Математика
Русский язык

Тренировочные варианты "Школково". Уровень Максим Олегович

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Уровень Максим Олегович. Тренировочный вариант №1

Задание 1

Температура замерзания воды в нормальных условиях составляет \(0^\circ C = 0^\circ N\), где \(^\circ C\) – градус Цельсия, \(^\circ N\) – градус Ньютона. Температура кипения воды в нормальных условиях составляет \(100^\circ C = 33^\circ N\). Сколько градусов Ньютона составляет температура \(-273^\circ C\), если зависимость количества градусов Цельсия от количества градусов Ньютона – линейная? Ответ округлите до целых.

Пусть \(c^\circ C = n^\circ N\). Так как зависимость линейная, то \(n = k\cdot c + a\), где \(k, \ a\) – неизвестные коэффициенты. Тогда \(c^\circ C = (k\cdot c + a)^\circ N\).

Так как \(0^\circ C = 0^\circ N\), то при \(c = 0\) должно быть \(n = 0\), откуда \(a = 0\).

Так как \(100^\circ C = 33^\circ N\), то при \(c = 100\) должно быть \(n = 33\), откуда \(k = \dfrac{33}{100}\). В итоге \(n = \dfrac{33}{100}c\), откуда находим, что при \(c = -273\): \(n = \dfrac{33}{100}\cdot(-273) = -90,09\). После округления получим \(-90\).

Ответ: -90

Задание 2

На графике изображена зависимость температуры газа от времени, отсчитываемого с момента начала его нагревания. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат – температура в градусах Цельсия. Давление \(P\) этого газа (в паскалях) выражается формулой \(P = 0,4 \cdot T\), где \(T\) – температура в градусах Цельсия. Какое наименьшее значение должно принять давление (в Па), чтобы можно было утверждать, что с начала нагревания газа прошло от \(3\) до \(4\) минут?



Для данного газа давление возрастает с ростом температуры, следовательно, необходимо найти на временном отрезке от \(3\) до \(4\) минут наименьшее значение температуры. Это значение достигается через \(3\) минуты после начала нагревания и равно \(35 C^0\). При этом давление станет \(0,4 \cdot 35 = 14\, Па\).

Ответ: 14

Задание 3

В трапеции \(ABCD\) средняя линия составляет \(\dfrac{4}{5}\) одного из оснований. Найдите отношение длины другого основания к длине средней линии.



Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Полусумма оснований трапеции \(ABCD\) составляет \(0,8\) одного из оснований, тогда сумма оснований трапеции \(ABCD\) составляет \(2\cdot 0,8 = 1,6\) этого основания, обозначим его за \(AD\). Тогда \(BC + AD = 1,6AD\), откуда \(BC = 0,6AD\). Средняя линия равна \(0,8AD\), тогда отношение длины основания \(BC\) к длине средней линии равно \(0,6 : 0,8 = 0,75\).

Ответ: 0,75

Задание 4

Монетку подбросили \(10\) раз. Какова вероятность того, что выпало не менее \(9\) орлов? Ответ округлите до тысячных.

Условие того, что выпало не менее \(9\) орлов эквивалентно тому, что выпало не более \(1\) решки, то есть либо ровно \(1\) решка, либо \(0\) решек.

Количество всевозможных различных исходов в серии из \(10\) испытаний равно \(2^{10} = 1024\).

Среди них есть \(11\) исходов, подходящих под условие: (Орёл; Орёл; ...; Орёл), (Орёл; Орёл; ...; Орёл; Решка), (Орёл; Орёл; ...; Решка; Орёл), ..., (Решка; Орёл; ...; Орёл), следовательно, искомая вероятность равна \[\dfrac{11}{1024}.\] После округления получим \(0,011\).

Ответ: 0,011

Задание 5

Найдите корень уравнения \[\sin{\biggl(\dfrac{\pi\sqrt{\pi}}{22} x\biggr)} = \sin{\biggl(\dfrac{-0,1\pi\sqrt{\pi}}{22}\biggr)}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его не положительных корней.

