Математика
Русский язык

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по теме «Параллелепипед»

\(\blacktriangleright\) Параллелепипед – это призма, основания которой - параллелограммы.

 

\(\blacktriangleright\) У параллелепипеда все \(6\) граней представляют собой параллелограммы, причем противоположные грани (параллельные друг другу) равны.

 

\(\blacktriangleright\) Объем параллелепипеда, естественно, ищется по той же формуле, что и объем призмы:

\[{\Large{V=S_{\text{осн}}\cdot h}}\]

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки \(A, B, C, D, C_1, D_1\), где \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – параллелепипед, объем которого равен \(13\).

Добавить задание в избранное



Заметим, что плоскость \(AD_1C_1B\) делит параллелепипед на два равных многогранника. Следовательно, объем каждого равен половине объема параллелепипеда. Значит, ответ \(13:2=6,5\).

Ответ: 6,5

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – параллелепипед, точки \(M\) и \(N\) – середины рёбер \(AA_1\) и \(BB_1\) соответственно. Известно, что объём тела \(MNCDAB\) равен 1. Найдите объём \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).

Добавить задание в избранное




 

\(MNCDAB\) – призма (треугольники \(MAD\) и \(NBC\) равны по двум сторонам и углу между ними, \((MAD)\parallel (NBC)\)). \[V_{MNCDAB} = S_{MAD}\cdot h,\] где \(h\) – длина перпендикуляра, опущенного из точки \(A\) на плоскость \((NBC)\).

С другой стороны, \[V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = S_{AA_1D_1D}\cdot h,\] тогда \[\dfrac{V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}}{V_{MNCDAB}} = \dfrac{S_{AA_1D_1D}}{S_{MAD}}.\]

Пусть \(h_0\) – высота в параллелограмме \(AA_1D_1D\), проведённая к стороне \(AA_1\), тогда \(S_{AA_1D_1D} = AA_1\cdot h_0\), \(S_{MAD} = 0,5\cdot MA\cdot h_0\). Так как \(MA = 0,5\cdot AA_1\), то \[\dfrac{S_{AA_1D_1D}}{S_{MAD}} = \dfrac{AA_1\cdot h_0}{0,5\cdot 0,5\cdot AA_1\cdot h_0} = 4,\] следовательно, \(V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = 4\).

Ответ: 4

Задание 3
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) все грани представляют из себя ромбы с острым углом \(60^\circ\). Точки \(K\), \(L\) и \(M\) принадлежат соответственно ребрам \(BB_1\), \(CC_1\) и \(DD_1\), причем \(BK:KB_1 = 1:3\), \(CL = LC_1\), \(DM:MD_1 = 3:1\). Найдите длину ломаной \(AKLMA_1\), если сторона ромба равна \(\sqrt{21} - \sqrt{13}\).



Добавить задание в избранное

Для решения задачи воспользуемся вспомогательным чертежом. Изобразим местоположения точек искомой ломаной на ромбе, представляющем грань параллелепипеда, следующим образом:


 

Тогда становится ясно, что для того, чтобы подсчитать длину ломаной, необходимо найти длины отрезков \(AK\) и \(MA_1\). Длины этих отрезков можно вычислить по теореме косинусов из соответствующих треугольников, учитывая, что острый угол ромба равен \(60^\circ\), а тупой угол ромба равен соответственно \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Используя обозначения на чертеже найдем: \(AK^2 = (4x)^2 + x^2 - 2\cdot4x\cdot x\cdot\cos120^\circ = 21x^2\) \(\Rightarrow\) \(AK = \sqrt{21}x\); \(MA_1^2 = (4x)^2 + x^2 - 2\cdot4x\cdot x\cdot\cos60^\circ = 13x^2\) \(\Rightarrow\) \(MA_1 = \sqrt{13}x\). Длина ломаной будет тогда равна: \(L = 2AK + 2MA_1 = 2\sqrt{21}x + 2\sqrt{13}x = 2(\sqrt{21} + \sqrt{13})x\). Так как на чертеже за \(4x\) обозначена сторона ромба, то \(4x = \sqrt{21} - \sqrt{13}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle x = \frac{\sqrt{21} - \sqrt{13}}{4}\).
Тогда \(\displaystyle L = 2(\sqrt{21} + \sqrt{13})x = 2(\sqrt{21} + \sqrt{13})\left(\frac{\sqrt{21} - \sqrt{13}}{4}\right) = \frac{2(21 - 13)}{4} = \frac{2\cdot8}{4} = 4\).

