Пусть \(y=3x^3+ax+5\). Рассмотрим несколько случаев:
1) \(a=0\). Тогда уравнение имеет единственное решение \(x=-\sqrt[3]{\dfrac{5}{3}}\).
2) \(a>0\). Найдем производную \(y'=9x^2+a\). Т.к. \(a>0\), то \(y'>0\) при любых \(x\). Следовательно, функция \(y\) монотонно возрастает на всем \(\mathbb{R}\). Значит, имеет не более одной точки пересечения с осью \(Ox\).
Заметим, что \(y\left(-\dfrac{5}{a}\right)=-\dfrac{375}{a^3}<0; \ \
y(0)=5>0\), следовательно, на промежутке \(\left(-\dfrac{5}{a};0\right)\) есть точка \(x_o\), в которой \(y(x_o)=0\). Значит, \(x_o\) и есть единственное решение данного уравнения.

3) \(a<0\). Обозначим \(-a=b>0\).
Рассмотрим уравнение в виде \(3x^3=bx-5\). Обозначим \(f(x)=3x^3, \
g(x)=bx-5\). Найдем положительные значения \(b\), при которых функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют ровно одну точку пересечения.
Найдем значения \(b\), при которых \(g(x)\) касается \(f(x)\):
\(f'(x)=9x^2\). Пусть \(x_o\) – точка касания. Тогда: \[\begin{cases}
b>0\\
f'(x_o)=b\\
f(x_o)=g(x_o)
\end{cases} \Rightarrow b=9\sqrt[3]{\dfrac{25}{36}}\]
Значит, при \(b=9\sqrt[3]{\dfrac{25}{36}}\) функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют 2 точки пересечения, а при \(0<b<9\sqrt[3]{\dfrac{25}{36}}\) функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют ровно одну точку пересечения (например, прямая, обозначенная пунктиром).

Тогда \(-9\sqrt[3]{\dfrac{25}{36}}<a<0\).
Значит, уравнение будет иметь единственный корень при \(a\in
\left(-9\sqrt[3]{\dfrac{25}{36}}; +\infty\right)\).
Ответ:
\(a\in \left( -9\sqrt[3]{\dfrac{25}{36}}; +\infty \right)\).