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\sin x = a\) имеет вид: \(x_1 = \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, \ x_2 = \pi - \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi\sqrt{\pi}}{22} x_1 = \dfrac{-0,1\pi\sqrt{\pi}}{22} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, \qquad\dfrac{\pi\sqrt{\pi}}{22} x_2 = \pi - \dfrac{-0,1\pi\sqrt{\pi}}{22} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \[x_1 = -0,1 + \dfrac{44}{\sqrt{\pi}} n, n \in \mathbb{Z},\qquad x_2 = \dfrac{22}{\sqrt{\pi}} + 0,1 + \dfrac{44}{\sqrt{\pi}} n, n \in \mathbb{Z}\] – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший не положительный \(x = -0,1\).

Ответ: -0,1

Задание 6

Сторона \(AB\) треугольника \(ABC\) равна \(\sqrt{3}\), его периметр \(P = \dfrac{10}{2\sqrt{3} - \sqrt{2}}\), а его площадь равна \(0,5\sqrt{5}\), причём \(AC\cdot BC = \sqrt{6}\). Найдите \((BC + AC)\cdot(\sqrt{3} - \sqrt{2})\).





\[P = \dfrac{10}{2\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \dfrac{(2\sqrt{3} + \sqrt{2})(2\sqrt{3} - \sqrt{2})}{2\sqrt{3} - \sqrt{2}} = 2\sqrt{3} + \sqrt{2}.\] По формуле Герона \(S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)}\), где \(p\) – полупериметр треугольника \(ABC\), \(p = \sqrt{3} + 0,5\sqrt{2}\), тогда \[S_{\triangle ABC}^2 = p(p - AB)(p - BC)(p - AC) \qquad\Rightarrow\]

\[\Rightarrow \qquad\dfrac{S_{\triangle ABC}^2}{p(p - AB)} = (p - BC)(p - AC) = p^2 - p(AC + BC) + AC\cdot BC,\] откуда

\(\begin{multline*} \dfrac{1,25}{(\sqrt{3} + 0,5\sqrt{2})\cdot 0,5\sqrt{2}} = 3,5 + \sqrt{6} - (\sqrt{3} + 0,5\sqrt{2})(AC + BC) + \sqrt{6},\\[4pt] AC + BC = \dfrac{3,5 + 2\sqrt{6}}{\sqrt{3} + 0,5\sqrt{2}} - \dfrac{2,5}{(\sqrt{3} + 0,5\sqrt{2})^2\cdot\sqrt{2}} =\\[4pt] = \dfrac{(3,5 + 2\sqrt{6})(\sqrt{3} + 0,5\sqrt{2})\sqrt{2}}{(\sqrt{3} + 0,5\sqrt{2})^2\sqrt{2}} - \dfrac{2,5}{(\sqrt{3} + 0,5\sqrt{2})^2\cdot\sqrt{2}} =\\[4pt] = \dfrac{(3,5 + 2\sqrt{6})(\sqrt{3} + 0,5\sqrt{2})\sqrt{2}}{(\sqrt{3} + 0,5\sqrt{2})^2\sqrt{2}} - \dfrac{2,5}{(\sqrt{3} + 0,5\sqrt{2})^2\cdot\sqrt{2}} = \dfrac{5,5\sqrt{6} + 13}{3,5\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}.\\[4pt] (AC + BC)\cdot(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \dfrac{(5,5\sqrt{6} + 13)(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{3,5\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} = \dfrac{3,5\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{3,5\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} = 1 \end{multline*}\)

Ответ: 1

Задание 7

На рисунке изображён график функции \(y = F(x)\) – одной из первообразных некоторой функции \(y = f(x)\), определённой на интервале \((0,5; 8,5)\). Определите по рисунку количество решений уравнения \(f(x) = 0\) на отрезке \([2,5; 5,5]\).

По определению первообразной \(f(x) = F'(x)\), тогда уравнение \(f(x) = 0\) равносильно \(F'(x) = 0\). Производная функции равна \(0\) в точности в тех точках, где касательная к её графику параллельна оси \(Ox\).

По рисунку видно, что на отрезке \([2,5; 5,5]\) касательная к графику \(y = F(x)\) параллельна оси \(Ox\) в \(2\) точках (в точках с абсциссами \(x = 4\), \(x = 5\)).

Ответ: 2

Задание 8

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – прямоугольный параллелепипед, площадь полной поверхности которого равна 12. Найдите разность между площадью квадрата со стороной \(AA_1 + A_1D_1 + D_1C_1\) и суммой площадей квадратов со сторонами \(AA_1\), \(A_1D_1\), \(D_1C_1\).




