Тренировочные варианты «Школково». Вариант № 4 (вторая часть)

а) Так как по формуле приведения \(\sin (x+\pi)=-\sin x\), то после замены \(9^{\,\sin x}=t, t>0\) уравнение примет вид \[t+\dfrac 1t=\dfrac{10}3\] Корнями этого уравнения будут \(t=3; \dfrac13\). Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &9^{\,\sin x}=3\\[2ex] &9^{\,\sin x}=\dfrac13\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=\dfrac12\\[2ex] &\sin x=-\dfrac12\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решениями данной совокупности будут \(x_1=\pm \dfrac{\pi}6+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\) и \(x_2=\pm \dfrac{5\pi}6+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).  

б) Отберем корни.   \(-\dfrac{7\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi k\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{11}6\leqslant k\leqslant -\dfrac{13}{12}\quad\Rightarrow\quad k\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in\varnothing\)   \(-\dfrac{7\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}6+2\pi k\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac53\leqslant k\leqslant -\dfrac{11}{12}\quad\Rightarrow\quad k=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{13\pi}6\)   \(-\dfrac{7\pi}2\leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi n\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{13}6\leqslant n\leqslant -\dfrac{17}{12}\quad\Rightarrow\quad n=-2\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{19\pi}2\)   \(-\dfrac{7\pi}2\leqslant -\dfrac{5\pi}6+2\pi n\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac43\leqslant n\leqslant -\dfrac7{12}\quad\Rightarrow\quad n=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{17\pi}6\)

Ответ:

а) \(\pm \dfrac{\pi}6+2\pi k, \pm \dfrac{5\pi}6+2\pi n; k,n\in\mathbb{Z}\)

б) \(-\dfrac{19\pi}6; -\dfrac{17\pi}6; -\dfrac{13\pi}6\)

а) Для того, чтобы доказать, что пирамида является правильной, нужно доказать, что в основании пирамиды находится правильный многоугольник, а боковые ребра равны.


Возьмем за основание \(\triangle ABC\) – он правильный по условию.
Осталось доказать, что \(DA=DC=DB\).
Рассмотрим \(\triangle ADB\) и \(\triangle CDB\). Они прямоугольные и равны по катету и гипотенузе. Следовательно, \(DA=DC\). Аналогично рассматривая другие боковые грани, доказываем, что \(DA=DB\). Следовательно, \(DA=DB=DC\), чтд.

б) Заметим, что так как \(DM:MA=DN:NC=4:3\) и боковые грани – равные треугольники, то \(BM=BN\).


Так как \(DM:MA=DN:NC=4:3\), то по теореме Фалеса \(MN\parallel AC\), также \(\triangle DMN\sim \triangle DAC\).
Из подобия следует: \[\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{DM}{DA}=\dfrac47\quad\rightarrow\quad MN=\dfrac47AC=4\sqrt2\]

Найдем \(BM\).
Так как \(\triangle ADB\) прямоугольный и равнобедренный, то \(DA=DB=AB:\sqrt2\), следовательно, \(DA=7\).
Рассмотрим прямоугольный \(\triangle DMB\). Так как \(DM=\frac47DA=4\), то \(BM=\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{65}\).
Рассмотрим теперь \(\triangle BMN\):


Так как он равнобедренный, то высота \(BH\), проведенная к основанию, будет также и медианой. Следовательно, \[BH=\sqrt{65-8}=\sqrt{57}\] Таким образом, \[S_{\triangle BMN}=\dfrac 12\cdot BH\cdot MN=2\sqrt{114}\]

Ответ:

б) \(2\sqrt{114}\)

ОДЗ логарифмов: \(x>0\).
На ОДЗ верно: \(\log_55x^4=\log_55+\log_5x^4=1+4\log_5|x|=1+4\log_5x\).
Сделаем замену \(\log_5x=t\), тогда неравенство примет вид \[1+\dfrac 4{t-2}+\dfrac 3{t^2-(1+4t)+5}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2-1}{(t-2)^2}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-1)(t+1)}{(t-2)^2}\geqslant 0\] Решим полученное неравенство методом интервалов:


Таким образом, возвращаясь к старой переменной, можем записать: \[\begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\log_5x\leqslant -1\\ &\log_5x\geqslant 1\end{aligned}\end{gathered}\right. \\ \log_5x\ne 2\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\leqslant \dfrac15\\[2ex] &x\geqslant 5 \end{aligned}\end{gathered}\right. \\ x\ne 25\end{cases}\] Пересекая полученный ответ с ОДЗ \(x>0\), получаем окончательный ответ
\(x\in\left(0;\frac15\right]\cup[5;25)\cup(25;+\infty) \)

Ответ:

\(\left(0;\frac15\right]\cup[5;25)\cup(25;+\infty)\)

а) Проведем \(BK\perp AD\). Тогда по свойству равнобедренной трапеции \(AK=HD=(AD-BC):2=(3BC-BC):2=BC\). Тогда \(AH=AD-HD=2BC\), откуда \(AH:HD=2:1\), чтд.

