Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Математика ЕГЭ База

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Последняя цифра числа

Задание 1 #2195
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите последнюю цифру числа:

а) \(3^{33}\)

б) \(57^{57}\)

в) \(2016^{2016}\)

Добавить задание в избранное

а) Заметим, что последняя цифра произведения двух натуральных чисел такая же, как последняя цифра произведения последних цифр этих двух чисел.

То есть предположим, что нам нужно найти последнюю цифру произведения чисел \(457\) и \(369\). Для этого нам нужно перемножить последние цифры этих чисел, то есть \(7\cdot 9 = 63\), и так последняя цифра у \(63\) – это \(3\), то последняя цифра произведения чисел \(457\) и \(369\) тоже \(3\).

Пользуясь этим правилом, составим последовательность последних цифр степеней тройки: \[3,\, 9,\, 7,\, 1,\, 3,\, 9,\, 7,\, 1,\cdots\] Заметим, что в этой последовательности блоки по четыре цифры \(3,\ 9, \ 7, \ 1\) повторяются, значит, последняя цифра числа \(3^{33}\) зависит от того, какой остаток будет давать число \(33\) при делении на \(4\) (так как блоки по \(4\) цифры).

Так как остаток \(33\) при делении на \(4\) равен \(1\), то \(3^{33}\) заканчивается на такую же цифру, как и \(3^1\). Таким образом, последняя цифра числа \(3^{33}\) – это \(3\).

б) Аналогично решая данный пункт задачи, найдем, что последняя цифра числа \(57^{57}\) – это \(7\).

в) Аналогично решая данный пункт задачи, найдем, что последняя цифра числа \(2016^{2016}\) – это \(6\).

Ответ:

а) \(3\)

б) \(7\)

в) \(6\).

Задание 2 #2196
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Академик Котовский нашел самое большое простое число: \(1999876891^{999}-1\). Не перепутал ли чего академик?

Добавить задание в избранное

Посмотрим на последнюю цифру числа \(1999876891^{999}\).

Так как число \(1999876891\) оканчивается на \(1\), то и число \(1999876891^{999}\) тоже оканчивается на \(1\), тогда число \(1999876891^{999}-1\) оканчивается на \(0\), значит, оно делится на \(10\), следовательно, оно не простое. Академик ошибся.

Ответ:

Перепутал

Задание 3 #2197
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Делится ли число \(27^{23}+33^{11}\) на \(10\)?

Добавить задание в избранное

Найдем последнюю цифру числа \(27^{23}+33^{11}\).

Так как последняя цифра числа \(27^{23}\) – это \(3\), а последняя цифра числа \(33^{11}\) – это \(7\), то последняя цифра числа \(27^{23}+33^{11}\) – это \(0\), а значит это число делится на \(10\).

Ответ:

Да

Задание 4 #2198
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что все числа вида \(n!\) при всевозможных натуральных \(n\), больших четырёх, оканчиваются на одну и ту же цифру.

Добавить задание в избранное

При \(n \geq 5\): \[n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot ...\cdot n = 120\cdot ...\cdot n\] – делится на \(10\), следовательно, последняя цифра такого числа равна \(0\).

Ответ:

Доказательство

Задание 5 #2199
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите последнюю цифру числа, равного \(0! + 1! + 2! + 3! + \dots + 2017!\), если \(0! = 1\) – по определению.

Добавить задание в избранное

Последняя цифра суммы равна последней цифре суммы последних цифр исходных слагаемых.

Так как при \(n\geq 5\) последняя цифра числа \(n!\) равна \(0\), то все числа вида \(n!\) при \(n\geq 5\) не дадут вклада в последнюю цифру исходной суммы.

Таким образом, последняя цифра исходной суммы совпадает с последней цифрой суммы \[0! + 1! + 2! + 3! + 4!,\] которая равна последней цифре суммы последних цифр её слагаемых, то есть последней цифре числа \[1 + 1 + 2 + 6 + 4 = 14,\] которой является цифра \(4\).

Ответ:

\(4\)

Задание 6 #2505
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Последняя цифра числа \(n^2\) равна \(4\) (\(n\in\mathbb{N}\)). Может ли предпоследняя цифра числа \(n^2\) быть нечётной?