 

Обозначим \(AA_1 = a\), \(A_1D_1 = b\), \(D_1C_1 = c\), тогда площадь полной поверхности \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равна \[S_{\text{полн}} = 2ab + 2ac + 2bc.\] Площадь квадрата со стороной \(a + b + c\) равна \((a + b + c)^2\), сумма площадей квадратов со сторонами \(a\), \(b\), \(c\) равна \(a^2 + b^2 + c^2\), тогда искомая величина равна

\[\begin{aligned} (a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2) &= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc - (a^2 + b^2 + c^2) =\\ &= 2ab + 2ac + 2bc = S_{\text{полн}} = 12. \end{aligned}\]

Ответ: 12

Задание 9

Найдите значение выражения \(\dfrac{15\cos{\sqrt{5}^\circ}}{\sin{(-\sqrt{5}^\circ + 90^\circ)}}\).

Используя формулу приведения \(\sin(90^\circ \pm \alpha) = \cos \alpha\), исходное выражение можно преобразовать следующим образом: \[\dfrac{15\cos{\sqrt{5}^\circ}}{\sin{(-\sqrt{5}^\circ + 90^\circ)}} = \dfrac{15\cos{\sqrt{5}^\circ}}{\sin{(90^{\circ} -\sqrt{5}^\circ)}} = \dfrac{15\cos{\sqrt{5}^\circ}}{\cos{\sqrt{5}^\circ}} = 15.\]

Ответ: 15

Задание 10

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \[m(t) = m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}},\] где \(m_0\) – начальная масса изотопа в мг, \(t\) – время в годах, прошедшее от начального момента, \(T\) – период полураспада (в годах). В начальный момент времени масса изотопа \(m_0 = 100\, мг\). Период его полураспада \(T = 400\) лет. Через какое наименьшее количество лет масса изотопа станет не более, чем \(25\, мг\)?

Количество лет, через которое масса изотопа станет не более, чем \(25\, мг\), удовлетворяет соотношению \[m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}} = m(t) \leqslant 25,\] откуда \[100\cdot 2^{-\frac{t}{400}} \leqslant 25\ \Leftrightarrow\ 2^{-\frac{t}{400}} \leqslant \dfrac{1}{4}\ \Leftrightarrow\ 2^{-\frac{t}{400}} \leqslant 2^{-2}\ \Leftrightarrow\ -\dfrac{t}{400} \leqslant -2\ \Leftrightarrow\ \dfrac{t}{400} \geqslant 2,\] откуда \(t \geqslant 800\), то есть минимум через \(800\) лет масса изотопа станет не более, чем \(25\, мг\).

Ответ: 800

Задание 11

Света ловит бабочек. Каждый день она ловит на одно и то же количество бабочек больше по сравнению с предыдущим днём. В первый день она поймала одну бабочку, а за \(15\) дней в сумме она поймала \(120\) бабочек. Сколько бабочек поймала Света в восьмой день?

Последовательность количеств бабочек, пойманных за первый, второй и т.д. дни соответственно, представляет собой арифметическую прогрессию, сумма первых \(15\) элементов которой равна \(120\).

Формула для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}n,\] где \(a_1, \ a_n\) – первый и \(n\)-ый члены арифметической прогрессии соответственно. При этом по условию \(n = 15, \ S_{15} = 120\), откуда находим \(a_1 + a_{15} = 16\).

Так как в первый день Света поймала \(1\) бабочку, то \(a_1 = 1\), следовательно, \(a_{15} = 15\).

При этом \(a_{15} = 14d + a_1\), где \(d\) – разница в количествах бабочек, пойманных Светой во второй и первый дни, откуда находим \(d = 1\). В восьмой день она поймала \(1 + 7\cdot 1 = 8\) бабочек.

Ответ: 8

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции \(y = 13\cdot\dfrac{x^2 + 3x + 6}{x + 1}\) на отрезке \([0; 12]\).

