Математика
Русский язык

Тренировочные варианты "Школково". Уровень составитель ЕГЭ

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Уровень составитель ЕГЭ. Тренировочный вариант №7

Задание 1

Учебник китайского языка стоит 200 рублей. Какое наибольшее количество учебников китайского языка сможет купить для класса Ваня на 2500 рублей, если цена на каждый учебник упадёт на 8\(\%\)?

После падения цены один учебник китайского языка станет стоить \(200 \cdot (1 - 0,08) = 184\) рубля. Наибольшее количество учебников, которое можно купить на 2500 рублей по такой цене, получается после округления в меньшую сторону результата от деления 2500 на 184. Ваня сможет купить 13 учебников китайского языка для класса.

Ответ: 13

Задание 2

На плоскости \(Ova\) показана взаимосвязь скорости \(v\) материальной точки и её ускорения \(a\). Определите, какой была скорость этой точки в момент, когда её ускорение было наибольшим.

Для ответа на поставленный вопрос надо найти на данной кривой точку, у которой координата \(a\) наибольшая. Такая точка одна: \(P(0; 3)\).



При этом скорость в точке \(P\) равна \(0\).

Ответ: 0

Задание 3

В треугольнике \(ABC\) точка \(H\) делит сторону \(AB\) в отношении \(\dfrac{2}3\). Найдите площадь треугольника \(HBC\), если площадь \(S_{ABC} = 15.\)


 

Треугольники \(ABC\) и \(HBC\) имеют общий угол \(B\), следовательно:  

\[\dfrac{S_{BHC}}{S_{ABC}} = \dfrac{HB\cdot BC}{AB\cdot BC} = \dfrac{HB}{AB}.\]  

Пусть \(HB = 2x\), \(AH = 3x\), учитывая то, что \(AB = HB + AH\), получаем:  

\[\dfrac{HB}{AB} = \dfrac{2x}{2x+3x} = \dfrac{2}5 \Rightarrow S_{HBC} = S_{ABC}\cdot \dfrac{2}5 = 6.\]  

Ответ: 6

Задание 4

Антон и Костя играют в настольный теннис. Вероятность того, что Костя попадет своим коронным ударом в стол равна \(0,9\). Вероятность того, что Антон выиграет розыгрыш, в котором Костя попытался нанести коронный удар равна \(0,3\). Костя попытался попасть своим коронным ударом в стол. Какова вероятность того, что Костя действительно попадет своим коронным ударом и в итоге выиграет этот розыгрыш?

Так как рассматриваемые события независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей. При этом вероятность того, что Антон не выиграет розыгрыш, в котором Костя попытался нанести свой коронный удар равна \(1 - 0,3 = 0,7\). Тогда искомая вероятность равна \[0,9\cdot 0,7 = 0,63.\]

Ответ: 0,67

Задание 5

Решите уравнение \[\cos \dfrac x2=-1\]

В ответе укажите произведение наибольших двух отрицательных корней уравнения, деленное на \(\pi^2\).

Данное уравнение равносильно \[\dfrac x2=\pi+2\pi n\quad\Leftrightarrow\quad x=2\pi+4\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.\] Найдем отрицательные корни уравнения, решив неравенство: \[2\pi+4\pi n<0\quad\Leftrightarrow\quad n<-\dfrac12\quad\Rightarrow\] последние два отрицательных корня получаются при \(n=-2; \ -1\) и это \(x=-6\pi; \ -2\pi\). Следовательно, их произведение, деленное на \(\pi^2\), равно \(12\pi^2\div \pi^2=12.\)

Ответ: 12

Задание 6

Найдите расстояние между двумя параллельными сторонами правильного шестиугольника со стороной \(\sqrt{108}\).

Рассмотрим правильный шестиугольник \(ABCDFE\) и в нем треугольник \(ABC\). Параллельными сторонами являются пары \(AB\) и \(DF\), \(BC\) и \(FE\), \(CD\) и \(EA\).
Помним, что угол правильного шестиугольника равен \(120^\circ\).


 

\(\triangle ABC\) равнобедренный (\(AB=BC\,\)), следовательно, \(\angle BAC=0,5\cdot (180^\circ-120^\circ)=30^\circ\). Таким образом, \(\angle CAE=120^\circ-30^\circ=90^\circ\).

