Математика
Русский язык

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Последняя цифра числа

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите последнюю цифру числа:

а) \(3^{33}\)

б) \(57^{57}\)

в) \(2016^{2016}\)

Добавить задание в избранное

а) Заметим, что последняя цифра произведения двух натуральных чисел такая же, как последняя цифра произведения последних цифр этих двух чисел.

То есть предположим, что нам нужно найти последнюю цифру произведения чисел \(457\) и \(369\). Для этого нам нужно перемножить последние цифры этих чисел, то есть \(7\cdot 9 = 63\), и так последняя цифра у \(63\) – это \(3\), то последняя цифра произведения чисел \(457\) и \(369\) тоже \(3\).

Пользуясь этим правилом, составим последовательность последних цифр степеней тройки: \[3,\, 9,\, 7,\, 1,\, 3,\, 9,\, 7,\, 1,\cdots\] Заметим, что в этой последовательности блоки по четыре цифры \(3,\ 9, \ 7, \ 1\) повторяются, значит, последняя цифра числа \(3^{33}\) зависит от того, какой остаток будет давать число \(33\) при делении на \(4\) (так как блоки по \(4\) цифры).

Так как остаток \(33\) при делении на \(4\) равен \(1\), то \(3^{33}\) заканчивается на такую же цифру, как и \(3^1\). Таким образом, последняя цифра числа \(3^{33}\) – это \(3\).

б) Аналогично решая данный пункт задачи, найдем, что последняя цифра числа \(57^{57}\) – это \(7\).

в) Аналогично решая данный пункт задачи, найдем, что последняя цифра числа \(2016^{2016}\) – это \(6\).

Ответ:

а) \(3\)

б) \(7\)

в) \(6\).

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Академик Котовский нашел самое большое простое число: \(1999876891^{999}-1\). Не перепутал ли чего академик?

Добавить задание в избранное

Посмотрим на последнюю цифру числа \(1999876891^{999}\).

Так как число \(1999876891\) оканчивается на \(1\), то и число \(1999876891^{999}\) тоже оканчивается на \(1\), тогда число \(1999876891^{999}-1\) оканчивается на \(0\), значит, оно делится на \(10\), следовательно, оно не простое. Академик ошибся.

Ответ:

Перепутал

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Делится ли число \(27^{23}+33^{11}\) на \(10\)?

Добавить задание в избранное

Найдем последнюю цифру числа \(27^{23}+33^{11}\).

Так как последняя цифра числа \(27^{23}\) – это \(3\), а последняя цифра числа \(33^{11}\) – это \(7\), то последняя цифра числа \(27^{23}+33^{11}\) – это \(0\), а значит это число делится на \(10\).

Ответ:

Да

Задание 4
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что все числа вида \(n!\) при всевозможных натуральных \(n\), больших четырёх, оканчиваются на одну и ту же цифру.

Добавить задание в избранное

При \(n \geq 5\): \[n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot ...\cdot n = 120\cdot ...\cdot n\] – делится на \(10\), следовательно, последняя цифра такого числа равна \(0\).

Ответ:

Доказательство

Задание 5
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите последнюю цифру числа, равного \(0! + 1! + 2! + 3! + \dots + 2017!\), если \(0! = 1\) – по определению.

Добавить задание в избранное

Последняя цифра суммы равна последней цифре суммы последних цифр исходных слагаемых.

Так как при \(n\geq 5\) последняя цифра числа \(n!\) равна \(0\), то все числа вида \(n!\) при \(n\geq 5\) не дадут вклада в последнюю цифру исходной суммы.

Таким образом, последняя цифра исходной суммы совпадает с последней цифрой суммы \[0! + 1! + 2! + 3! + 4!,\] которая равна последней цифре суммы последних цифр её слагаемых, то есть последней цифре числа \[1 + 1 + 2 + 6 + 4 = 14,\] которой является цифра \(4\).

Ответ:

\(4\)

Задание 6
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Последняя цифра числа \(n^2\) равна \(4\) (\(n\in\mathbb{N}\)). Может ли предпоследняя цифра числа \(n^2\) быть нечётной?

Добавить задание в избранное

Так как последняя цифра числа \(n^2\) равна \(4\), то \(n^2\) – чётное, следовательно, \(n\) – чётное, тогда \(n^2\) делится на \(4\), что равносильно тому, что число, образованное двумя последними цифрами числа \(n^2\), делится на \(4\).

Не более чем двузначные числа, у которых последняя цифра равна \(4\), которые и сами делятся на \(4\): \[04,\qquad 24,\qquad 44,\qquad 64,\qquad 84\,.\]

Таким образом, предпоследняя цифра числа \(n^2\) обязательно чётна.

Ответ:

Нет

Задание 7
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Можно ли составить из цифр \(1\), \(2\), \(8\), \(9\) (каждую цифру можно использовать сколько угодно раз) два числа, одно из которых в \(17\) раз больше другого?

Добавить задание в избранное

Докажем методом от противного: пусть такие числа \(m\), \(n\) существуют. Пусть при этом \(m = 17\cdot n\), тогда какой может быть последняя цифра числа \(m\)?

Ответ на последний вопрос зависит от последней цифры числа \(n\). Рассмотрим все возможные варианты:
1) последняя цифра числа \(n\) – это цифра \(1\), тогда последняя цифра числа \(17n\) – это цифра \(7\), но \(m\) не может содержать в своей записи цифру \(7\).
2) последняя цифра числа \(n\) – это цифра \(2\), тогда последняя цифра числа \(17n\) – это цифра \(4\), но \(m\) не может содержать в своей записи цифру \(4\).
3) последняя цифра числа \(n\) – это цифра \(8\), тогда последняя цифра числа \(17n\) – это цифра \(6\), но \(m\) не может содержать в своей записи цифру \(6\).
4) последняя цифра числа \(n\) – это цифра \(9\), тогда последняя цифра числа \(17n\) – это цифра \(3\), но \(m\) не может содержать в своей записи цифру \(3\).

Таким образом, подходящих \(m\) и \(n\) не существует.

Ответ:

Нет