б) Пусть \(O\) – середина \(BD\), \(H\) – точка пересечения продолжения отрезка \(CO\) с основанием \(AD\). Так как трапеция равнобедренная, то ее диагонали равны, следовательно, \(BD=26\).


Так как \(BC\parallel AD\), то \(\angle CBO=\angle HDO\) как накрест лежащие при секущей \(BD\).
Тогда \(\triangle CBO=\triangle HDO\) по 2-ому признаку (\(\angle BOC=\angle DOH\) как вертикальные), откуда \(HD=BC\).
Из пункта а) следует, что так как \(HD=BC\), то \(H\) – основание высоты, то есть \(CH\perp AD\).
Значит, \(CH\perp BC\), то есть \(\triangle CBO\) прямоугольный.
Так как \(BC=\frac13AD=12\), \(BO=\frac12BD=13\), то \[CO=\sqrt{13^2-12^2}=5\]

Ответ:

б) 5

Из условия задачи следует, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до начисления }\% & \text{Сумма долга после начисления }\%\text{ и платежа} \\ \hline 1 & 185\,640 & 1,1\cdot 185\,640-x\\ \hline 2 & 1,1\cdot 185\,640-x & 1,1(1,1\cdot 185\,640-x)-x\\ \hline 3 & 1,1(1,1\cdot 185\,640-x)-x & 1,1(1,1(1,1\cdot 185\,640-x)-x)-x \\ \hline 4 & 1,1(1,1(1,1\cdot 185\,640-x)-x)-x & 1,1(1,1(1,1(1,1\cdot 185\,640-x)-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Так как в конце четвертого года долг будет выплачен полностью, то есть будет равен нулю, можно составить такое уравнение: \[1,1(1,1(1,1(1,1\cdot 185\,640-x)-x)-x)-x=0\] Учитывая, что мы знаем, что система платежей аннуитетная, то полученное уравнение можно переписать в следующем виде: \[1,1^4\cdot 185\,640-x(1,1^3+1,1^2+1,1+1)=0\] Найдем платеж: \[x=\dfrac{1,1^4\cdot 185\,640}{(1,1+1)(1,1^2+1)}=\dfrac{11^4\cdot (2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 13\cdot 17)}{3\cdot 7\cdot 13\cdot 17\cdot 10}=58\,564\] Тогда общая сумма выплат по кредиту будет равна \[4x=4\cdot 58\,564=234\,256\]

Ответ: 234256

Уравнение можно переписать в виде: \[(3x-1)\cdot \left(\ln(3x+a)-\ln (4x-a)\right)=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\ln (3x+a)=\ln (4x-a)\\ &3x-1=0\end{aligned}\end{gathered}\right. \\ 3x+a>0\\ 4x-a>0\end{cases}\]Из первого уравнения совокупности находим корень \(x_1=2a\). Из второго уравнения находим корень \(x_2=\frac13\).
Число \(x_1\) будет являться корнем системы, принадлежащим отрезку \([0;1]\), (а значит, и исходного уравнения), если будет удовлетворять условиям \(3x+a>0\) и \(4x-a>0\), а также условию \(0\leqslant 2a\leqslant 1\). Следовательно, при \(0<a\leqslant 0,5\) число \(x_1\) будет являться корнем исходного уравнения.
Число \(x_2\) будет являться корнем исходного уравнения, принадлежащим отрезку \([0;1]\), если будет удовлетворять условиям \(3x+a>0\) и \(4x-a>0\) (заметим, что \(x_2=\frac13\) уже лежит на отрезке \([0;1]\), то есть это условие проверять не нужно), то есть при \(-1<a<\frac43\).
Совпадать корни \(x_1\) и \(x_2\) будут при \(a=\frac16\) (видим, что это значение \(a\) нам подходит).