ОДЗ: \(x \neq -1\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = 13 \dfrac{(2x + 3)(x + 1) - (x^2 + 3x + 6)}{(x + 1)^2} = 13 \dfrac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2}.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[13 \dfrac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + 2x - 3 = 0\] – на ОДЗ, откуда находим корни \(x_1 = 1,\ x_2 = -3\). Производная функции \(y\) не существует при \(x = -1\), но \(x = -1\) не входит в ОДЗ. Таким образом, \[y' = 13\dfrac{(x - 1)(x+3)}{(x+1)^2}.\] Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([0; 12]\):



4) Эскиз графика на отрезке \([0; 12]\):



Таким образом, наибольшее на \([0; 12]\) значение функция достигает в \(x = 0\) или в \(x = 12\). Сравним эти значения:

\(y(0) = 13\cdot \dfrac{6}{1} = 78\),

\(y(12) = 13\cdot \dfrac{186}{13} = 186\).

Итого: \(186\) – наибольшее значение функции \(y\) на \([0; 12]\).

Ответ: 186

Задание 13

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} 2\cos^2x + 2\sin(2x) = 3\sin^2 (2x) + 3\cos^2 (2x). \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{3\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное.
По основному тригонометрическому тождеству:
\(2\cos^2x + 2\sin(2x) = 3\).
\(2\cos^2x + 2\sin(2x) = 3\sin^2x + 3\cos^2x\).
\(2\cos^2x + 4\sin x\cdot\cos x = 3\sin^2x + 3\cos^2x\).
\(-\cos^2x + 4\sin x\cdot\cos x - 3\sin^2x = 0\).
Проверим, что \(\cos x\neq 0\): если \(\cos x = 0\), то \(-3\sin^2x = 0\), но в силу основного тригонометрического тождества \(\sin x\) и \(\cos x\) не могут быть равны 0 одновременно.
Тогда на \(\cos^2x\) можно поделить:
\(-1 + 4\mathrm{tg}\, x - 3\mathrm{tg}^2\, x = 0\).
Сделаем замену: \(t = \mathrm{tg}\, x\)
\(-1 + 4t - 3t^2 = 0\).
\(t_1 = 1\), \(t_2 = \dfrac{1}{3}\).
\(\mathrm{tg}\, x = 1\), \(\mathrm{tg}\, x = \dfrac{1}{3}\).
1) \(\mathrm{tg}\, x = 1\), откуда \(x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, k\in\mathbb{Z}\).
2) \(\mathrm{tg}\, x = \dfrac{1}{3}\), откуда \(x = \mathrm{arctg}\,\dfrac{1}{3} + \pi n, n\in\mathbb{Z}\).
Окончательно: \(x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, k\in\mathbb{Z}\), \(x = \mathrm{arctg}\,\dfrac{1}{3} + \pi n, n\in\mathbb{Z}\).

б) Рассмотрим сначала \(-\dfrac{3\pi}{2} \leqslant \dfrac{\pi}{4} + \pi k \leqslant \dfrac{\pi}{2}\), что равносильно \(-\dfrac{7}{4} \leqslant k \leqslant \dfrac{1}{4}\), то есть подходят \(x\) при \(k = -1\) и \(k = 0\): \(x = -\dfrac{3\pi}{4}\), \(x = \dfrac{\pi}{4}\).

Рассмотрим наконец \(-\dfrac{3\pi}{2} \leqslant \mathrm{arctg}\, \dfrac{1}{3} + \pi n \leqslant \dfrac{\pi}{2}\). Так как \(0 < \dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{\sqrt{3}}\), то \(\mathrm{arctg}\, 0< \mathrm{arctg}\,\dfrac{1}{3} < \mathrm{arctg}\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\), откуда \(0 < \mathrm{arctg}\,\dfrac{1}{3} < \dfrac{\pi}{6}\). Таким образом, \(0 < \dfrac{\mathrm{arctg}\,\frac{1}{3}}{\pi} < \dfrac{1}{6}\). Обозначим \(\dfrac{\mathrm{arctg}\,\frac{1}{3}}{\pi} = A\).
Теперь \(-\dfrac{3}{2} - A \leqslant n \leqslant \dfrac{1}{2} - A\), то есть подходят \(x\) при \(n = -1\) и \(n = 0\): \(x = \mathrm{arctg}\,\dfrac{1}{3} - \pi\) и \(x = \mathrm{arctg}\,\dfrac{1}{3}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{4} + \pi k, k\in\mathbb{Z}\), \(\mathrm{arctg}\, \dfrac{1}{3} + \pi n, n\in\mathbb{Z}\).

