Математика
Русский язык

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Теорема Безу

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите остаток от деления многочлена \(x^3 - 5\) на многочлен \(x - 5\).

Добавить задание в избранное

По теореме Безу остаток от деления многочлена \(P(x)\) на \(x - x_0\) равен \(P(x_0)\), следовательно, остаток от деления многочлена \(x^{3} - 5\) на \(x - 5\) равен \[5^3 - 5 = 120\,.\]

Ответ: 120

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите остаток от деления многочлена \(x^{216} + x^{36} + x^{6} - 6\) на многочлен \(x + 1\).

Добавить задание в избранное

По теореме Безу остаток от деления многочлена \(P(x)\) на \(x - x_0\) равен \(P(x_0)\), следовательно, остаток от деления многочлена \(x^{216} + x^{36} + x^{6} - 6\) на \(x + 1\) равен \[(-1)^{216} + (-1)^{36} + (-1)^{6} - 6 = -3\,.\]

Ответ: -3

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

При каких значениях параметра \(a\) многочлен \(P(x) = x^{2017} + ax - 5\) делится на многочлен \(x + 1\)?

Добавить задание в избранное

По теореме Безу остаток от деления многочлена \(P(x)\) на \(x - x_0\) равен \(P(x_0)\), следовательно, остаток от деления многочлена \(P(x) = x^{2017} + ax - 5\) на \(x + 1\) равен \[P(-1) = (-1)^{2017} - a - 5 = -a - 6\,.\]

По условию требовалось найти \(a\), при которых многочлен \(P(x) = x^{2017} + ax - 5\) делится на многочлен \(x + 1\), то есть остаток от деления должен быть равен \(0\): \[-a - 6 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad a = -6\,.\]

Таким образом, ответ \(a = -6\).

Ответ: -6

Задание 4
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Виталий утверждает, что какими бы ни были три различных числа \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), достаточно знать остатки от деления многочлена второй степени \(P_2(x)\) на многочлены \(x - x_1\), \(x - x_2\), \(x - x_3\), чтобы этим условием \(P_2(x)\) определялся однозначно. Прав ли он?

Добавить задание в избранное

По теореме Безу остаток от деления многочлена \(P(x)\) на \(x - x_0\) равен \(P(x_0)\), следовательно, если мы знаем остатки от деления \(P_2(x)\) на \(x - x_1\), \(x - x_2\), \(x - x_3\), то мы знаем \(P_2(x_1)\), \(P_2(x_2)\), \(P_2(x_3)\).

Допустим, что Виталий не прав, тогда существует по меньшей мере два многочлена второй степени \(P(x)\) и \(Q(x)\), такие, что \(P(x_1) = Q(x_1)\), \(P(x_2) = Q(x_2)\), \(P(x_3) = Q(x_3)\), но \(P(x)\) и \(Q(x)\) – многочлены второй степени, причём для \(i = 1, 2, 3\) должно быть выполнено \[P(x_i) = Q(x_i) \qquad\Leftrightarrow\qquad P(x_i) - Q(x_i) = 0\,,\] но \(R(x) = P(x) - Q(x)\) – многочлен, степень которого не выше \(2\), следовательно, он может иметь три корня только в случае \(R(x) = 0\), то есть при \(P(x) = Q(x)\), следовательно, наше предположение неверно и Виталий прав.

Ответ:

Да

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Известно, что \(P(x)\) – многочлен.

а) Верно ли, что при любом \(a\in\mathbb{R}\) многочлен \(P(x) - P(a)\) делится без остатка на \((x - a)\)?

б) Может ли быть так, что при любом \(a\in\mathbb{R}\) многочлен \(P(x) - P(a)\) делится без остатка на \((x + a)\)?

Добавить задание в избранное

а) Зафиксируем произвольное \(a\in\mathbb{R}\). По теореме Безу остаток от деления многочлена \(P(x)\) на \(x - a\) равен \(P(a)\), следовательно, существует многочлен \(Q(x)\) такой, что \[P(x) = (x - a)Q(x) + P(a)\qquad\Leftrightarrow\qquad P(x) - P(a) = (x - a)Q(x)\] – делится на \((x - a)\).

б) Достаточно рассмотреть \(P(x) = x^2\), тогда \[P(x) - P(a) = x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)\] – делится на \((x + a)\).

Ответ:

а) Да

б) Да

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Все коэффициенты многочлена \(P(x)\) – целые числа. Известно, что \(P(-1) = -1\) и \(P(n) = 0\) при некотором \(n\in\mathbb{Z}\).

а) Приведите пример многочлена \(P(x)\), подходящего по условию, чтобы его степень была равна \(2016\).

б) Найдите \(P(0)\cdot P(-2)\) для каждого подходящего по условию \(P(x)\).

Добавить задание в избранное

а) Подходит, например, \(P(x) = x^{2016} + 2x\): \[P(-1) = -1\qquad\qquad P(0) = 0\,.\]

б) Зафиксируем произвольный подходящий по условию \(P(x)\). По теореме Безу остаток от деления многочлена \(P(x)\) на \(x - x_0\) равен \(P(x_0)\), следовательно, существует многочлен \(Q(x)\), такой что \[P(x) = (x + 1)Q(x) - 1\,.\]

Покажем, что у \(Q(x)\) все коэффициенты также целые числа:
пусть \[Q(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_1x + a_0\,,\] тогда

\[\begin{aligned} &P(x) = (x + 1)(a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_1x + a_0) - 1 = \\ & = a_nx^{n + 1} + (a_n + a_{n-1})x^{n} + (a_{n-1} + a_{n-2})x^{n-1} + ... + (a_1 + a_0)x + a_0 - 1\,. \end{aligned}\]

Так как \((a_0 - 1)\in\mathbb{Z}\), то \(a_0\in\mathbb{Z}\). Так как \((a_1 + a_0)\in\mathbb{Z}\) и \(a_0\in\mathbb{Z}\), то \(a_1 \in\mathbb{Z}\) и т.д. Таким образом, у \(Q(x)\) все коэффициенты – целые числа. \[P(n) = (n + 1)Q(n) - 1 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad Q(n) = \dfrac{1}{n + 1}\,.\] Так как у \(Q(x)\) все коэффициенты – целые числа, то и число \(Q(n) = \dfrac{1}{n + 1}\) – целое, тогда либо \(n = 0\), либо \(n = -2\).

Так как \(P(n) = 0\), а мы показали, что это возможно только при \(n = 0\) либо при \(n = -2\), то в произведении \(P(0)\cdot P(-2)\) хотя бы один из множителей равен нулю (а второй не теряет смысла, так как \(P(x)\) определён при любых \(x\)), тогда \[P(0)\cdot P(-2) = 0\,.\]

Ответ:

а) \(x^{2016} + 2x\)

б) \(0\)