Математика
Русский язык

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на построение сечения геометрических фигур

Сечение — это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.

 

Важные факты и теоремы, необходимые для построения сечений

 

\(\blacktriangleright\) Определение: две прямые параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Если через две прямые нельзя провести одну плоскость, то такие прямые скрещиваются.

 

\(\blacktriangleright\) Теорема о параллельности трех прямых: если \(a\parallel b, \ b\parallel c\), то и \(a\parallel c\).

 

\(\blacktriangleright\) Определение: прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.

 

Признак параллельности прямой и плоскости: прямая, не лежащая в плоскости, параллельна этой плоскости, если она параллельна некоторой прямой из этой плоскости.

 

\(\blacktriangleright\) Определение:  две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

 

Признак параллельности двух плоскостей:  если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

 

\(\blacktriangleright\) Если две плоскости пересекаются, то их линия пересечения — прямая.

 

\(\blacktriangleright\) Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то их линии пересечения параллельны (см. рис.)

Задание 1
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCD\) – треугольная пирамида, \(V_{ABCD} = 102\). Плоскость \(\beta\parallel (ABC)\). Сечение \(ABCD\) плоскостью \(\beta\) есть треугольник \(EFG\), причём \(BC = 2\sqrt{3}\cdot FG\), а высота пирамиды \(h\), проведённая из вершины \(D\) к \((ABC)\), равна \(34\). Найдите \(S_{EFG}\).

Добавить задание в избранное




 

Так как \((EFG)\parallel (ABC)\), то треугольники \(EFG\) и \(ABC\) подобны. Так как \(\dfrac{BC}{FG} = 2\sqrt{3}\), то \(\dfrac{S_{ABC}}{S_{EFG}} = 12\). \[V_{ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}\cdot h = 102\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{1}{3}S_{ABC}\cdot 34 = 102\qquad\Rightarrow\qquad S_{ABC} = 9,\] следовательно, \(S_{EFG} = \dfrac{1}{12}\cdot S_{ABC} = 0,75\).

Ответ: 0,75

Задание 2
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). \(A_2\) – середина стороны \(AA_1\), \(D_2\) – середина стороны \(DD_1\), \(AA_1 = \sqrt[4]5\). Найдите площадь плоскости сечения, проходящей через точки \(A_2\), \(D_2\) и \(B_1\).



Добавить задание в избранное




 

\(A_2D_2C_1B_1\) – фигура сечения куба. \(A_2D_2\) – параллельна \(AD\) и \(A_1D_1\), т.к. соединяет середины \(AA_1\) и \(DD_1\), поэтому перпендикулярна граням \(AA_1B_1B\) и \(DD_1C_1C\) \(\Rightarrow\) перпендикулярна \(A_2B_1\) и \(D_2C_1\). \(B_1C_1 || A_1D_1\) \(\Rightarrow\) \(B_1C_1 || A_2D_2\) \(\Rightarrow\) \(A_2D_2C_1B_1\) – прямоугольник. \[A_2D_2 = AD = AA_1 = \sqrt[4]5,\,\,\,\displaystyle A_2A_1 = \frac{1}{2}AA_1 = \frac{\sqrt[4]5}{2};\] \(A_2B_1\) можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника \(\triangle A_2A_1B_1\): \[\displaystyle A_2B_1^2 = A_2A_1^2 + A_1B_1^2 = \sqrt5 + \frac{\sqrt5}{4} = \frac{5\sqrt5}{4}\] \(\Rightarrow\) \(\displaystyle A_2B_1 = \frac{\sqrt5\sqrt[4]5}{2}\). Найдем площадь фигуры сечения: \[\displaystyle S_{\text{фиг.сеч.}} = A_2D_2\cdot A_2B_1 = \sqrt[4]5\cdot\frac{\sqrt5\sqrt[4]5}{2} = \frac{5}{2} = 2,5.\]

Ответ: 2,5

Задание 3
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\): точки \(M\), \(N\), \(L\), \(K\) лежат соответственно на ребрах \(AA_1\), \(DD_1\), \(D_1C_1\) и \(A_1B_1\), причем \(A_1M:MA = D_1N:ND = 3:2\), \(A_1K:KB_1 = D_1L:LC_1 = 4:1\). Найдите площадь \(KLNM\), если \(AB = 3\).