 

Следовательно, \(AC\) – расстояние между сторонами \(AE\) и \(CD\) (по определению расстояние между двумя параллельными прямыми – отрезок, проведенный из любой точки одной прямой перпендикулярно ко второй прямой).

Найдем \(AC\) по теореме косинусов (\(AB=BC=a=\sqrt{108}\)):

 

\(AC^2=a^2+a^2-2a^2\cdot \cos120^\circ=2a^2(1-\cos120^\circ)=2\cdot 108\cdot \left(1+\frac12\right)=3\cdot 108 \quad \Rightarrow \)

 

\(\Rightarrow \quad AC=\sqrt{3\cdot 108}=\sqrt{3\cdot 3\cdot 36}=3\cdot 6=18.\)

Ответ: 18

Задание 7

Прямая, заданная уравнением \(y = kx + 2\), касается графика функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\). Найдите \(f'(x_0)\), если \(f'(x_0) + k = 5\).

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту касательной, то есть

\[f'(x_0) = k.\]

Значит, так как \(f'(x_0) + k = 5\), то \(2\cdot f'(x_0) = 5\), откуда \(f'(x_0) = 2,5\).

Ответ: 2,5

Задание 8

Дан прямоугольный параллелепипед, основания \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) которого являются квадратами со стороной \(3\sqrt2\). Пусть \(M\) – точка пересечения диагоналей грани \(AA_1D_1D\), \(N\) – точка пересечения диагоналей грани \(DD_1C_1C\). Найдите \(MN\).



Так как \(AD=DC\), то грани \(AA_1D_1D\) и \(DD_1C_1C\) равны, следовательно, и их диагонали равны, значит, \(A_1D=C_1D\). Так как диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, то \(A_1M=MD=DN=NC_1\). Рассмотрим \(\triangle A_1C_1D\): в нем \(MN\) является средней линией, следовательно, она равна половине основания \(A_1C_1\), которое в свою очередь является диагональю квадрата \(A_1B_1C_1D_1\), следовательно, равно \(3\sqrt2\cdot \sqrt2=6\). Следовательно, \(MN=3\).

Ответ: 3

Задание 9

Найдите значение выражения \[\frac{7^{\log_3{16}} - 2^{\log_6{5}}}{5^{\log_{6}{2}} - 4^{2\log_3{7}}}\]

Воспользуемся следующим свойством \(a^{\log_b{c}} = c^{\log_b{a}}\): \[\frac{7^{\log_3{16}} - 2^{\log_6{5}}}{5^{\log_{6}{2}} - 4^{2\log_3{7}}} = \frac{7^{\log_3{16}} - 2^{\log_6{5}}}{2^{\log_6{5}} - 16^{\log_3{7}}} = \frac{7^{\log_3{16}} - 2^{\log_6{5}}}{2^{\log_6{5}} - 7^{\log_3{16}}} = \frac{-(2^{\log_6{5}} - 7^{\log_3{16}})}{2^{\log_6{5}} - 7^{\log_3{16}}} = -1\]

Ответ: -1

Задание 10

Относительное удлинение твёрдого стержня может быть найдено по формуле \[\mathcal{E} = \dfrac{l - l_0}{l_0},\] где \(l_0\) – начальная длина стержня (в метрах), \(l\) – конечная длина (в метрах). Длина стержня сначала увеличилась (состояние 1) не менее, чем в \(1,4\) раза, а затем уменьшилась (состояние 2) и стала составлять \(60\%\) от длины, которая была в состоянии 1. Какое при этом наименьшее относительное удлинение мог получить стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию?

В состоянии 1 длина стержня стала \(l_1 \geq 1,4l_0\), а после перехода в состояние 2 она стала составлять \[l_2 = \dfrac{60}{100}\cdot l_1 \geq \dfrac{60}{100}\cdot 1,4l_0 = 0,84l_0.\] Таким образом, относительное удлинение, которое при этом получил стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию: \[\mathcal{E} = \dfrac{l_2 - l_0}{l_0} \geq \dfrac{0,84l_0 - l_0}{l_0} = -0,16,\] следовательно, наименьшее относительное удлинение, которое при этом мог получить стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию, равно \(-0,16\).