Добавить задание в избранное

Так как последняя цифра числа \(n^2\) равна \(4\), то \(n^2\) – чётное, следовательно, \(n\) – чётное, тогда \(n^2\) делится на \(4\), что равносильно тому, что число, образованное двумя последними цифрами числа \(n^2\), делится на \(4\).

Не более чем двузначные числа, у которых последняя цифра равна \(4\), которые и сами делятся на \(4\): \[04,\qquad 24,\qquad 44,\qquad 64,\qquad 84\,.\]

Таким образом, предпоследняя цифра числа \(n^2\) обязательно чётна.

Ответ:

Нет

Задание 7 #2504
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Можно ли составить из цифр \(1\), \(2\), \(8\), \(9\) (каждую цифру можно использовать сколько угодно раз) два числа, одно из которых в \(17\) раз больше другого?

Добавить задание в избранное

Докажем методом от противного: пусть такие числа \(m\), \(n\) существуют. Пусть при этом \(m = 17\cdot n\), тогда какой может быть последняя цифра числа \(m\)?

Ответ на последний вопрос зависит от последней цифры числа \(n\). Рассмотрим все возможные варианты:
1) последняя цифра числа \(n\) – это цифра \(1\), тогда последняя цифра числа \(17n\) – это цифра \(7\), но \(m\) не может содержать в своей записи цифру \(7\).
2) последняя цифра числа \(n\) – это цифра \(2\), тогда последняя цифра числа \(17n\) – это цифра \(4\), но \(m\) не может содержать в своей записи цифру \(4\).
3) последняя цифра числа \(n\) – это цифра \(8\), тогда последняя цифра числа \(17n\) – это цифра \(6\), но \(m\) не может содержать в своей записи цифру \(6\).
4) последняя цифра числа \(n\) – это цифра \(9\), тогда последняя цифра числа \(17n\) – это цифра \(3\), но \(m\) не может содержать в своей записи цифру \(3\).

Таким образом, подходящих \(m\) и \(n\) не существует.

Ответ:

Нет

ЕГЭ по математике — одно из самых сложных тестирований для выпускников. Многолетняя практика показала, что очень часто ученики допускают неточности при вычислении последней цифры натурального числа. Данная тематика сама по себе довольно сложна, так как требует особой точности, внимательности и развитого логического мышления. Чтобы без проблем справиться с подобными заданиями, рекомендуем воспользоваться удобным онлайн-сервисом «Школково». На нашем сайте вы найдете все необходимое для решений уравнений на нахождение последней ненулевой цифры числа и подтяните знания в смежных тематиках.

Сдавайте Единый государственный экзамен на «отлично» вместе со «Школково»!

Наш образовательный портал построен таким образом, чтобы выпускнику было максимально удобно готовиться к итоговой аттестации. Сначала ученик обращается к разделу «Теоретическая справка»: вспоминает правила решения уравнений, освежает в памяти важные формулы, которые помогают найти последнюю цифру числа. После этого переходит в «Каталоги», где находит множество задач различных уровней сложности. Если с каким-либо упражнением возникают затруднения, его можно перенести в «Избранное», чтобы вернуться к нему позже и решить самостоятельно либо с помощью преподавателя.

Специалисты «Школково» собрали, систематизировали и изложили материалы по теме в максимально простой и понятной форме. Таким образом большое количество информации усваивается в короткие сроки. Школьники смогут выполнять даже те задания, которые совсем недавно вызывали у них большие трудности, в том числе и те, где необходимо указать несколько решений.

Чтобы занятия проходили максимально эффективно, рекомендуем начать с наиболее легких примеров. Если они не вызвали сложностей, не теряйте время — переходите к задачам среднего уровня, так вы определите свои слабые стороны, сделаете упор на наиболее сложные для вас задания и добьетесь больших результатов. После ежедневных занятий в течение 1―2 недель вы сможете за пару минут вывести даже последнюю цифру числа Пи. Данное задание достаточно часто встречается в ЕГЭ по математике.

База упражнений на нашем портале постоянно обновляется и дополняется преподавателями с большим стажем. У школьников есть отличная возможность каждый день получать совершенно новые задания, а не зацикливаться на одних и тех же примерах, как зачастую приходится делать при повторении по школьному учебнику.

Начните занятия на сайте «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать!

Обучение на нашем портале доступно всем желающим. Чтобы вы отслеживали свой прогресс и получали новые задания, созданные персонально для вас, зарегистрируйтесь в системе. Желаем вам удачной подготовки!