Если корни не совпадают (значит, \(a\ne \frac16\)), то нам нужно, чтобы корнем исходного уравнения был либо \(x_1\), либо \(x_2\). То есть если \(x_1\) – корень, то \(x_2\) не должен быть корнем, и наоборот.
\(x_1\) будет корнем при \(0<a\leqslant 0,5\), \(x_2\) не будет корнем при \(a\leqslant -1\) или \(a\geqslant \frac43\). Следовательно: \[\begin{cases} 0<a\leqslant 0,5\\ a\in (-\infty;-1]\cup\left[\frac43;+\infty\right)\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad a\in \varnothing\] Если \(x_2\) – корень, а \(x_1\) – нет, то \[\begin{cases} a\in (-\infty;0]\cup(0,5;+\infty)\\[2ex] -1<a<\dfrac43\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad a\in (-1;0]\cup\left(0,5;\dfrac43\right)\]

Таким образом, окончательный ответ: \[a\in (-1;0]\cup\left\{\frac16\right\}\cup\left(0,5;\dfrac43\right)\]

Ответ:

\((-1;0]\cup \left\{\frac16\right\}\cup\left(0,5;\frac43\right)\)

а) Пусть \(k\) – количество дней, в течение которых девочки фотографировали. Тогда в последний день Наташа сделала \(n+k-1\) фотографий, Маша – \(m+k-1\) фотографий.
Предположим, что \(k=5\).
Следовательно, всего Наташа сделала \(\dfrac{n+n+k-1}2\cdot k=(n+2)\cdot 5\) фотографий (сумма первых пяти членов арифметической прогрессии), Маша: \(\dfrac{m+m+k-1}2\cdot k=(m+2)\cdot 5\) фотографий. Тогда можно составить уравнение \[(n+2)\cdot 5=(m+2)\cdot 5+1615\quad\Rightarrow\quad n=m+323\] \(n,m\) – любые натуральные числа. Из полученного уравнения мы видим, что можно подставить вместо \(m\) и \(n\) любые натуральные числа и никакого противоречия не будет.
Пусть \(m=1\), \(n=324\). Тогда на пятый день Наташа сделала 328 фотографий, Маша – 5 фотографий. Всего Наташа сделала \((324+328):2\cdot 5=1630\) фотографий, Маша сделала \((1+5):2\cdot 5=15\) фотографий. И действительно, \(1630=15+1615\).
Таким образом, ответ: да.

б) Предположим, что \(k=6\).
Поступая аналогично пункту а), получим следующее уравнение \[n=m+\dfrac{1615}6\] Так как \(n,m\) – натуральные числа, то нет ни одного натурального числа, удовлетворяющего полученному уравнению. Следовательно, ответ: нет.

в) В общем виде условие, что Наташа сделала суммарно на 1615 фотографий больше, чем Маша, можно записать так: \[\dfrac{2n+k-1}2\cdot k-\dfrac{2m+k-1}2\cdot k=1615 \quad\Leftrightarrow\quad k(n-m)=1615\] Заметим, что \(1615=5\cdot 17\cdot 19\).
Так как в последний день Маша сделала \(m+k-1\) фотографий, и это число меньше 30, то отсюда получаем \(m+k<31\) или \(m+k\leqslant 30\) (так как числа \(m\) и \(k\) – натуральные).
Следовательно, можно сказать, что \(k\leqslant 30\).
Из уравнения \[k(n-m)=5\cdot 17\cdot 19\] тогда можно сделать вывод, что \(k\) равно либо 5, либо 17, либо 19. Рассмотрим все три случая.

1) Пусть \(k=5\). Тогда \(m\leqslant 25\). Также тогда \(n-m=323\). Следовательно, сумма сделанных Наташей фотографий равна \[S=\dfrac{2(323+m)+5-1}2\cdot 5\leqslant 1750,\] причем равенство достигается, когда \(m=25\).

2) Пусть \(k=17\). Тогда \(m\leqslant 13\), \(n-m=95\). Следовательно, \[S=\dfrac{2(95+m)+17-1}2\cdot 17\leqslant 1972\]

3) Пусть \(k=19\). Тогда \(m\leqslant 11\), \(n-m=85\). Тогда \[S=\dfrac{2(85+m)+19-1}2\cdot 19\leqslant 1995\]

Таким образом мы видим, что наибольшее количество фотографий будет сделано Наташей за 19 дней, если \(m=11\).

Выполним проверку.
Наташа делала 96, 97, ... , 114 фотографий в 1, 2, ..., 19 день соответственно.
Маша делала 11, 12, ..., 29 фотографий в 1, 2, ..., 19 день соответственно.
Всего Наташа сделала \((96+114):2\cdot 19=1995\) фотографий.
Всего Маша сделала \((11+29):2\cdot 19=380\) фотографий.
Действительно, \(1995=380+1615\).

Ответ:

а) да

б) нет

в) 1995