Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 1 #934
Уровень задания: Равен ЕГЭ

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб. Найдите угол между прямыми, содержащими отрезки \(AC\) и \(B_1D_1\). Ответ дайте в градусах.




 

Прямая \(BD\) параллельна прямой \(B_1D_1\), тогда угол между \(AC\) и \(B_1D_1\) равен углу между \(AC\) и \(BD\), но \(AC\) и \(BD\) – диагонали квадрата, тогда они пересекаются под прямым углом, следовательно ответ \(90^{\circ}\).

Ответ: 90

Задание 2 #2847
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана правильная треугольная пирамида \(SABC\) с вершиной \(S\). Найдите угол между высотой пирамиды и ребром \(SB\), если высота пирамиды равна \(2\sqrt3\), а сторона основания пирамиды равна \(6\). Ответ дайте в градусах.

Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник, следовательно, высота \(SO\) падает в точку пересечения медиан основания.



Пусть \(BB_1\) – медиана, а значит, и высота. По теореме Пифагора \[BB_1=\sqrt{BC^2-B_1C^2}=3\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad BO=\dfrac23BB_1=2\sqrt3,\] так как медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины.
Следовательно, прямоугольный \(\triangle SOB\) является равнобедренным (\(SO=BO=2\sqrt3\)), значит, острые углы равны по \(45^\circ\).

Ответ: 45

Задание 3 #933
Уровень задания: Равен ЕГЭ

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб. Точка \(K\) лежит на ребре \(AA_1\). Найдите угол между прямыми, содержащими отрезки \(D_1K\) и \(AB\). Ответ дайте в градусах.




 

Так как \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб, то \(AB\) перпендикулярен плоскости \((ADD_1)\), тогда \(AB\) перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости \((ADD_1)\), следовательно, угол между прямыми, содержащими отрезки \(D_1K\) и \(AB\) равен \(90^{\circ}\).

Ответ: 90

Задание 4 #2845
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан правильный тетраэдр \(SABC\). Найдите квадрат тангенса угла между высотой грани \(SAC\), опущенной из вершины \(S\), и высотой грани \(ABC\), опущенной из вершины \(B\).

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 24.11.2019 в 09:00

Задание 5 #1846
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между прямыми \(AD_1\) и \(BD\). Ответ дайте в градусах.



Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 24.11.2019 в 09:00

Задание 6 #1847
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точка \(K\) – середина стороны \(B_1C_1\), а точка \(L\) – середина стороны \(C_1D_1\). Найдите угол между прямыми \(AB_1\) и \(KL\). Ответ дайте в градусах.



Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 24.11.2019 в 09:00

Задание 7 #2846
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дана правильная треугольная пирамида \(SABC\) с вершиной \(S\). Найдите косинус угла между высотой основания \(AA_1\) и ребром \(SC\), если сторона основания равна \(\sqrt3\), а боковое ребро равно \(2\).

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 24.11.2019 в 09:00

Старшеклассникам, планирующим хорошо сдать ЕГЭ по математике, мы рекомендуем повторить стереометрию. Это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур (точек, прямых, плоскостей и т. д.) в пространстве. Используя нашу базу тренировочных задач, вы сможете устранить пробелы в знаниях по стереометрии, при этом подготовка к экзамену не потребует материальных вложений. Вы разберетесь в теме без репетитора, так как мы изложили материал в максимально доступной форме.

В данном учебном пособии рассмотрены стандартные математические задания по теме «Геометрия фигур в пространстве», предлагавшиеся на ЕГЭ в прошлых учебных годах. Здесь вы сможете вспомнить теоретическую базу и применить свои знания на практике. У нас вы найдете как элементарные упражнения, так и материалы повышенной сложности, также изучаемые в школьной программе. При этом каждая задача по стереометрии содержит подробный алгоритм решения и правильный ответ.

Тренируйтесь регулярно, и вы не совершите ошибок на аттестационном экзамене, например, если вам достанутся задачи на тему «Вычисление объемов фигур». А благодаря порталу «Школково» заниматься самообразованием можно в любое удобное время онлайн. Приступите к решению задач из раздела ЕГЭ «Геометрия в пространстве» уже сейчас, ведь с каждым днем остается все меньше времени на подготовку. А мы всегда рады помочь.