Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Буквенные иррациональные выражения

\(\blacktriangleright\) Если под корнем четной степени находится неизвестная: \(\sqrt[2n]{f(x)}\), то данное выражение имеет смысл только при \(f(x)\geqslant 0\).

 

Как и в предыдущей подтеме, справедливы формулы: \[\sqrt[2n]{f^{2n}(x)}=|f(x)|\] \[\left(\sqrt[2n]{f(x)}\right)^{2n}=f(x),\quad \text{при условии} \ \ f(x)\geqslant 0\] Пример: 1) \(\sqrt[4]{x^4}=|x|\);

 

\(\phantom{000}\,\) 2) \((\sqrt{x^2-1})^2 = x^2-1 \ \) при условии, что \(x^2-1\geqslant 0\);

 

\(\phantom{000}\,\) 3) \(\sqrt[6]{x^{96}}=\sqrt[6]{\left(x^{16}\right)^6}=x^{16} \ \) при всех \(x\) (т.к. \(x^{16}\geqslant 0\) для любого \(x\)).

 

\(\blacktriangleright\) Если под корнем нечетной степени находится неизвестная: \(\sqrt[2n+1]{f(x)}\), то данное выражение имеет смысл при всех \(f(x)\in \mathbb{R}\).

 

Как и в предыдущей подтеме, справедлива формула:

\[\sqrt[2n+1]{f^{2n+1}(x)}=\left(\sqrt[2n+1]{f(x)}\right)^{2n+1}=f(x)\] Пример: \(\sqrt[5]{x^{10}}=\sqrt[5]{\left(x^2\right)^5}=x^2\).

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sqrt{y^2}\), при \(y = -5\).

Добавить задание в избранное

\(\sqrt{y^2} = |y|\), что при \(y = -5\) равно \(5\).

Ответ: 5

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sqrt{(5 + x)^2}\), при \(x = -13300\).

Добавить задание в избранное

\(\sqrt{(5 + x)^2} = |5 + x|\), что при \(x = -13300\) равно \(13295\).

Ответ: 13295

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sqrt[3]{(6 - 2x)^3}\), при \(x = 5\).

Добавить задание в избранное

\(\sqrt[3]{(6 - 2x)^3} = 6 - 2x\), что при \(x = 5\) равно \(-4\).

Ответ: -4

Задание 4
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sqrt[4]{(-11x + 3)^4}\), при \(x = 0,5\).

Добавить задание в избранное

\(\sqrt[4]{(-11x + 3)^4} = |-11x + 3| = |11x - 3|\), что при \(x = 0,5\) равно \(2,5\).

Ответ: 2,5

Задание 5
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sqrt[4]{(-x + 1)^8}\), при \(x = -12\).

Добавить задание в избранное

\(\sqrt[4]{(-x + 1)^8} = \sqrt[4]{((-x + 1)^2)^4} = |(-x + 1)^2| = (-x + 1)^2 = (x - 1)^2\), что при \(x = -12\) равно \(169\).

Ответ: 169

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{a - \sqrt{ab}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\) при \(a = 0,64\), \(b = 2,25\).

Добавить задание в избранное

\[\frac{a - \sqrt{ab}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \sqrt{a} = \sqrt{0,64} = 0,8\]

Ответ: 0,8

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{13t^2 + \sqrt{t}}{t^2} - \dfrac{t}{t^2\sqrt{t}}\), при \(t > 100\).

Добавить задание в избранное

Вторую дробь при \(t > 0\) можно представить в следующем виде: \[\dfrac{13t^2 + \sqrt{t}}{t^2} - \dfrac{t}{t^2\sqrt{t}} = \dfrac{13t^2 + \sqrt{t}}{t^2} - \dfrac{\sqrt{t}}{t^2} = \dfrac{13t^2}{t^2} = 13.\]

Ответ: 13