Математика
Русский язык

7. Взаимосвязь функции и ее производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Значение производной в точке касания как тангенс угла наклона

Если к кривой \(f(x)\) проведена касательная в точке с абсциссой \(x_0\), то

\[{\large{\color{royalblue}{f'(x_0)=\mathrm{tg}\, \alpha\, }}},\]

 

где \(\alpha\) – угол наклона касательной.

 

Значит, верна формула: \(f'(x_0)=\mathrm{tg}\, \alpha=k\).



Заметим, что координаты точки \(A\) тогда можно записать как \( \ (x_0; f(x_0)) \ \) или \( \ (x_0; y_0) \ \),
где \( \ y_0=kx_0+b\).
То есть \( \ y_0=f(x_0)\).

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображены график функции \(y = f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\).

Добавить задание в избранное

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) (то есть угла между касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) и положительным направлением оси \(Ox\)).

По рисунку видно, что касательная проходит через точки \((0,5; 0)\) и \((1; 1)\), тогда тангенс угла наклона касательной составляет \(1 : 0,5 = 2\), следовательно, \(f'(x_0) = 2\).

Ответ: 2

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображены график функции \(y = f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\).

 

Добавить задание в избранное

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

По рисунку видно, что касательная проходит через точки \((0,5; -0,5)\) и \((1; 1)\), тогда тангенс угла наклона касательной составляет \(1,5 : 0,5 = 3\), следовательно, \(f'(x_0) = 3\).

Ответ: 3

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображены график функции \(y = f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\).

 

Добавить задание в избранное

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

По рисунку видно, что касательная проходит через точки \((0,5; 1)\) и \((1,5; 1,5)\), тогда тангенс угла наклона касательной составляет \(0,5 : 1 = 0,5\), следовательно, \(f'(x_0) = 0,5\).

Ответ: 0,5

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображены график функции \(y = f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\).

 

Добавить задание в избранное

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

По рисунку видно, что касательная проходит через точки \((1; 1)\) и \((5; 2)\), тогда тангенс угла наклона касательной составляет \((2 - 1) : (5 - 1) = 0,25\), следовательно, \(f'(x_0) = 0,25\).

Ответ: 0,25

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график функции \(y=f(x)\) и отмечены точки \(-2; \ 0; \ 2; \ 8\). В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Добавить задание в избранное



Проведем касательные к графику функции в этих точках. Так как тангенс угла \(\alpha\) наклона касательной равен значению производной \(f'(x)\) в точке касания \(x_0\) (\(f'(x_0)=\mathrm{tg}\,\alpha\)), то нужно сравнить тангенсы углов, отмеченных на рисунке.
Вспомним, что если угол тупой, то его тангенс отрицательный, если острый – положительный. Следовательно, так как мы ищем наибольший тангенс, имеет смысл рассматривать только острые углы. Это углы, образованные касательными в точках \(0\) и \(2\). Заметим, что угол в точке \(0\) больше, следовательно, его тангенс также больше, чем тангенс угла в точке \(2\). Таким образом, ответ: \(0\).

Ответ: 0

Задание 6
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Производная \(f'(x)\) функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна \(10\). Найдите котангенс угла наклона касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

Добавить задание в избранное

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

При всех \(\alpha\), при которых \(\mathrm{tg}\, \alpha\) и \(\mathrm{ctg}\, \alpha\) имеют смысл, выполнено \(\mathrm{tg}\, \alpha\cdot\mathrm{ctg}\, \alpha = 1\), откуда котангенс угла наклона касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) равен \(0,1\).

Ответ: 0,1

Задание 7
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Производная \(f'(x)\) функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна \(5\). Найдите сумму тангенса и котангенса угла наклона касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

Добавить задание в избранное

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

 

При всех \(\alpha\), при которых \(\mathrm{tg}\, \alpha\) и \(\mathrm{ctg}\, \alpha\) имеют смысл, выполнено \(\mathrm{tg}\, \alpha\cdot\mathrm{ctg}\, \alpha = 1\), откуда котангенс угла наклона касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) равен \(0,2\), тогда сумма тангенса и котангенса угла наклона касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) равна \(5,2\).

Ответ: 5,2