а) Рассмотрим последовательность из одинаковых чисел, сумма которых 60:
\(12, 12, 12, 12, 12\). Изменим её так, чтобы выполнялось условие задачи. Это можно сделать, например, забрав по 2 у крайних членов (всего отняли 4) и прибавив к среднему члену 2, а к оставшимся по 1: \(10, 13, 14, 13, 10\).
б) Решение пункта а) подходит в данном случае.
в) Заметим, что если \[a_i > \dfrac{a_{i-1} + a_{i + 1}}{2},\] то и \[(a_i + 1) > \dfrac{(a_{i-1} + 1) + (a_{i+1} + 1)}{2},\] и \[(a_i -
1) > \dfrac{(a_{i-1} - 1) + (a_{i+1} - 1)}{2}.\]
Изменим условие задачи, разрешив \(a_i\) быть равными \(0\).
Решение исходной задачи получается из решения изменённой: в самом деле, если в изменённой задаче минимум суммы достигается на последовательности \(b_1, ..., b_8\), то минимум суммы в исходной задаче достигается на последовательности \(b_1 + 1, ..., b_8 + 1\) (если бы это было не так и была бы последовательность \(c_1, ...,
c_8\), подходящая по исходному условию, но с суммой членов, меньшей, чем у \(b_1 + 1, ..., b_8 + 1\), то последовательность \(c_1 - 1, ...,
c_8 - 1\) подходила бы по изменённому условию, но сумма её членов была бы меньше, чем у \(b_1, ..., b_8\)).
Ясно, что для того, чтобы каждое из \(a_2, ..., a_7\) было больше среднего арифметического соседей, необходимо, чтобы рядом с каждым из них нашёлся меньший сосед. Отсюда следует, что среди \(a_2, ...,
a_7\) нет равных 0.
Пусть на последовательности \(a_1, ..., a_8\) достигается минимум суммы.
Покажем, что \(a_1 = 0 = a_8\). Если бы это было не так, то можно было бы положить их равными 0 и получить последовательность, подходящую по новому условию, но с меньшей суммой – противоречие.
Так как среди \(a_2, ..., a_7\) нет равных 0, то среди \(a_3, ..., a_6\) нет равных 1 (иначе у 1 не будет меньшего соседа). При этом если \(a_2 = 1\), то \(a_3\) должно быть меньше 2, но среди \(a_3, ..., a_6\) нет 0 и 1, то есть такого быть не может. Для \(a_7\) аналогично. Итого: среди \(a_2, ..., a_7\) нет и равных 1.
Так как среди \(a_2, ..., a_7\) нет равных 1, то среди \(a_3, ..., a_6\) нет равных 2 (иначе у 2 не будет меньшего соседа). При этом если \(a_2 = 2\), то \(a_3\) должно быть не больше 3 и не может быть 0, 1 или 2, тогда \(a_3 = 3\), но тогда \(a_4\) не может быть 4 или больше, следовательно \(a_4 = 3\), но тогда \(a_5 < 3\), чего быть не может. Для \(a_7\) аналогично. Итого: среди \(a_2, ..., a_7\) нет и равных 2.
Так как среди \(a_2, ..., a_7\) нет равных 2, то среди \(a_3, ..., a_6\) нет равных 3 (иначе у 3 не будет меньшего соседа).
Среди \(a_3, ..., a_6\) не может быть и 4: иначе меньший сосед мог бы быть только у \(a_3\) и \(a_6\). Пусть \(a_3 = 4\), тогда \(a_4 < 5\), то есть \(a_4 = 4\), но тогда \(a_5 < 4\), чего быть не может. Для \(a_6\) аналогично.
Среди \(a_3, ..., a_6\) не может быть больше двух пятёрок (иначе среди \(a_4\) и \(a_5\) была хотя бы одна пятёрка, но у неё соседом должно было быть число, меньшее 5, чего быть не может).
Итак, искомая последовательность \[0, 3, 5, 6, 6, 5, 3, 0,\] сумма её членов равна 28. Тогда последовательность с наименьшей суммой среди подходящих под изначальное условие: \[1, 4, 6, 7, 7, 6, 4,
1,\] её сумма равна 36.
Ответ:
а) \(10, 13, 14, 13, 10\).
б) Да.
в) \(36\).