Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

Тренировочные варианты ЕГЭ-2018

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты «Школково». Вариант № 4 (вторая часть)

Задание 1

а) Решите уравнение \[9^{\,\sin x}+9^{\,\sin (x+\pi)}=\dfrac{10}3\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{7\pi}2; -2\pi\right]\).

а) Так как по формуле приведения \(\sin (x+\pi)=-\sin x\), то после замены \(9^{\,\sin x}=t, t>0\) уравнение примет вид \[t+\dfrac 1t=\dfrac{10}3\] Корнями этого уравнения будут \(t=3; \dfrac13\). Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &9^{\,\sin x}=3\\[2ex] &9^{\,\sin x}=\dfrac13\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=\dfrac12\\[2ex] &\sin x=-\dfrac12\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решениями данной совокупности будут \(x_1=\pm \dfrac{\pi}6+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\) и \(x_2=\pm \dfrac{5\pi}6+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).  

б) Отберем корни.   \(-\dfrac{7\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi k\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{11}6\leqslant k\leqslant -\dfrac{13}{12}\quad\Rightarrow\quad k\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in\varnothing\)   \(-\dfrac{7\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}6+2\pi k\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac53\leqslant k\leqslant -\dfrac{11}{12}\quad\Rightarrow\quad k=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{13\pi}6\)   \(-\dfrac{7\pi}2\leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi n\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{13}6\leqslant n\leqslant -\dfrac{17}{12}\quad\Rightarrow\quad n=-2\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{19\pi}2\)   \(-\dfrac{7\pi}2\leqslant -\dfrac{5\pi}6+2\pi n\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac43\leqslant n\leqslant -\dfrac7{12}\quad\Rightarrow\quad n=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{17\pi}6\)

Ответ:

а) \(\pm \dfrac{\pi}6+2\pi k, \pm \dfrac{5\pi}6+2\pi n; k,n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{19\pi}6; -\dfrac{17\pi}6; -\dfrac{13\pi}6\)

Задание 2

Ребра \(DA,DB,DC\) пирамиды \(ABCD\) попарно перпендикулярны. \(AB=AC=BC=7\sqrt2\).

 

а) Докажите, что пирамида правильная.

б) Найдите площадь сечения \(BMN\), если точки \(M\) и \(N\) лежат на ребрах \(DA\) и \(DC\) соответственно, причем \(DM:MA=DN:NC=4:3\).

а) Для того, чтобы доказать, что пирамида является правильной, нужно доказать, что в основании пирамиды находится правильный многоугольник, а боковые ребра равны.


Возьмем за основание \(\triangle ABC\) – он правильный по условию.
Осталось доказать, что \(DA=DC=DB\).
Рассмотрим \(\triangle ADB\) и \(\triangle CDB\). Они прямоугольные и равны по катету и гипотенузе. Следовательно, \(DA=DC\). Аналогично рассматривая другие боковые грани, доказываем, что \(DA=DB\). Следовательно, \(DA=DB=DC\), чтд.

 

б) Заметим, что так как \(DM:MA=DN:NC=4:3\) и боковые грани – равные треугольники, то \(BM=BN\).


Так как \(DM:MA=DN:NC=4:3\), то по теореме Фалеса \(MN\parallel AC\), также \(\triangle DMN\sim \triangle DAC\).
Из подобия следует: \[\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{DM}{DA}=\dfrac47\quad\rightarrow\quad MN=\dfrac47AC=4\sqrt2\]

Найдем \(BM\).
Так как \(\triangle ADB\) прямоугольный и равнобедренный, то \(DA=DB=AB:\sqrt2\), следовательно, \(DA=7\).
Рассмотрим прямоугольный \(\triangle DMB\). Так как \(DM=\frac47DA=4\), то \(BM=\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{65}\).
Рассмотрим теперь \(\triangle BMN\):


