Математика
Русский язык

7. Взаимосвязь функции и ее производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Связь производной с возрастанием/убыванием функции

\(\blacktriangleright\) Если производная положительна на промежутке \((a;b)\), то функция на нем строго возрастает. \(f'(x)>0 \Longrightarrow f(x) \uparrow\)

 

Если производная отрицательна на промежутке \((a;b)\), то функция на нем строго убывает. \(f'(x)<0 \Longrightarrow f(x) \downarrow\)

 

Заметим, что обратные утверждения неверны. То есть если функция строго возрастает на каком-то промежутке, то из этого не следует, что на всем этом промежутке ее производная будет положительной. Например:

 

функция \(f(x)=x^3\) на отрезке \([-1;1]\) строго возрастает, но ее производная не положительна всюду: в точке \(x=0\) ее производная \(f'(0)=0\) (т.к. \(f'(x)=3x^2\)).

 

\(\blacktriangleright\) Если функция не убывает (возрастает и/или константа) на промежутке \((a;b)\), то на этом промежутке ее производная неотрицательна (\(\geq 0\)). Верно и обратное утверждение.

 

\(\blacktriangleright\) Если функция не возрастает (убывает и/или константа) на промежутке \((a;b)\), то на этом промежутке ее производная неположительна (\(\leq 0\)). Верно и обратное утверждение.

 

\(\blacktriangleright\) В точках излома (на рисунке это точки \(A\) и \(B\)) производной не существует.

 

Заметим, что на промежутке \((4;+\infty)\) производная \(f'(x)=0\), т.к. на этом промежутке функция является константой (\(f(x)=10\)).

 

Пример: найдите количество точек, в которых производная равна нулю, если на рисунке дан график функции:

 

Производная равна нулю в точках \(A,B,D\), а в точке \(C\) она не существует, т.к. это точка излома.

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-0,5; 4,3)\). Определите количество целых точек (у которых координата – целое число), в которых производная функции положительна.

 

Добавить задание в избранное

Для функции \(f(x)\), у которой производная в точке \(x_0\) существует, \(f'(x_0) > 0\) равносильно тому, что \(f(x)\) возрастает в \(x_0\).

 

На интервале \((-0,5; 4,3)\) целыми являются точки \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\). Среди этих точек \(f(x)\) возрастает только в \(1\), \(2\) и \(4\). Таким образом, производная функции \(y = f(x)\) положительна в \(3\) целых точках.

Ответ: 3

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-0,5; 4,3)\). Определите количество целых точек (у которых координата – целое число), в которых производная функции отрицательна.

 

Добавить задание в избранное

Для функции \(f(x)\), у которой производная в точке \(x_0\) имеет смысл, \(f'(x_0) < 0\) равносильно тому, что \(f(x)\) убывает в \(x_0\).

 

На интервале \((-0,5; 4,3)\) целыми являются точки \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\). Среди этих точек \(f(x)\) убывает только в \(0\), \(2\) и \(3\). Таким образом, производная функции \(y = f(x)\) отрицательна в \(3\) целых точках.

Ответ: 3

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-0,5; 4,1)\). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

 

Добавить задание в избранное

Для функции \(f(x)\), у которой производная в точке \(x_0\) имеет смысл, \(f'(x_0) < 0\) равносильно тому, что \(f(x)\) убывает в \(x_0\).

 

На интервале \((-0,5; 4,1)\) целыми являются точки \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\). Среди этих точек \(f(x)\) убывает только в \(2\) и \(4\). Таким образом, производная функции \(y = f(x)\) отрицательна в \(2\) целых точках.

Ответ: 2

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график \(y = f'(x)\) – производной функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-0,6; 4,8)\). Найдите промежутки возрастания функции \(y = f(x)\). В ответе укажите произведение целых точек, входящих в эти промежутки.

 

Добавить задание в избранное

Для функции \(f(x)\), у которой производная в точке \(x_0\) имеет смысл, утверждение о том, что \(f(x)\) возрастает в \(x_0\) равносильно тому, что \(f'(x_0) > 0\).

 

На интервале \((-0,6; 4,8)\) целыми являются точки \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\). Среди этих точек \(f'(x)\) положительна только в \(1\) и \(3\). Таким образом, произведение целых точек, в которых функция возрастает, равно \(3\cdot 1 = 3\).