б) \(-\dfrac{3\pi}{4}\), \(\dfrac{\pi}{4}\), \(\mathrm{arctg}\, \dfrac{1}{3} - \pi\), \(\mathrm{arctg}\,\dfrac{1}{3}\).

Задание 14

\(ABCD\) – правильный тетраэдр с ребром \(24\). \(M, N, K\) – такие точки на ребрах \(AB, AD, CD\) соответственно, что \(DN=2NA=CK=BM\). \(BL\) – биссектриса треугольника \(ABC\).

 

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью \(MNK\).

б) Найдите расстояние от точки \(L\) до плоскости \(MNK\), если угол между плоскостями \(MNK\) и \(ABC\) равен \(30^\circ\).

а) По условию \(ABCD\) представляет собой правильную треугольную пирамиду, все ребра которой равны \(24\). Построим сечение пирамиды плоскостью \(MNK\). Продлим прямую \(NK\) до пересечения с прямой \(AC\) – получим точку \(Q\). Соединив точки \(Q\) и \(M\), получим линию пересечения основания – отрезок \(MT\). Таким образом, сечением является четырехугольник \(MNKT\).


 

б) Проведем \(LH\perp MNK\) и \(LS\perp MT\). По теореме о трех перпендикулярах \(HS\perp MT\). Тогда \(\triangle LHS\) – прямоугольный, причем \(\angle LSH\) и есть угол между плоскостями \(MNK\) и \(ABC\). Таким образом, т.к. \(\angle LSH=30^\circ \Rightarrow LH=\dfrac{1}{2}LS\). Найдем \(LS\).

 

По теореме Менелая для \(\triangle ADC\) и прямой \(QK\) имеем:

 

\(\dfrac{AN}{ND}\cdot \dfrac{DK}{KC}\cdot \dfrac{CQ}{QA}=1 \Rightarrow QA=8\)

 

Т.к. \(QA=AM\) и \(\angle CAB=60^\circ \Rightarrow \angle AQM=30^\circ \Rightarrow LS=\dfrac{1}{2}QL=10 \Rightarrow LH=5\).

Ответ:

б) \(5\).

Задание 15

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{\ln(x^2 + 1)\cdot(\log_2^2 4x + \log_2 4x - \log_2 4)}{(3^x - 2)\ln x}\leqslant 0 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x^2 + 1 > 0\\ 4x > 0\\ 3^x - 2\neq 0\\ x > 0\\ x\neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x\neq \log_3 2\\ x > 0\\ x\neq 1 \end{cases} \end{aligned}\]

На ОДЗ \(x^2 + 1 > 1\), следовательно, \(\ln(x^2 + 1) > 0\), тогда исходное неравенство на ОДЗ равносильно

\[\begin{aligned} \dfrac{\log_2^2 4x + \log_2 4x - \log_2 4}{(3^x - 2)\ln x}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Найдём нули числителя:

\[\begin{aligned} \log_2^2 4x + \log_2 4x - \log_2 4 = 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(\log_2 4x = t\):

\[\begin{aligned} t^2 + t - 2 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t = \dfrac{-1\pm 3}{2} \end{aligned}\]

\(\bullet\) \(\log_2 4x = -2\qquad\Leftrightarrow\qquad\log_2 4x = \log_2 0,25\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x = 0,25\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac{1}{16}\)
\(\bullet\) \(\log_2 4x = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad\log_2 4x = \log_2 2\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x = 2\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac{1}{2}\)

 

Найдём нули знаменателя:
1) \[3^x - 2 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 3^x = 3^{\log_3 2}\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \log_3 2\] 2) \[\ln x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\ln x = \ln 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1\]

По методу интервалов:



откуда \(x\in\left[\dfrac{1}{16}; \dfrac{1}{2}\right]\cup(\log_3 2 ; 1)\)
пересечём ответ с ОДЗ: \[x\in\left[\dfrac{1}{16}; \dfrac{1}{2}\right]\cup(\log_3 2 ; 1)\,.\]

Ответ:

\(\left[0,0625; 0,5\right]\cup(\log_3 2 ; 1)\)

Задание 16

Серединные перпендикуляры к сторонам \(AB\) и \(CD\) четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются на стороне \(AD\), при этом \(\angle A = \angle D\).

а) Докажите, что основание биссектрисы угла \(\angle ADB\) делит сторону \(AB\) в таком же отношении, что и основание биссектрисы угла \(\angle CAD\) делит сторону \(CD\).