Так как он равнобедренный, то высота \(BH\), проведенная к основанию, будет также и медианой. Следовательно, \[BH=\sqrt{65-8}=\sqrt{57}\] Таким образом, \[S_{\triangle BMN}=\dfrac 12\cdot BH\cdot MN=2\sqrt{114}\]

Ответ:

б) \(2\sqrt{114}\)

Задание 3

Решите неравенство \[1+\dfrac 4{\log_5x-2}+\dfrac 3{\left(\log_5x\right)^2-\log_55x^4+5}\geqslant 0\]

ОДЗ логарифмов: \(x>0\).
На ОДЗ верно: \(\log_55x^4=\log_55+\log_5x^4=1+4\log_5|x|=1+4\log_5x\).
Сделаем замену \(\log_5x=t\), тогда неравенство примет вид \[1+\dfrac 4{t-2}+\dfrac 3{t^2-(1+4t)+5}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2-1}{(t-2)^2}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-1)(t+1)}{(t-2)^2}\geqslant 0\] Решим полученное неравенство методом интервалов:


Таким образом, возвращаясь к старой переменной, можем записать: \[\begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\log_5x\leqslant -1\\ &\log_5x\geqslant 1\end{aligned}\end{gathered}\right. \\ \log_5x\ne 2\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\leqslant \dfrac15\\[2ex] &x\geqslant 5 \end{aligned}\end{gathered}\right. \\ x\ne 25\end{cases}\] Пересекая полученный ответ с ОДЗ \(x>0\), получаем окончательный ответ
\(x\in\left(0;\frac15\right]\cup[5;25)\cup(25;+\infty) \)

Ответ:

\(\left(0;\frac15\right]\cup[5;25)\cup(25;+\infty)\)

Задание 4

В равнобедренной трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) в три раза больше основания \(BC\).

 

а) Докажите, что высота \(CH\) делит основание \(AD\) на отрезки, отношение которых равно \(2:1\).

б) Найдите расстояние от точки \(C\) до середины диагонали \(BD\), если \(AC=26, AD=36\).

а) Проведем \(BK\perp AD\). Тогда по свойству равнобедренной трапеции \(AK=HD=(AD-BC):2=(3BC-BC):2=BC\). Тогда \(AH=AD-HD=2BC\), откуда \(AH:HD=2:1\), чтд.

 

б) Пусть \(O\) – середина \(BD\), \(H\) – точка пересечения продолжения отрезка \(CO\) с основанием \(AD\). Так как трапеция равнобедренная, то ее диагонали равны, следовательно, \(BD=26\).


Так как \(BC\parallel AD\), то \(\angle CBO=\angle HDO\) как накрест лежащие при секущей \(BD\).
Тогда \(\triangle CBO=\triangle HDO\) по 2-ому признаку (\(\angle BOC=\angle DOH\) как вертикальные), откуда \(HD=BC\).
Из пункта а) следует, что так как \(HD=BC\), то \(H\) – основание высоты, то есть \(CH\perp AD\).
Значит, \(CH\perp BC\), то есть \(\triangle CBO\) прямоугольный.
Так как \(BC=\frac13AD=12\), \(BO=\frac12BD=13\), то \[CO=\sqrt{13^2-12^2}=5\]

Ответ:

б) 5

Задание 5

В июле 2018 планируется взять кредит в банке на сумму \(185\,640\) рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на \(10\%\) по сравнению с долгом на конец предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.
Сколько рублей составит общая сумма выплат по такому кредиту, если известно, что кредит будет погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

