Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Нетипичные задачи в исследовании функций с помощью производной

\(\blacktriangleright\) В некоторых задачах поиск наибольшего/наименьшего значения функции через производную довольно затруднителен или невозможен вручную.
Например, уравнение \(f'(x)=0\) является нестандартным и решить его руками невозможно.

 

\(\blacktriangleright\) Пусть функция \(f(t(x))\) – сложная.
Если на \([t(a),t(b)]\) функция \(f(t)\) является строго возрастающей (или строго убывающей), то наибольшее значение будет достигаться в такой точке \(x_o\), в которой достигается наибольшее (или наименьшее) значение функции \(t(x)\).

 

Пример: Найти наименьшее значение функции \(f(x)=\cos{(\pi x^2)}\) на отрезке \(\left[0;\dfrac12\right]\).

 

Решение: Рассмотрим функцию \(f(t)=\cos t\). Если \(x\) пробегает все значения из отрезка \(\left[0;\dfrac12\right]\), то \(t\) пробегает все значения из отрезка \(\left[0;\dfrac{\pi}4\right]\).
Функция \(f(t)=\cos t\) при всех \(t\in \left[0;\dfrac{\pi}2\right]\) является убывающей, следовательно, наибольшее значение будет принимать при наименьшем значении \(t=0\).
Наименьшее значение \(t=0\) принимает при наименьшем значении \(x=0\).

 

Таким образом, ответ: \(f(0)=1\).

Задание 1 #2773
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \(y = -x^4 + 4x^3 - x^2 + 2x + 11\) на отрезке \([0; 2]\).

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Задание 2 #928
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции

\(y = 3x^5 - 5x^3 - 180x + 7\) на \([-3; 3]\).

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Задание 3 #929
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции

\(y = -e^{2x} + 4e^x + 3\) на \([0; 1]\).

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Задание 4 #931
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции

\(y = 3x^5 - 10x^3 + 15x + 1\) на \([-2; 100]\).

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Задание 5 #923
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наибольшее значение на отрезке \(\left[0; \dfrac{1}{\sin 1}\right]\) функции

\(y = \sin 1\cdot x\).

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Задание 6 #924
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \[y = \ln{(e^x + 1)} + \dfrac{x^3}{\ln^3{(e - 1)}} - 0,25(x - \ln{(e - 1)})\] на \([0; \ln{(e - 1)}]\).

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Задание 7 #925
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции

\(y = \dfrac{x}{x+1}e^{x^2 - 2,5x + 2,25}\) на \([0; +\infty)\).

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00