Математика
Русский язык

7. Взаимосвязь функции и ее производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Если уравнение прямой задано в виде \({\color{royalblue}{y=kx+b \;}}\), то число \(k\) называется угловым коэффициентом.

 

\(\blacktriangleright\) Угол \(\alpha\) наклона прямой – это угол между этой прямой и положительным направлением оси \(Ox\) (\(0\leqslant \alpha< 180^\circ\)), лежащий в верхней полуплоскости.

 

\(\blacktriangleright\) Основная формула. Угловой коэффициент прямой \(y=kx+b\) равен тангенсу угла наклона этой прямой:

\[{\large{\color{royalblue}{k=\mathrm{tg}\, \alpha}}}\]
Т.к. касательная к графику некоторой функции — это и есть прямая, то для нее верны все эти утверждения.


 

Если \(\alpha<90^\circ\), то \(k>0\);

если \(\alpha>90^\circ\), то \(k<0\);

если \(\alpha=0^\circ\), то \(k=0\) (уравнение прямой имеет вид \(y=b\) и она параллельна оси \(Ox\));

если \(\alpha=90^\circ\), то уравнение прямой имеет вид \(x=a\) и она перпендикулярна оси \(Ox\).

Задание 15
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Прямая \(y = kx - 0,5\cdot \sqrt{2}\) образует угол \(\alpha\) с отрицательным направлением оси \(Ox\), при этом, \(\cos \alpha = \dfrac{4}{\sqrt{17}}\). Найдите \(k\).

Добавить задание в избранное

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

Из основного тригонометрического тождества находим, что \(\sin \alpha = \pm \dfrac{1}{\sqrt{17}}\), но с учётом \(0 \leq \alpha < \pi\) получаем, что \(\sin \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{17}}\).

 

Так как прямая \(y = kx - 0,5\cdot \sqrt{2}\) образует угол \(\alpha\) с отрицательным направлением оси \(Ox\), то её угол с положительным направлением оси \(Ox\) равен \(\pi - \alpha\) и с учётом тождеств \(\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha, \ \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha\) получим \(k = \mathrm{tg}(\pi - \alpha) = \dfrac{\sin (\pi - \alpha)}{\cos(\pi - \alpha)} = \dfrac{\sin \alpha}{-\cos \alpha} = \dfrac{1}{\sqrt{17}} : \left(-\dfrac{4}{\sqrt{17}}\right) = -0,25\).

Ответ: -0,25

Задание 16
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = 3x + 2\), касается графика некоторой функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\), а прямая \(y = 6x + 4\) касается графика этой же функции в точке \((x_1; f(x_1))\).

 

Найдите сумму тангенсов углов наклона касательных к графику функции \(f(x)\) в точках \((x_0; f(x_0))\) и \((x_1; f(x_1))\), где угол наклона прямой считается углом между прямой и положительным направлением \(Ox\).

Добавить задание в избранное

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

 

Таким образом, для прямой \(y = 3x + 2\) искомый тангенс угла наклона равен \(3\), а для прямой \(y = 6x + 4\) искомый тангенс угла наклона равен \(6\). Итого: сумма тангенсов углов наклона касательных к графику функции \(f(x)\) в точках \((x_0; f(x_0))\) и \((x_1; f(x_1))\) равна \(9\).

Ответ: 9

Задание 17
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Прямая \(y = kx + 0,1\) образует угол \(\alpha\) с положительным направлением оси \(Ox\), при этом, \(\cos \alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}}\). Найдите \(k\).

Добавить задание в избранное


 

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

 

Таким образом, \(k = \mathrm{tg}\, \alpha\), при том, что \(\cos \alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}}\) и \(0 \leq \alpha < \pi\). Из основного тригонометрического тождества (для всякого \(\alpha\) выполнено \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)) получаем, что \(\sin^2 \alpha = \dfrac{1}{5}\), тогда \(\sin \alpha = \pm \dfrac{1}{\sqrt{5}}\), но с учётом \(0 \leq \alpha < \pi\) заключаем, что \(\sin \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\), тогда \(k = \mathrm{tg}\, \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} : \dfrac{2}{\sqrt{5}} = 0,5\).

Ответ: 0,5