Из условия задачи следует, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до начисления }\% & \text{Сумма долга после начисления }\%\text{ и платежа} \\ \hline 1 & 185\,640 & 1,1\cdot 185\,640-x\\ \hline 2 & 1,1\cdot 185\,640-x & 1,1(1,1\cdot 185\,640-x)-x\\ \hline 3 & 1,1(1,1\cdot 185\,640-x)-x & 1,1(1,1(1,1\cdot 185\,640-x)-x)-x \\ \hline 4 & 1,1(1,1(1,1\cdot 185\,640-x)-x)-x & 1,1(1,1(1,1(1,1\cdot 185\,640-x)-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Так как в конце четвертого года долг будет выплачен полностью, то есть будет равен нулю, можно составить такое уравнение: \[1,1(1,1(1,1(1,1\cdot 185\,640-x)-x)-x)-x=0\] Учитывая, что мы знаем, что система платежей аннуитетная, то полученное уравнение можно переписать в следующем виде: \[1,1^4\cdot 185\,640-x(1,1^3+1,1^2+1,1+1)=0\] Найдем платеж: \[x=\dfrac{1,1^4\cdot 185\,640}{(1,1+1)(1,1^2+1)}=\dfrac{11^4\cdot (2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 13\cdot 17)}{3\cdot 7\cdot 13\cdot 17\cdot 10}=58\,564\] Тогда общая сумма выплат по кредиту будет равна \[4x=4\cdot 58\,564=234\,256\]

Ответ: 234256

Задание 6

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[(3x-1)\cdot \ln (3x+a)=(3x-1)\cdot \ln(4x-a)\]

будет иметь один корень на отрезке \([0;1]\).

Уравнение можно переписать в виде: \[(3x-1)\cdot \left(\ln(3x+a)-\ln (4x-a)\right)=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\ln (3x+a)=\ln (4x-a)\\ &3x-1=0\end{aligned}\end{gathered}\right. \\ 3x+a>0\\ 4x-a>0\end{cases}\]Из первого уравнения совокупности находим корень \(x_1=2a\). Из второго уравнения находим корень \(x_2=\frac13\).
Число \(x_1\) будет являться корнем системы, принадлежащим отрезку \([0;1]\), (а значит, и исходного уравнения), если будет удовлетворять условиям \(3x+a>0\) и \(4x-a>0\), а также условию \(0\leqslant 2a\leqslant 1\). Следовательно, при \(0<a\leqslant 0,5\) число \(x_1\) будет являться корнем исходного уравнения.
Число \(x_2\) будет являться корнем исходного уравнения, принадлежащим отрезку \([0;1]\), если будет удовлетворять условиям \(3x+a>0\) и \(4x-a>0\) (заметим, что \(x_2=\frac13\) уже лежит на отрезке \([0;1]\), то есть это условие проверять не нужно), то есть при \(-1<a<\frac43\).
Совпадать корни \(x_1\) и \(x_2\) будут при \(a=\frac16\) (видим, что это значение \(a\) нам подходит).

 

Если корни не совпадают (значит, \(a\ne \frac16\)), то нам нужно, чтобы корнем исходного уравнения был либо \(x_1\), либо \(x_2\). То есть если \(x_1\) – корень, то \(x_2\) не должен быть корнем, и наоборот.
\(x_1\) будет корнем при \(0<a\leqslant 0,5\), \(x_2\) не будет корнем при \(a\leqslant -1\) или \(a\geqslant \frac43\). Следовательно: \[\begin{cases} 0<a\leqslant 0,5\\ a\in (-\infty;-1]\cup\left[\frac43;+\infty\right)\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad a\in \varnothing\] Если \(x_2\) – корень, а \(x_1\) – нет, то \[\begin{cases} a\in (-\infty;0]\cup(0,5;+\infty)\\[2ex] -1<a<\dfrac43\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad a\in (-1;0]\cup\left(0,5;\dfrac43\right)\]

Таким образом, окончательный ответ: \[a\in (-1;0]\cup\left\{\frac16\right\}\cup\left(0,5;\dfrac43\right)\]

Ответ:

\((-1;0]\cup \left\{\frac16\right\}\cup\left(0,5;\frac43\right)\)

Задание 7

Маша и Наташа делают фотографии. В первый день Наташа сделала \(n\) фотографий, а Маша – \(m\) фотографий. Каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий. Известно, что в общей сложности Наташа сделала на 1615 фотографий больше Маши, а также то, что фотографировали они больше одного дня.