Ответ: -0,16

Задание 11

Химик Наташа смешала 10-процентный и 20-процентный растворы спирта. Она знает, что если добавит к смеси 1 литр чистой воды, то получит 14-процентный раствор спирта. С другой стороны, если она добавит вместо 1 литра воды 1 литр 40-процентного раствора спирта, то получит 22-процентный раствор спирта. Сколько литров 10-процентного раствора спирта смешала Наташа?

Пусть \(x\) литров 10-процентного раствора спирта смешала Наташа,

пусть \(y\) литров 20-процентного раствора спирта смешала Наташа, тогда

 

\(\dfrac{10}{100}x + \dfrac{20}{100}y\) литров чистого спирта содержится в растворе Наташи.

 

По условию при добавлении 1 литра воды раствор станет 14-процентным, тогда:

 

\(\dfrac{10}{100}x + \dfrac{20}{100}y = \dfrac{14}{100}(x + y + 1)\).

 

С другой стороны, если она добавит вместо литра воды литр 40-процентного раствора спирта, то получит 22-процентный раствор, тогда:

\[\dfrac{10}{100}x + \dfrac{20}{100}y + \dfrac{40}{100}\cdot 1 = \dfrac{22}{100}(x + y + 1).\]

Решая систему из двух уравнений, находим \(x = 1, \ y = 3\). Итого: 1 литр 10-процентного раствора спирта смешала Наташа.

Ответ: 1

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции \(y = 9x^{1,5} - 9x + 1\) на отрезке \([0; 9]\).

ОДЗ: \(x \geq 0\). Решим на ОДЗ:

1) \(y' = 9(1,5x^{0,5} - 1)\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[9(1,5x^{0,5} - 1) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^{0,5} = \dfrac{2}{3}.\] Возводя левую и правую части последнего уравнения во вторую степень, получим \(x = \dfrac{4}{9}\). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на ОДЗ:


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([0; 9]\):


 

4) Эскиз графика на отрезке \([0; 9]\):



Таким образом, \(x = \dfrac{4}{9}\) – точка локального минимума функции \(y\) и наибольшее значение на \([0; 9]\) функция достигает в \(x = 0\) или в \(x = 9\). Сравним эти значения:

\(y(0) = 1\),

\(y(9) = 163\).

Итого: наибольшее значение функции \(y\) на \([0; 9]\) равно \(163\).

Ответ: 163

Задание 13

а) Решите уравнение \[\cos x+\sqrt3\sin\left(\dfrac{3\pi}2-\dfrac x2\right)+1=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[-4\pi;-2,5\pi\right].\)

а) По формуле приведения \(\sin \left(\dfrac{3\pi}2-\dfrac x2\right)=-\cos \dfrac x2\). Сделаем замену \(t=\dfrac x2\), тогда уравнение примет вид \[\cos 2t-\sqrt3\cos t+1=0\] По формуле косинуса двойного угла \(\cos 2t=2\cos^2t-1\), следовательно, \[2\cos^2t-\sqrt3\cos t=0 \quad\Leftrightarrow\quad \cos t(2\cos t-\sqrt3)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \cos t=0 \quad{\small{\text{или}}}\quad \cos t=\dfrac{\sqrt3}2.\] Решениям данных уравнений являются \[t=\dfrac{\pi}2+\pi n \quad{\small{\text{и}}}\quad t=\pm\dfrac{\pi}6+2\pi m, \quad n,m\in\mathbb{Z}.\] Сделаем обратную замену и получим ответ: \[x=\pi+2\pi n \quad{\small{\text{и}}}\quad x=\pm\dfrac{\pi}3+4\pi m, \quad n,m\in\mathbb{Z}.\]

б) Отберем корни.

 

\(-4\pi \leqslant \pi +2\pi n\leqslant -2,5\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac 52\leqslant n\leqslant -\dfrac 74\quad\Rightarrow\quad n=-2 \quad\Rightarrow\quad x=-3\pi.\)

 

\(-4\pi\leqslant \dfrac{\pi}3+4\pi m\leqslant -2,5\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{13}{12}\leqslant m\leqslant -\dfrac{17}{24} \quad\Rightarrow\quad m=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{11\pi}3.\)

 

\(-4\pi\leqslant -\dfrac{\pi}3+4\pi m\leqslant -2,5\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{11}{12}\leqslant m\leqslant -\dfrac{13}{24}\quad\Rightarrow\quad m\in \varnothing \quad\Rightarrow\quad x\in\varnothing.\)

