Математика
Русский язык

7. Взаимосвязь функции и ее производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона

\(\blacktriangleright\) Если уравнение прямой задано в виде \({\color{royalblue}{y=kx+b \;}}\), то число \(k\) называется угловым коэффициентом.

 

\(\blacktriangleright\) Угол \(\alpha\) наклона прямой – это угол между этой прямой и положительным направлением оси \(Ox\) (\(0\leqslant \alpha< 180^\circ\)), лежащий в верхней полуплоскости.

 

\(\blacktriangleright\) Основная формула. Угловой коэффициент прямой \(y=kx+b\) равен тангенсу угла наклона этой прямой:

\[{\large{\color{royalblue}{k=\mathrm{tg}\, \alpha}}}\]
Т.к. касательная к графику некоторой функции — это и есть прямая, то для нее верны все эти утверждения.


 

Если \(\alpha<90^\circ\), то \(k>0\);

если \(\alpha>90^\circ\), то \(k<0\);

если \(\alpha=0^\circ\), то \(k=0\) (уравнение прямой имеет вид \(y=b\) и она параллельна оси \(Ox\));

если \(\alpha=90^\circ\), то уравнение прямой имеет вид \(x=a\) и она перпендикулярна оси \(Ox\).

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = x\), образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\). Найдите \(\mathrm{tg}\, \alpha\).

Добавить задание в избранное


 

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

Так как для прямой \(y = x\) коэффициент \(k\) равен \(1\), то \(\mathrm{tg}\, \alpha = 1\).

Ответ: 1

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = 2x - 3\), образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\). Найдите \(\mathrm{tg}\, \alpha\).

Добавить задание в избранное


 

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

Так как для прямой \(y = 2x - 3\) коэффициент \(k\) равен \(2\), то \(\mathrm{tg}\, \alpha = 2\).

Ответ: 2

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = -x + 2\), образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\). Найдите \(\mathrm{tg}\, \alpha\).

Добавить задание в избранное


 

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

Так как для прямой \(y = -x + 2\) коэффициент \(k\) равен \(-1\), то \(\mathrm{tg}\, \alpha = -1\).

Ответ: -1

Задание 4
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = kx + 77\), образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\). Найдите \(k\), если \(\mathrm{tg}\, \alpha = 12\).

Добавить задание в избранное

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

Так как тангенс угла \(\alpha\) между прямой \(y = kx + 77\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(12\), то \(k = \mathrm{tg}\, \alpha = 12\).

Ответ: 12

Задание 5
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = kx + 0,2\), образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\). Найдите \(k\), если \(\mathrm{tg}\, \alpha = -3,3\).

Добавить задание в избранное

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

Так как тангенс угла \(\alpha\) между прямой \(y = kx + 0,2\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(-3,3\), то \(k = \mathrm{tg}\, \alpha = -3,3\).

Ответ: -3,3

Задание 6
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = kx\), образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\). Найдите \(k\), если \(\mathrm{tg}\, \alpha = 0\).

Добавить задание в избранное

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

Так как тангенс угла \(\alpha\) между прямой \(y = kx\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(0\), то \(k = \mathrm{tg}\, \alpha = 0\).

Ответ: 0

Задание 7
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая \(y = kx - 2016\) образует угол \(45^{\circ}\) с положительным направлением оси \(Ox\). Найдите \(k\).

Добавить задание в избранное


 

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

 

Так как угол между прямой \(y = kx - 2016\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(\dfrac{\pi}{4}\), то \(k = \mathrm{tg}\, \dfrac{\pi}{4} = 1\).

Ответ: 1

1 2 3

Теме «Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона» в аттестационном экзамене отводится сразу несколько заданий. В зависимости от их условия, от выпускника может требоваться как полный ответ, так и краткий. При подготовке к сдаче ЕГЭ по математике ученику обязательно стоит повторить задачи, в которых требуется вычислить угловой коэффициент касательной.

Сделать это вам поможет образовательный портал «Школково». Наши специалисты подготовили и представили теоретический и практический материал максимально доступно. Ознакомившись с ним, выпускники с любым уровнем подготовки смогут успешно решать задачи, связанные с производными, в которых требуется найти тангенс угла наклона касательной.

Основные моменты

Для нахождения правильного и рационального решения подобных заданий в ЕГЭ необходимо вспомнить базовое определение: производная представляет собой скорость изменения функции; она равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в определенной точке. Не менее важно выполнить чертеж. Он позволит найти правильное решение задач ЕГЭ на производную, в которых требуется вычислить тангенс угла наклона касательной. Для наглядности лучше всего выполнить построение графика на плоскости ОХY.

Если вы уже ознакомились с базовым материалом на тему производной и готовы приступить к решению задач на вычисление тангенса угла наклона касательной, подобных заданиям ЕГЭ, сделать это можно в режиме онлайн. Для каждого задания мы прописали правильный ответ и алгоритм решения. При этом учащиеся могут попрактиковаться в выполнении задач различного уровня сложности. В случае необходимости упражнение можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы потом обсудить решение с преподавателем.