Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Введение в координатную плоскость

\(\blacktriangleright\) В прямоугольной системе координат \(Oxy\) даны точки \(A_1(x_1;y_1)\) и \(A_2(x_2;y_2)\). Тогда длина отрезка \(A_1A_2\) равна:
\[\Large{A_1A_2=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}}\]

\(\blacktriangleright\) В прямоугольной система координат даны точки \(A_1(x_1;y_1)\) и \(A_2(x_2;y_2)\).
Если \(O\) – середина отрезка \(A_1A_2\), то:
\[\Large{O\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)}\]

Задание 1 #3096
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите площадь прямоугольника, вершины которого имеют координаты \((2;-1), \ (6;-1), \ (2;4), \ (6;4).\)

Добавить задание в избранное

Назовем вершины прямоугольника: \(A(2;-1), \ B(6;-1), \ D(2;4), \ C(6;4)\).



Тогда длина отрезка \(AB\) – модуль разности абсцисс точек \(A\) и \(B\), длина отрезка \(AD\) – модуль разности ординат точек \(A\) и \(D\): \[AB=|6-2|=4, \quad AD=|4-(-1)|=5.\] Следовательно, площадь прямоугольника равна \[S=4\cdot 5=20.\]

Ответ: 20

Задание 2 #3098
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты \((-1;-1), \ (-1;2), \ (5;4), \ (5;0).\)

Добавить задание в избранное

Назовем трапецию \(ABCD\), как показано на рисунке.



Тогда \(AB\) и \(CD\) – ее основания. \[AB=2-(-1)=3, \quad CD=4-0=4.\] Высота, опущенная из \(A\) на прямую \(CD\), равна \[h=5-(-1)=6.\] Следовательно, площадь: \[S=\dfrac12\cdot h\cdot (AB+CD)=\dfrac12\cdot 6\cdot (3+4)=21.\]

Ответ: 21

Задание 3 #3593
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите площадь треугольника, координаты которого имеют вершины \((1;12), (7;14), (7;20).\)

Добавить задание в избранное



Площадь треугольника равна полупроизведению высоты на основание, у которому она проведена. Возьмем за основание отрезок с вершинами \((7;14)\) и \((7;20)\). Его длина равна \(6\). Высота к нему равна \(6\). Следовательно, \[S=\dfrac12\cdot 6\cdot 6=18\]

Ответ: 18

Задание 4 #3592
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.

Добавить задание в избранное

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведенную к нему. У этого параллелограмма нижнее основание равно \(2\), а высота к нему равна \(3\). Следовательно, \[S=2\cdot 3=6\]

Ответ: 6

Задание 5 #3591
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

Добавить задание в избранное

Площадь трапеции равна полупроизведению суммы оснований на высоту. Основания этой трапеции равны \(2\) и \(4\). Высота равна \(5\). Следовательно, \[S=\dfrac{2+4}2\cdot 5=15\]

Ответ: 15

Задание 6 #3590
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

Добавить задание в избранное

Площадь трапеции равна полупроизведению суммы оснований на высоту. Основания этой трапеции равны \(2\) и \(8\). Высота равна \(3\). Следовательно, \[S=\dfrac{2+8}2\cdot 3=15\]

Ответ: 15

Задание 7 #3097
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты \((1;1), \ (3;4), \ (6;2).\)

Добавить задание в избранное

Обозначим вершины треугольника за \(A, B, C\) как показано на рисунке:



Тогда \[AC^2=(3-1)^2+(4-1)^2=13, \quad BC^2=(6-3)^2+(4-2)^2=13.\] Следовательно, треугольник равнобедренный. Найдем его высоту, опущенную из \(C\).



\(AB=\sqrt{(6-1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{26}\), следовательно, \(AH=\frac{\sqrt{26}}2\). Тогда: \[CH^2=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{\dfrac{13}2}\] Значит, площадь равна \[S=\dfrac 12\cdot AB\cdot CH=\dfrac{13}2=6,5.\]

Ответ: 6,5

Задачи на координатной плоскости, в которых требуется выполнить построения, являются обязательной частью ЕГЭ по математике. Знать алгоритм их решения должны ученики, которые готовятся сдавать базовый и профильный уровень экзамена. Поняв, как решаются задачи по теме «Координатная плоскость», выпускники смогут успешно справляться с заданиями с различным количеством действий и рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Как подготовиться к экзамену?

На этапе подготовки к аттестационному испытанию многие учащиеся сталкиваются со сложностью поиска подходящего источника. В нужный момент школьного учебника может просто не оказаться под рукой. А найти необходимые определения и теоремы иногда бывает достаточно сложно даже в Интернете.

Вместе с образовательным порталом «Школково» вы сможете качественно подготовиться к сдаче ЕГЭ. Наш ресурс выстроен таким образом, чтобы учащиеся имели возможность выявить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях.

В соответствующем разделе сайта представлен весь базовый теоретический материал по теме «Координатная плоскость», который поможет в подготовке к ЕГЭ. Данная информация, как и решение задач по теореме синусов и косинусов, систематизирована и изложена нашими специалистами с учетом их богатого опыта в максимально доступной форме.

Чтобы закрепить полученные знания по теме «Координатная плоскость», рекомендуем школьникам также попрактиковаться в решении задач. Большая подборка упражнений представлена в разделе «Каталог». Для каждого задания наши специалисты прописали подробный алгоритм решения и указали правильный ответ. Перечень упражнений в соответствующем разделе постоянно дополняется и обновляется.

Тренироваться решать задачи на координатной плоскости школьники могут в режиме онлайн, находясь в Московском регионе или других российских областях. При необходимости любое упражнение можно сохранить в «Избранное». Это позволит в дальнейшем без труда вернуться к этой задаче и, к примеру, обсудить алгоритм ее решения со своим преподавателем.