Ответ:

а) \(\pi+2\pi n; \quad \pm\dfrac{\pi}3+4\pi m; \quad n,m\in\mathbb{Z}\)  

б) \(-\dfrac{11\pi}3; \ -3\pi\)

Задание 14

Дана пирамида \(SABC\) с вершиной \(S\), высота которой падает в точку пересечения биссектрис основания, являющегося равнобедренным треугольником с \(AC=CB\). Известно, что радиус вписанной в треугольник \(ABC\) окружности равен \(2-\sqrt3\), \(AB=2\), \(AS=2\sqrt2\). Найдите объем пирамиды.

1)

 

Пусть \(SH\) – высота пирамиды, то есть \(H\) – точка пересечения биссектрис основания. Рассмотрим основание \(ABC\). Так как центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис, то \(H\) – центр вписанной окружности. Пусть \(AA_1, CC_1\) – биссектрисы, тогда \(CC_1\) также медиана и высота, так как \(AC=CB\). Следовательно, \(HC_1\perp AB\), следовательно, \(HC_1=r\) и есть радиус вписанной окружности.
Проведем \(HK=r\perp AC\). Тогда \(AK=AC_1=1\). Пусть \(CK=t\). Тогда \(CC_1=\sqrt{AC^2-AC_1^2}=\sqrt{t(t+2)}\). Тогда из подобия \(\triangle KCH\sim \triangle ACC_1\): \[\dfrac{HK}{AC_1}=\dfrac{CK}{CC_1} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{2-\sqrt3}1=\dfrac t{\sqrt{t(t+2)}} \quad\Rightarrow\quad t=\dfrac2{\sqrt3}-1\] Следовательно, \(AC=t+1=\dfrac2{\sqrt3}\). Тогда \(CC_1=\dfrac1{\sqrt3}\).

Значит, площадь основания \[S_{ABC}=\dfrac12\cdot AB\cdot CC_1=\dfrac1{\sqrt3}.\]

 

2)

 

Заметим, что \(\triangle ASH\) прямоугольный, следовательно, для того, чтобы найти высоту пирамиды, нужно найти \(AH\). Из прямоугольного \(AC_1H\): \[AH^2=AC_1^2+C_1H^2=1+(2-\sqrt3)^2=4(2-\sqrt3).\] Следовательно, \[SH=\sqrt{AS^2-AH^2}=\sqrt{8-4(2-\sqrt3)}=\sqrt{4\sqrt3}=2\sqrt[4]3.\]

Следовательно, объем пирамиды равен \[V=\dfrac13\cdot SH\cdot S_{ABC}=\dfrac2{3\sqrt[4]3}.\]

Ответ:

\(\dfrac2{3\sqrt[4]3}\)

Задание 15

Решите систему \[\begin{cases} \log_{5-x}\dfrac{x+4}{(x-5)^{10}}\geqslant -10\\[3ex] x^3+8x^2+\dfrac{50x^2+x-7}{x-7}\leqslant 1 \end{cases}\]

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ: \[\begin{cases} 5-x>0\\ 5-x\ne 1\\ \dfrac{x+4}{(x-5)^{10}}>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x<5\\ x\ne 4\\ x\in (-4;5)\cup(5;+\infty) \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-4;4)\cup(4;5)\] На ОДЗ данное неравенство равносильно: \[\log_{5-x}\dfrac{x+4}{(x-5)^{10}}+\log_{5-x}(5-x)^{10}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \log_{5-x}\dfrac{(x+4)(5-x)^{10}}{(x-5)^{10}}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{5-x}(x+4)\geqslant 0\] Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно: \[(5-x-1)(x+4-1)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in [-3;4]\] Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: \[x\in [-3;4).\]

2) Второе неравенство: приведем все к общему знаменателю \[\begin{aligned} &\dfrac{x^4+8x^3-7x^3-56x^2+50x^2+x-7-x+7}{x-7}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[3ex] \Leftrightarrow\quad & \dfrac{x^2(x+3)(x-2)}{x-7}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-3]\cup\{0\}\cup[2;7).\end{aligned}\]

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ \(x\in \{-3;0\}\cup[2;4).\)

Ответ:

\(\{-3;0\}\cup[2;4)\)

Задание 16

Диагональ \(AC\) разбивает трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\), из которых \(AD\) большее, на два подобных треугольника.