Ответ: 3

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график \(y = f'(x)\) – производной функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-1,5; 4,5)\). Найдите промежутки возрастания функци \(y = f(x)\). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

 

Добавить задание в избранное

Для функции \(f(x)\), у которой производная в точке \(x_0\) имеет смысл, утверждение о том, что \(f(x)\) возрастает в \(x_0\) равносильно тому, что \(f'(x_0) > 0\).

 

На интервале \((-1,5; 4,5)\) целыми являются точки \(-1\), \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\). Среди этих точек \(f'(x)\) положительна только в \(-1\), \(0\) и \(1\). Таким образом, сумма целых точек, в которых функция возрастает, равна \(-1 + 0 + 1 = 0\).

Ответ: 0

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график \(y = f'(x)\) – производной функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-1,5; 4,5)\). Найдите промежутки убывания функции \(y = f(x)\). В ответе укажите количество целых точек, входящих в эти промежутки.

 

Добавить задание в избранное

Для функции \(f(x)\), у которой производная в точке \(x_0\) имеет смысл, утверждение о том, что \(f(x)\) убывает в \(x_0\) равносильно тому, что \(f'(x_0) < 0\).

 

На интервале \((-1,5; 4,5)\) целыми являются точки \(-1\), \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\). Среди этих точек \(f'(x)\) отрицательна только в \(-1\), \(0\), \(1\) и \(2\). Таким образом, количество целых точек, в которых функция убывает, равно \(4\).

Ответ: 4

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график \(y = f'(x)\) – производной функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-1,5; 4,6)\). Найдите промежутки убывания функции \(y = f(x)\). В ответе укажите длину наибольшего из них.

 

Добавить задание в избранное

Для функции \(f(x)\), у которой производная в точке \(x_0\) имеет смысл, утверждение о том, что \(f(x)\) убывает в \(x_0\) равносильно тому, что \(f'(x_0) < 0\).

 

По рисунку видно, что \(f'(x)\) отрицательна на промежутках \(-1 < x < 2\) и \(3 < x < 4\), тогда \(y = f(x)\) убывает на промежутках \(-1 < x < 2\) и \(3 < x < 4\), из которых наибольшую длину, равную \(3\), имеет промежуток \((-1; 2)\).

Ответ: 3

Выпускная работа в форме ЕГЭ для 11-классников обязательно содержит задания на вычисление пределов, промежутков убывания и возрастания производной функции, поиск точек экстремума и построение графиков. Хорошее знание этой темы позволяет правильно ответить на несколько вопросов экзамена и не испытывать затруднений в дальнейшем профессиональном обучении.

Основы дифференциального исчисления – одна из главных тем математики современной школы. Она изучает применение производной для исследования зависимостей переменных – именно через производную можно проанализировать возрастание и убывание функции без обращения к чертежу.

Комплексная подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ на образовательном портале «Школково» поможет глубоко понять принципы дифференцирования – подробно разобраться в теории, изучить примеры решения типовых задач и попробовать свои силы в самостоятельной работе. Мы поможем вам ликвидировать пробелы в знаниях – уточнить представление о лексических понятиях темы и зависимостях величин. Ученики смогут повторить, как находить промежутки монотонности, что значит подъем или убывание производной функции на определенном отрезке, когда граничные точки включаются и не включаются в найденные интервалы.

Прежде чем начинать непосредственное решение тематических задач, мы рекомендуем сначала перейти к разделу «Теоретическая справка» и повторить определения понятий, правила и табличные формулы. Здесь же можно прочитать, как находить и записывать каждый промежуток возрастания и убывания функции на графике производной.

Все предлагаемые сведения излагаются в максимально доступной форме для понимания практически «с нуля». На сайте доступны материалы для восприятия и усвоения в нескольких различных формах – чтения, видеопросмотра и непосредственного тренинга под руководством опытных учителей. Профессиональные педагоги подробно расскажут, как найти промежутки возрастания и убывания производной функции аналитическими и графическими способами. В ходе вебинаров можно будет задать любой интересующий вопрос как по теории, так и по решению конкретных задач.

Вспомнив основные моменты темы, просмотрите примеры на возрастание производной функции, аналогичные заданиям экзаменационных вариантов. Для закрепления усвоенного загляните в «Каталог» - здесь вы найдете практические упражнения для самостоятельной работы. Задания в разделе подобраны разного уровня сложности с учетом наработки навыков. К каждому из них прилагаются алгоритмы решений и правильные ответы.

Выбирая раздел «Конструктор», учащиеся смогут попрактиковаться в исследовании возрастания и убывания производной функции на реальных вариантах ЕГЭ, постоянно обновляемых с учетом последних изменений и нововведений.