

Ответ:

\(-\sqrt{2}\)