Ответ: 16

Задание 4
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – параллелепипед, \(ABDC\) – ромб. Известно, что \(S_{ABCD} = 11\), \(S_{AA_1D_1D} = 31\), \(\angle AA_1D_1 = \angle DD_1C_1\). Найдите площадь полной поверхности \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).

Добавить задание в избранное




 

Так как \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – параллелепипед, то основания \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) равны. Треугольники \(AA_1D_1\) и \(DD_1C_1\) равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, \[\triangle ADD_1 = \triangle AA_1D_1 = \triangle DD_1C_1 = \triangle DCC_1,\] откуда можно заключить, что \(31 = S_{AA_1D_1D} = S_{DD_1C_1C}\).

Так как \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – параллелепипед, то \(S_{BB_1C_1C} = S_{AA_1D_1D} = 31\) и \(S_{AA_1B_1B} = S_{DD_1C_1C} = 31\), следовательно, площадь полной боковой поверхности \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равна \[2\cdot 11 + 4\cdot 31 = 146.\]

Ответ: 146

Задачи на тему «Параллелепипед», в которых учащимся предлагается найти объем многогранника и другие параметры при известных значениях граней, длины и диагоналей, являются обязательной частью ЕГЭ по математике. Это означает, что знать алгоритм вычисления правильного ответа должны выпускники с разным уровнем подготовки. Понимая принцип решения задач ЕГЭ на нахождение площади параллелепипеда, школьники смогут выполнять задания с любым количеством действий и при этом получить достаточно высокие баллы по итогам сдачи госэкзамена.

Базовая информация

  • Так как параллелепипедом называется призма, в основании которой находится параллелограмм, этот многогранник обладает всеми свойствами призмы.
  • Фигура имеет 6 граней, причем те из них, которые параллельны друг другу, равны.
  • Прямоугольный параллелепипед является прямым. В основании фигуры находится прямоугольник. Боковые грани многогранника также представляют собой прямоугольники.
  • Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту призмы.

Занятия с образовательным порталом «Школково» — залог качественной подготовки к аттестационному испытанию

Зачастую проблема поиска необходимой информации встает перед старшеклассниками достаточно остро. Школьного учебника может просто не оказаться под рукой в нужный момент. А поиск формул для решения задач на определение объема и других параметров параллелепипеда может быть достаточно трудоемким даже в Интернете.

Весь необходимый для повторного изучения материал по данной теме вы найдете в этом разделе образовательного портала «Школково». Мы предлагаем учащимся и их преподавателям выстроить процесс подготовки к госэкзамену от простого к сложному. Такой подход позволит старшеклассникам понять, какие темы требуют более детального изучения, и улучшить имеющиеся знания.

В разделе «Теоретическая справка» подробно изложен весь базовый материал по теме «Параллелепипед». Представленная информация позволит вам восполнить пробелы в знаниях без помощи репетитора.

Чтобы задания ЕГЭ не вызывали сложностей, мы предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Найти подобные задания вы можете в разделе «Каталог». Здесь представлены как элементарные упражнения, так и материалы повышенной сложности, также изучаемые в рамках школьной программы. При этом каждая задача содержит подробный алгоритм решения и правильный ответ.

Приступите к выполнению заданий уже сегодня, ведь с каждым днем остается все меньше времени на подготовку. А мы с удовольствием вам в этом поможем.