Добавить задание в избранное




 

\(\displaystyle A_1M = \frac{3}{5}AA_1 = \frac{3}{5}DD_1 = D_1N\); \(A_1M || D_1N\), т.к. \(AA_1 || DD_1\) \(\Rightarrow\) \(MA_1D_1N\) – параллелограмм \(\Rightarrow\) \(MN || A_1D_1\), \(MN = A_1D_1\). Аналогичным образом получается, что \(KL || A_1D_1\) и \(KL = A_1D_1\) \(\Rightarrow\) \(KLNM\) – параллелограмм, а т.к. \(A_1D_1\) перпендикулярна граням \(AA_1B_1B\) и \(DD_1C_1C\), то и \(MN\) и \(KL\) перпендикулярны этим же граням \(\Rightarrow\) \(KLNM\) – прямоугольник. Чтобы найти площадь этого прямоугольника, найдем сперва сторону \(MK\) из прямоугольного треугольника \(\triangle MA_1K\), используя теорему Пифагора. \[\displaystyle A_1K = \frac{4}{5}A_1B_1 = \frac{4}{5}AB = \frac{12}{5},\,\,\,\displaystyle A_1M = \frac{3}{5}AA_1 = \frac{3}{5}AB = \frac{9}{5},\] \[\displaystyle MK^2 = A_1M^2 + A_1K^2 = \frac{144}{25} + \frac{81}{25} = \frac{225}{25} = 9\] \(\Rightarrow\) \(MK = 3\). Тогда площадь \(KLNM\): \(S_{KLNM} = MN\cdot MK = 3\cdot3 = 9.\)

Ответ: 9

Задачам, в которых требуется построить сечение фигур плоскостью, отводится достаточно большое количество времени в рамках базового школьного курса геометрии. Подобные упражнения позволяют учащимся лучше усвоить базовые аксиомы стереометрии и систематизировать имеющиеся знания. Однако, как показывает опыт предыдущих лет, задачи, в которых требуется построить сечение фигуры плоскостью, вызывают у выпускников определенные сложности. При этом уметь справляться с ними должны все учащиеся, независимо от уровня подготовки.

Основные нюансы

Сечение многогранника представляет собой многоугольник. Его вершины есть точки пересечения секущей плоскости с ребрами многоугольника. А стороны — это линии пересечения секущей плоскости с гранями.

Для того чтобы построить прямую пересечения двух плоскостей, необходимо найти их общие точки и провести через них прямую. Это утверждение подтверждается двумя аксиомами:

  • Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит ей.
  • Если плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, которая проходит через эту точку.

Построение пространственных сечений объемных геометрических фигур можно осуществлять на основании двух приведенных выше стереометрических аксиом, а также теорем о параллельности прямых и плоскостей.

Занимайтесь вместе с математическим порталом «Школково» для качественной подготовки к экзамену!

С необходимостью поиска подходящей информации сталкиваются многие учащиеся. Далеко не всегда учебник есть под рукой в нужный момент. А подходящие формулы для расчета площади сечения пирамиды, куба и других геометрических фигур в задачах ЕГЭ оказывается непросто даже в Интернете в онлайн-режиме.

Образовательный проект «Школково» поможет качественно подготовиться к прохождению аттестационного испытания. Наш портал предлагает преподавателям и старшеклассникам выстроить алгоритм занятия по-новому, переходя от простого к сложному. Мы убеждены, что именно такой подход позволит выпускникам определить темы, которые нуждаются в более детальном изучении.

Базовая информация, которую необходимо знать для выполнения заданий ЕГЭ на построение сечения фигур, представлена в разделе «Теоретическая справка». Изучив материал, подготовленный нашими специалистами, школьники смогут восполнить пробелы в знаниях без помощи репетитора.

Чтобы задачи на построение сечений фигур не вызывали затруднений, мы предлагаем также попрактиковаться в выполнении упражнений. Большая подборка заданий представлена в разделе «Каталог». Выполнять их школьники могут в онлайн-режиме, находясь в любом российском городе.