б) Пусть \(\angle ADB = \alpha\), \(\angle CAD = \beta\), \(\rho(P; <QR>)\) означает расстояние от точки \(P\), до прямой, содержащей \(QR\). Найдите \(\dfrac{\rho(B; <AD>)}{\rho(C; <AD>)}\).

а) Пусть \(M\) и \(N\) – середины \(AB\) и \(CD\) соответственно, \(K\) – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам \(AB\) и \(CD\).

Из точки \(A\) на прямую, содержащую \(CD\), опустим перпендикуляр \(AC'\). Из точки \(D\) на прямую, содержащую \(AB\), опустим перпендикуляр \(DB'\).

Так как \(\angle A = \angle D\), то треугольники \(AB'D\) и \(AC'D\) равны по гипотенузе и острому углу, откуда \(C'D = AB'\). Обозначим \(C'D = h\). Возможны 2 случая:

1) отрезок \(BC\) пересекает \(B'C'\),

2) отрезок \(BC\) не пересекает \(B'C'\).

 

1) Пусть \(BB' = a\), \(CC' = b\) и \(AB' > AB\), тогда \(C'D < CD\).
\(AB = h - a\), \(CD = h + b\), откуда \[AM = \dfrac{h - a}{2},\qquad DN = \dfrac{h + b}{2}.\]

Треугольники \(AMK\) и \(AB'D\) подобны по двум углам, откуда \[\dfrac{h - a}{2h} = \dfrac{AK}{AD}\qquad\Rightarrow\qquad AK = \dfrac{h - a}{2h}AD.\]

Аналогично из подобия треугольников \(KND\) и \(AC'D\) получаем \(DK = \dfrac{h + b}{2h}AD\).

Так как \(AK + KD = AD\), то \[AD = \dfrac{h - a}{2h}AD + \dfrac{h + b}{2h}AD,\] откуда \[-a + b = 0\qquad\Rightarrow\qquad a = b.\]

 

Так как треугольники \(AB'D\) и \(AC'D\) равны (по гипотенузе и острому углу), то \(B'D = A'C\). Так как \(BB' = CC'\), то прямоугольные треугольники \(BB'D\) и \(ACC'\) равны (по двум катетам), следовательно, \(AC = BD\).

 

2) Аналогично первому случаю, только в итоге получим \[AD = \dfrac{h - a}{2h}AD + \dfrac{h - b}{2h}AD\] или \[AD = \dfrac{h + a}{2h}AD + \dfrac{h + b}{2h}AD.\] В обоих этих случаях будет \(a + b = 0\), откуда в силу \(a\geqslant 0\), \(b\geqslant 0\) получим, что \(a = b = 0\), но \(BD' = AC'\) (так как треугольники \(AB'D\) и \(AC'D\) равны).

В итоге \(AC = BD\), тогда из теоремы о биссектрисе (биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам) получаем нужное равенство.

 

б) Так как у треугольников \(BDA\) и \(CDA\) основание \(AD\) – общее, то \[\dfrac{\rho(B; AD)}{\rho(C; AD)} = \dfrac{S_{\triangle BDA}}{S_{\triangle CDA}}.\]

Так как \(AC = BD\), а \(AD\) общая для треугольников \(BDA\) и \(CDA\), то \[\dfrac{S_{\triangle BDA}}{S_{\triangle CDA}} = \dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}.\] В итоге \[\dfrac{\rho(B; AD)}{\rho(C; AD)} = \dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}.\]

Ответ:

б) \(\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}\).

Задание 17

В феврале \(2015\) года Дмитрий решил сделать вклад в банк в размере \(A\) рублей на следующих условиях:
– каждый год в декабре, начиная с \(2015\), банк начисляет целое число \(y\) процентов на сумму, находящуюся на счете в феврале текущего года;
– раз в год в январе Дмитрий имеет право снять некоторую сумму со своего счета.
Хитрый Дмитрий решил, начиная с января \(2017\) года, снимать со своего счета сначала \(A\) рублей, затем \(2A\), и затем снова \(A\). Какова должна быть наименьшая годовая процентная ставка в банке, чтобы Дмитрию удалось это сделать?

