Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Введение в координатную плоскость

\(\blacktriangleright\) В прямоугольной системе координат \(Oxy\) даны точки \(A_1(x_1;y_1)\) и \(A_2(x_2;y_2)\). Тогда длина отрезка \(A_1A_2\) равна:
\[\Large{A_1A_2=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}}\]

\(\blacktriangleright\) В прямоугольной система координат даны точки \(A_1(x_1;y_1)\) и \(A_2(x_2;y_2)\).
Если \(O\) – середина отрезка \(A_1A_2\), то:
\[\Large{O\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)}\]

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите площадь прямоугольника, вершины которого имеют координаты \((2;-1), \ (6;-1), \ (2;4), \ (6;4).\)

Добавить задание в избранное

Назовем вершины прямоугольника: \(A(2;-1), \ B(6;-1), \ D(2;4), \ C(6;4)\).



Тогда длина отрезка \(AB\) – модуль разности абсцисс точек \(A\) и \(B\), длина отрезка \(AD\) – модуль разности ординат точек \(A\) и \(D\): \[AB=|6-2|=4, \quad AD=|4-(-1)|=5.\] Следовательно, площадь прямоугольника равна \[S=4\cdot 5=20.\]

Ответ: 20

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты \((-1;-1), \ (-1;2), \ (5;4), \ (5;0).\)

Добавить задание в избранное

Назовем трапецию \(ABCD\), как показано на рисунке.



Тогда \(AB\) и \(CD\) – ее основания. \[AB=2-(-1)=3, \quad CD=4-0=4.\] Высота, опущенная из \(A\) на прямую \(CD\), равна \[h=5-(-1)=6.\] Следовательно, площадь: \[S=\dfrac12\cdot h\cdot (AB+CD)=\dfrac12\cdot 6\cdot (3+4)=21.\]

Ответ: 21

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты \((1;1), \ (3;4), \ (6;2).\)

Добавить задание в избранное

Обозначим вершины треугольника за \(A, B, C\) как показано на рисунке:



Тогда \[AC^2=(3-1)^2+(4-1)^2=13, \quad BC^2=(6-3)^2+(4-2)^2=13.\] Следовательно, треугольник равнобедренный. Найдем его высоту, опущенную из \(C\).



\(AB=\sqrt{(6-1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{26}\), следовательно, \(AH=\frac{\sqrt{26}}2\). Тогда: \[CH^2=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{\dfrac{13}2}\] Значит, площадь равна \[S=\dfrac 12\cdot AB\cdot CH=\dfrac{13}2=6,5.\]

Ответ: 6,5

Задание 4
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

На координатной плоскости с заданной прямоугольной системой координат даны две точки \(A(2;2)\) и \(B(8;8)\). Назовем точку особенной, если она является одной из вершин какого-то квадрата с вершинами в \(A\) и \(B\).
Найдите сумму абсцисс и ординат всех особенных точек.

Добавить задание в избранное

Точки \(A\) и \(B\) могут быть как соседними, так и противоположными вершинами квадрата. Таким образом, можно построить три квадрата: \[ABCD, \quad ABFE, \quad AGBH.\]

Заметим, что \(AH=BH=6\). Следовательно, \(BG=6\). Тогда точка \(H\) имеет координаты \((8;2)\), а точка \(G\) имеет координаты \((2;8)\).
Заметим, что \(AH\) – половина диагонали квадрата \(ABFE\). Следовательно, \(AH=HF=6\). Аналогично \(BH=HE=6\). Тогда имеем: \(F(14;2)\), \(E(8;-4)\).
Аналогично находим \(C(2;14)\), \(D(-4;8)\).
Таким образом, получили особенные точки: \(A, B, C, D, E, F, G, H\). Тогда в ответ нужно записать: \[\big(-4+2+2+2+8+8+8+14\big)+\big(8+2+8+14+8+2+2-4\big)=40+40=80.\]

Ответ: 80

Задание 5
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Точка \(M\) координатной плоскости имеет координаты \((-1; 1)\), длина отрезка \(MN\) равна 13, абсцисса точки \(N\) равна 4. Найдите ординату точки \(N\), если известно, что она отрицательна.

Добавить задание в избранное





Длина отрезка, соединяющего точки с координатами \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) равна
\(\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\),
тогда для отрезка \(MN\): \(\sqrt{(-1 - 4)^2 + (1 - y_N)^2} = 13\), где \(y_N\) – ордината точки \(N\).
\((1 - y_N)^2 = 144\), откуда \(y_{N_1} = -11, \ y_{N_2} = 13\).
Так как ордината точки \(N\) отрицательна, то
\(y_N = -11\).

Ответ: -11

Задание 6
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Точка \(M\) координатной плоскости имеет координаты \((10; 15)\), точка \(N\) имеет координаты \((13; 11)\). Найдите длину отрезка \(MN\).

Добавить задание в избранное





Длина отрезка, соединяющего точки с координатами \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) равна
\(\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\).
В данной задаче длина отрезка \(MN\) равна \(\sqrt{(10 - 13)^2 + (15 - 11)^2} = 5\).

Ответ: 5

Задание 7
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Точка \(M\) координатной плоскости имеет координаты \((1; 2 + a)\), точка \(N\) имеет координаты \((4; -2 + a)\). Найдите длину отрезка \(MN\).

Добавить задание в избранное

Длина отрезка, соединяющего точки с координатами \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) равна
\(\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\).
В данной задаче длина отрезка \(MN\) равна \(\sqrt{(1 - 4)^2 + (2 + a + 2 - a)^2} = 5\).

Ответ: 5

Задачи на координатной плоскости, в которых требуется выполнить построения, являются обязательной частью ЕГЭ по математике. Знать алгоритм их решения должны ученики, которые готовятся сдавать базовый и профильный уровень экзамена. Поняв, как решаются задачи по теме «Координатная плоскость», выпускники смогут успешно справляться с заданиями с различным количеством действий и рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Как подготовиться к экзамену?

На этапе подготовки к аттестационному испытанию многие учащиеся сталкиваются со сложностью поиска подходящего источника. В нужный момент школьного учебника может просто не оказаться под рукой. А найти необходимые определения и теоремы иногда бывает достаточно сложно даже в Интернете.

Вместе с образовательным порталом «Школково» вы сможете качественно подготовиться к сдаче ЕГЭ. Наш ресурс выстроен таким образом, чтобы учащиеся имели возможность выявить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях.

В соответствующем разделе сайта представлен весь базовый теоретический материал по теме «Координатная плоскость», который поможет в подготовке к ЕГЭ. Данная информация систематизирована и изложена нашими специалистами с учетом их богатого опыта в максимально доступной форме.

Чтобы закрепить полученные знания по теме «Координатная плоскость», рекомендуем школьникам также попрактиковаться в решении задач. Большая подборка упражнений представлена в разделе «Каталог». Для каждого задания наши специалисты прописали подробный алгоритм решения и указали правильный ответ. Перечень упражнений в соответствующем разделе постоянно дополняется и обновляется.

Тренироваться решать задачи на координатной плоскости школьники могут в режиме онлайн, находясь в Московском регионе или других российских областях. При необходимости любое упражнение можно сохранить в «Избранное». Это позволит в дальнейшем без труда вернуться к этой задаче и, к примеру, обсудить алгоритм ее решения со своим преподавателем.