 

а) Докажите, что \(\angle ABC=\angle ACD\).

б) Найдите отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, если известно, что \(BC=18\), \(AD=50\), \(\cos\angle CAD=\frac35\).

 

(ЕГЭ 2014, резервный день)

а) Углы \(\angle CAD\) и \(\angle BCA\) равны как накрест лежащие. Следовательно, т.к. \(\triangle ABC\sim \triangle ACD\), то \(\angle ABC\) равен либо \(\angle ACD\), либо \(\angle ADC\).
Пусть \(\angle ABC=\angle ADC\), тогда \(\angle BAC=\angle ACD\) — накрест лежащие углы при \(AB\) и \(CD\) и секущей \(AC\). То есть \(AB\parallel CD\), что невозможно, т.к. тогда \(ABCD\) – параллелограмм, а не трапеция.
Следовательно, \(\angle ABC=\angle ACD\), чтд.


 

б) Используем условие того, что \(\triangle ABC\sim \triangle ACD\):

\[\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{BC}{AC}\quad \Rightarrow\quad AC^2=AD\cdot BC \quad \Rightarrow \quad AC=30.\]

 

Заметим, что \(\triangle AOM\sim \triangle CON\) с коэффициентом \(\frac{25}9\). Значит, если обозначить \(OC\) за \(k\), то \(AO=\frac{25}9k\). Следовательно, \[AO+OC=\dfrac{34}9k=30 \quad \Rightarrow \quad k=OC=\dfrac{9\cdot 15}{17}.\]

Найдем по теореме косинусов (из условия \(\cos\angle OCN=\cos\angle CAD=\frac35\)) из \(\triangle CON\) \[ON^2=9^2+\left(\dfrac{9\cdot 15}{17}\right)^2- 2\cdot 9\cdot \dfrac{9\cdot 15}{17}\cdot \dfrac35 \quad \Rightarrow \quad ON=\dfrac{9\cdot 4}{17}\cdot \sqrt{13}.\]

Значит, вследствие подобия \[OM=\dfrac{25}9\cdot ON=\dfrac{25\cdot 4}{17}\cdot \sqrt{13}.\]

Таким образом, \[MN=ON+OM=8\sqrt{13}.\]

Ответ:

\(8\sqrt{13}\)

Задание 17

На какое максимальное количество лет нужно выдать кредит, который будет выплачиваться дифференцированными платежами, чтобы наибольший годовой платеж превышал наименьший годовой платеж не более чем на \(30\%\)? Годовая процентная ставка по кредиту равна \(10\%\).

Т.к. кредит выплачивается дифференцированными платежами, то первый платеж будет наибольшим, а последний - наименьшим. Действительно, если кредит взят на \(A\) рублей сроком на \(n\) лет под \(10\%\) годовых, то каждый год после платежа долг должен уменьшаться на \(\frac1nA\) по сравнению с долгом до начисления процентов (определение дифференцированного платежа): после первого платежа он станет равен \(A-\frac1nA=\frac{n-1}nA\), после второго – \(\frac{n-2}nA\) и т.д. Это значит, что каждый платеж состоит из двух частей: первая часть состоит из процентов, начисленных на долг в текущем году, а вторая часть всегда одинакова (это \(\frac1n A\)). А так как долг с каждым годом становится меньше, то первая часть платежа также становится меньше.

В первый год долг равен \(A\), то есть первый платеж равен \(x_1=\frac 1nA +0,1A\).
В последний год долг равен \(\frac1nA\), следовательно, последний платеж равен \(x_n=\frac 1nA+0,1\cdot \frac1nA\).

 

По условию наибольший платеж должен превышать не более чем на \(30\%\) наименьший платеж, то есть должен составлять не более \(130\%\) от наименьшего, следовательно: \[x_1\leqslant 1,3x_n \quad\Rightarrow\quad \dfrac1nA+0,1A\leqslant 1,3\cdot\left(\dfrac1nA+0,1\cdot \dfrac1nA\right)\quad\Leftrightarrow\quad n\leqslant 4,3.\]

Так как \(n\) – количество лет, то есть целое число, то \(n=4\).