Составим таблицу, обозначив за \(t=\dfrac{100+y}{100}\): \[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма на счете до} & \text{Сумма на счете после}\\ &\text{начисления }\%\text{(февраль)} & \text{начисления }\%\text{(декабрь)}\\ \hline 2015 & A & tA\\ \hline 2016 & tA & t^2A\\ \hline 2017 & t^2A-A & t(t^2A-A)\\ \hline 2018 & t(t^2A-A)-2A & t(t(t^2A-A)-2A)\\ \hline 2019 & t(t(t^2A-A)-2A)-A &\\ \hline \end{array}\]

Для того, чтобы Дмитрию удалось сделать то, что он задумал, нужно:
\[\begin{cases} \begin{aligned} & t^2A-A \geqslant 0\\ & t(t^2A-A)-2A \geqslant0\\ & t(t(t^2A-A)-2A)-A \geqslant0 \end{aligned} \end{cases}\]

(т.к. он не может снять со счета больше, чем есть на счете в данный момент)

Заметим, что, т.к. \(t>1 \Rightarrow A(t^2-1) \geqslant0\) при всех \(t\).
Рассмотрим другие два неравенства:
\[\begin{cases} \begin{aligned} & t^3-t-2 \geqslant0\\ & t^4-t^2-2t-1 \geqslant0 \end{aligned} \end{cases}\]
Заметим, что если выполнено \(t^4-t^2-2t-1 \geqslant0\), то \(t^3-t-2 \geqslant \dfrac{1}{t}>0\), т.к. \(t>1\). Т.е. при тех значениях \(t\), при которых выполнено второе неравенство, выполнено и первое неравенство. Значит, решим только второе неравенство:
\[t^4-(t+1)^2 \geqslant0 \Rightarrow (t^2-t-1)(t^2+t+1) \geqslant0 \Rightarrow t \geqslant \dfrac{1+\sqrt5}{2}\]
Сделав обратную замену, получим: \(y\geqslant 50(\sqrt5-1)\). Выполнив оценку числа в правой части, получим наименьшее целое \(y=62 \%\).

Ответ:

\(62 \%\).

Задание 18

При каких значениях параметра \(a\) решением неравенства

\[x^2-(a^2-2a-3)x+a^2+2\leqslant 0\]

является отрезок \([2;3]\).

Рассмотрим множество функций \(f_a(x)=x^2-(a^2-2a-3)x+a^2+2\). При каждом фиксированном \(a\) это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх, которая может выглядеть как \((1)\) (\(D=0\)), \((2)\) (\(D>0\)) или \((3)\) (\(D<0\)):


 

Для того, чтобы решением неравенства являлся отрезок \([2;3]\), необходимо, чтобы парабола выглядела как \((2)\), то есть необходимо выполнение следующих условий:

\(\begin{cases} (a^2-2a-3)^2-4(a^2+2)>0\\ f_a(2)=0\\ f_a(3)=0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} (a^2-2a-3)^2-4(a^2+2)>0\\ a^2-4a-12=0\\ a^2-3a-10=0 \end{cases} \quad \Rightarrow \)

 

\(\Rightarrow \quad \begin{cases} (a^2-2a-3)^2-4(a^2+2)>0\\ a=-2 \end{cases}\)

 

Заметим, что при \(a=-2\) неравенство \((a^2-2a-3)^2-4(a^2+2)>0\) выполняется, т.к. оно равносильно \(1>0\). Следовательно, \(a\in \{-2\}\).

Ответ:

\(a\in \{-2\}\)

Задание 19

Докажите, что дробь \(\dfrac{18n+1}{45n+1}\) несократима.

Пусть НОД\((18n+1,45n+1)=a\), тогда по определению наибольшего общего делителя \((18n+1)\, \vdots \, a\) и \((45n+1)\, \vdots \,a\), но тогда \(\bigl(5(18n+1)-2(45n+1)\bigr)\, \vdots \,a\).

Так как \(5(18n+1)-2(45n+1)=90n+5-90n-2=3\), то \(3\, \vdots \, a\), значит, \(a\) равно либо \(1\), либо \(3\).

Но так как \(18n+1\) не делится на \(3\), то \(a=1\), следовательно, НОД\((18n+1,45n+1)=1\).

 

Таким образом, дробь \(\dfrac{18n+1}{45n+1}\) – несократима.

Ответ:

Доказательство