 

а) Могли ли девочки фотографировать в течение пяти дней?

б) Могли ли девочки фотографировать в течение шести дней?

в) Какое наибольшее количество фотографий могла сделать Наташа, если Маша в последний день сделала меньше 30 фотографий?

а) Пусть \(k\) – количество дней, в течение которых девочки фотографировали. Тогда в последний день Наташа сделала \(n+k-1\) фотографий, Маша – \(m+k-1\) фотографий.
Предположим, что \(k=5\).
Следовательно, всего Наташа сделала \(\dfrac{n+n+k-1}2\cdot k=(n+2)\cdot 5\) фотографий (сумма первых пяти членов арифметической прогрессии), Маша: \(\dfrac{m+m+k-1}2\cdot k=(m+2)\cdot 5\) фотографий. Тогда можно составить уравнение \[(n+2)\cdot 5=(m+2)\cdot 5+1615\quad\Rightarrow\quad n=m+323\] \(n,m\) – любые натуральные числа. Из полученного уравнения мы видим, что можно подставить вместо \(m\) и \(n\) любые натуральные числа и никакого противоречия не будет.
Пусть \(m=1\), \(n=324\). Тогда на пятый день Наташа сделала 328 фотографий, Маша – 5 фотографий. Всего Наташа сделала \((324+328):2\cdot 5=1630\) фотографий, Маша сделала \((1+5):2\cdot 5=15\) фотографий. И действительно, \(1630=15+1615\).
Таким образом, ответ: да.

 

б) Предположим, что \(k=6\).
Поступая аналогично пункту а), получим следующее уравнение \[n=m+\dfrac{1615}6\] Так как \(n,m\) – натуральные числа, то нет ни одного натурального числа, удовлетворяющего полученному уравнению. Следовательно, ответ: нет.

 

в) В общем виде условие, что Наташа сделала суммарно на 1615 фотографий больше, чем Маша, можно записать так: \[\dfrac{2n+k-1}2\cdot k-\dfrac{2m+k-1}2\cdot k=1615 \quad\Leftrightarrow\quad k(n-m)=1615\] Заметим, что \(1615=5\cdot 17\cdot 19\).
Так как в последний день Маша сделала \(m+k-1\) фотографий, и это число меньше 30, то отсюда получаем \(m+k<31\) или \(m+k\leqslant 30\) (так как числа \(m\) и \(k\) – натуральные).
Следовательно, можно сказать, что \(k\leqslant 30\).
Из уравнения \[k(n-m)=5\cdot 17\cdot 19\] тогда можно сделать вывод, что \(k\) равно либо 5, либо 17, либо 19. Рассмотрим все три случая.

 

1) Пусть \(k=5\). Тогда \(m\leqslant 25\). Также тогда \(n-m=323\). Следовательно, сумма сделанных Наташей фотографий равна \[S=\dfrac{2(323+m)+5-1}2\cdot 5\leqslant 1750,\] причем равенство достигается, когда \(m=25\).

 

2) Пусть \(k=17\). Тогда \(m\leqslant 13\), \(n-m=95\). Следовательно, \[S=\dfrac{2(95+m)+17-1}2\cdot 17\leqslant 1972\]

3) Пусть \(k=19\). Тогда \(m\leqslant 11\), \(n-m=85\). Тогда \[S=\dfrac{2(85+m)+19-1}2\cdot 19\leqslant 1995\]

Таким образом мы видим, что наибольшее количество фотографий будет сделано Наташей за 19 дней, если \(m=11\).

 

Выполним проверку.
Наташа делала 96, 97, ... , 114 фотографий в 1, 2, ..., 19 день соответственно.
Маша делала 11, 12, ..., 29 фотографий в 1, 2, ..., 19 день соответственно.
Всего Наташа сделала \((96+114):2\cdot 19=1995\) фотографий.
Всего Маша сделала \((11+29):2\cdot 19=380\) фотографий.
Действительно, \(1995=380+1615\).

Ответ:

а) да

б) нет

в) 1995