Ответ: 4

Задание 18

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[\left(\log_8(x+a)-\log_8(x-a)\right)^2-12a\left(\log_8(x+a)-\log_8(x-a)\right) +35a^2-6a-9=0\]

имеет два различных решения.

1) Сделаем замену: \(t=\log_8(x+a)-\log_8(x-a)\), тогда уравнение примет вид \[t^2-12at+35a^2-6a-9=0\] Дискриминант данного уравнения равен \[D=4(a+3)^2\geqslant 0\]Следовательно, уравнение всегда имеет два (быть может, совпадающих) корня \[t_1=\dfrac{12a+2a+6}2=7a+3\qquad\text{и}\qquad t_2=\dfrac{12a-2a-6}2=5a-3.\]

2) Запишем ответ для \(x\) в общем виде. Пусть \(b\) – корень уравнения \(t^2-12at+35a^2-6a-9=0\). Тогда, сделав обратную замену, получаем \[\log_8(x+a)-\log_8(x-a)=b\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \log_8\dfrac{x+a}{x-a}=b\\ x>a\\ x>-a\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left(8^b-1\right)x=a\left(8^b+1\right)\\ x>|a| \end{cases}\]

При \(b=0\) коэффициент \(8^b-1\) перед \(x\) равен нулю, следовательно, уравнение системы примет вид: \(0=2a\). Данное уравнение при \(a=0\) будет иметь бесконечно много решений, при \(a\ne 0\) не будет иметь решений. Следовательно, сама система в каждом случае (после пересечения решения уравнения с ОДЗ \(x>|a|\)) будет иметь либо бесконечное множество решений, либо не иметь решений.
Т.к. случай с бесконечным множеством решений нам не подходит (нам нужно два решения), то \(a\) точно не равно нулю.

 

Таким образом, мы видим, что при каждом фиксированном \(b\) мы получаем либо одно решение для \(x\) (если \(b\ne 0\)): \[x=a\cdot \dfrac{8^b+1}{8^b-1},\] либо ни одного решения для \(x\) (если \(b=0, a\ne 0\)).
Отсюда можно сделать вывод, что для того, чтобы исходное уравнение имело два решения, нужно, чтобы \(t_1\ne t_2 \quad \text{и}\quad t_1\ne 0,t_2\ne 0\):\[7a+3\ne 5a-3, \ 7a+3\ne 0, 5a-3\ne 0 \quad\Leftrightarrow\quad a\ne -3;\ -\dfrac37; \ \dfrac35,\] а также, чтобы полученные корни для \(x\) удовлетворяли ОДЗ \(x>|a|\).

3) Найдем в общем виде условия, при которых корень \(x=a\cdot\dfrac{8^b+1}{8^b-1}\) удовлетворяет ОДЗ \(x>|a|\). \[a\cdot \dfrac{8^b+1}{8^b-1}>|a| \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases}a> 0\\ \dfrac{8^b+1}{8^b-1}>1\end{cases}\\ &\begin{cases} a<0\\ \dfrac{8^b+1}{8^b-1}<-1\end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases}a> 0\\ b>0\end{cases}\\ &\begin{cases} a<0\\ b<0\end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

4) Подставим наши корни \(t_1=7a+3\) и \(t_2=5a-3\) вместо \(b\):

\[\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases}a> 0\\ 7a+3>0\end{cases}\\ &\begin{cases} a<0\\ 7a+3<0\end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\quad\Leftrightarrow\quad a\in \left(-\infty;-\frac37\right)\cup(0;+\infty)\] и \[\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases}a> 0\\ 5a-3>0\end{cases}\\ &\begin{cases} a<0\\ 5a-3<0\end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\quad\Leftrightarrow\quad a\in (-\infty;0)\cup\left(\frac35;+\infty\right).\]

Пересекая данные решения между собой и с \(a\ne -3;\ -\frac37; \ \frac35\) (найденные во 2-ом пункте), получим окончательный ответ \[a\in (-\infty;-3)\cup\left(-3;-\frac37\right)\cup\left(\frac35;+\infty\right).\]

Ответ:

\(a\in (-\infty;-3)\cup\left(-3;-\frac37\right)\cup\left(\frac35;+\infty\right)\)

Задание 19

Последовательность \(a_1, a_2, ..., a_n\) \((n\geqslant 3)\) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.

а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 60.

б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при \(n = 8\)?

а) Рассмотрим последовательность из одинаковых чисел, сумма которых 60:
\(12, 12, 12, 12, 12\). Изменим её так, чтобы выполнялось условие задачи. Это можно сделать, например, забрав по 2 у крайних членов (всего отняли 4) и прибавив к среднему члену 2, а к оставшимся по 1: \(10, 13, 14, 13, 10\).

б) Решение пункта а) подходит в данном случае.

в) Заметим, что если \[a_i > \dfrac{a_{i-1} + a_{i + 1}}{2},\] то и \[(a_i + 1) > \dfrac{(a_{i-1} + 1) + (a_{i+1} + 1)}{2},\] и \[(a_i - 1) > \dfrac{(a_{i-1} - 1) + (a_{i+1} - 1)}{2}.\]

Изменим условие задачи, разрешив \(a_i\) быть равными \(0\).

Решение исходной задачи получается из решения изменённой: в самом деле, если в изменённой задаче минимум суммы достигается на последовательности \(b_1, ..., b_8\), то минимум суммы в исходной задаче достигается на последовательности \(b_1 + 1, ..., b_8 + 1\) (если бы это было не так и была бы последовательность \(c_1, ..., c_8\), подходящая по исходному условию, но с суммой членов, меньшей, чем у \(b_1 + 1, ..., b_8 + 1\), то последовательность \(c_1 - 1, ..., c_8 - 1\) подходила бы по изменённому условию, но сумма её членов была бы меньше, чем у \(b_1, ..., b_8\)).

Ясно, что для того, чтобы каждое из \(a_2, ..., a_7\) было больше среднего арифметического соседей, необходимо, чтобы рядом с каждым из них нашёлся меньший сосед. Отсюда следует, что среди \(a_2, ..., a_7\) нет равных 0.

Пусть на последовательности \(a_1, ..., a_8\) достигается минимум суммы.

Покажем, что \(a_1 = 0 = a_8\). Если бы это было не так, то можно было бы положить их равными 0 и получить последовательность, подходящую по новому условию, но с меньшей суммой – противоречие.

Так как среди \(a_2, ..., a_7\) нет равных 0, то среди \(a_3, ..., a_6\) нет равных 1 (иначе у 1 не будет меньшего соседа). При этом если \(a_2 = 1\), то \(a_3\) должно быть меньше 2, но среди \(a_3, ..., a_6\) нет 0 и 1, то есть такого быть не может. Для \(a_7\) аналогично. Итого: среди \(a_2, ..., a_7\) нет и равных 1.

Так как среди \(a_2, ..., a_7\) нет равных 1, то среди \(a_3, ..., a_6\) нет равных 2 (иначе у 2 не будет меньшего соседа). При этом если \(a_2 = 2\), то \(a_3\) должно быть не больше 3 и не может быть 0, 1 или 2, тогда \(a_3 = 3\), но тогда \(a_4\) не может быть 4 или больше, следовательно \(a_4 = 3\), но тогда \(a_5 < 3\), чего быть не может. Для \(a_7\) аналогично. Итого: среди \(a_2, ..., a_7\) нет и равных 2.

Так как среди \(a_2, ..., a_7\) нет равных 2, то среди \(a_3, ..., a_6\) нет равных 3 (иначе у 3 не будет меньшего соседа).

Среди \(a_3, ..., a_6\) не может быть и 4: иначе меньший сосед мог бы быть только у \(a_3\) и \(a_6\). Пусть \(a_3 = 4\), тогда \(a_4 < 5\), то есть \(a_4 = 4\), но тогда \(a_5 < 4\), чего быть не может. Для \(a_6\) аналогично.

Среди \(a_3, ..., a_6\) не может быть больше двух пятёрок (иначе среди \(a_4\) и \(a_5\) была хотя бы одна пятёрка, но у неё соседом должно было быть число, меньшее 5, чего быть не может).

Итак, искомая последовательность \[0, 3, 5, 6, 6, 5, 3, 0,\] сумма её членов равна 28. Тогда последовательность с наименьшей суммой среди подходящих под изначальное условие: \[1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1,\] её сумма равна 36.

Ответ:

а) \(10, 13, 14, 13, 10\).

б) Да.

в) \(36\).