Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на дробно рациональные выражения

Справедливы следующие формулы сокращенного умножения:

\(\blacktriangleright\) Квадрат суммы и квадрат разности: \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\] \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

\(\blacktriangleright\) Куб суммы и куб разности: \[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\] \[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab(a-b)\]

\(\blacktriangleright\) Разность квадратов: \[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

\(\blacktriangleright\) Сумма кубов и разность кубов: \[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\] \[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

Заметим, что не существует формулы суммы квадратов \(a^2+b^2\).

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{11\cdot (2x - 1)^2}{x - 1}\) при \(x = 0\).

Добавить задание в избранное

При \(x = 0\): \[\dfrac{11\cdot (2x - 1)^2}{x - 1} = \dfrac{11\cdot (2\cdot 0 - 1)^2}{0 - 1} = \dfrac{11\cdot (-1)^2}{-1} = \dfrac{11\cdot 1}{-1} = -11.\]

Ответ: -11

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{8\cdot (x - 3)^4}{(x - 3)^3}\) при \(x = 0\).

Добавить задание в избранное

Так как при \(x = 0\) знаменатель отличен от 0, то: \[\dfrac{8\cdot (x - 3)^4}{(x - 3)^3} = 8\cdot(x - 3)^{4 - 3} = 8\cdot(x - 3),\] что при \(x = 0\) равно \(8\cdot (0 - 3) = -24\).

Ответ: -24

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{3\cdot(x^2 - 4)}{(x-2)(x+2)}\) при тех значениях \(x\), при которых оно имеет смысл.

Добавить задание в избранное

\[\dfrac{3\cdot(x^2 - 4)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{3\cdot (x^2 - 4)}{x^2 - 4} = 3\] – при тех значениях \(x\), при которых знаменатель исходной дроби отличен от 0, то есть, при тех \(x\), при которых исходное выражение имеет смысл.

Ответ: 3

Задание 4
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(9x - \dfrac{81x^2 - 49}{9x + 7}\) при тех значениях \(x\), при которых оно имеет смысл.

Добавить задание в избранное

Используя формулу для разности квадратов, получаем: \[9x - \dfrac{81x^2 - 49}{9x + 7} = 9x - \dfrac{(9x - 7)(9x + 7)}{9x + 7}.\] Выражение в правой части последнего равенства при всяком числе \(x\), для которого выполняется \(9x + 7 \neq 0\), равно \(9x - (9x - 7) = 7\).

Ответ: 7

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{5\cdot(3 - x^2)}{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}\) при тех значениях \(x\), при которых оно имеет смысл.

Добавить задание в избранное

\[\dfrac{5\cdot(3 - x^2)}{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})} = \dfrac{5\cdot(3 - x^2)}{x^2-(\sqrt{3})^2} = \dfrac{5\cdot(3 - x^2)}{x^2-3} = \dfrac{-5\cdot(x^2 - 3)}{x^2-3} = -5\] – при тех значениях \(x\), при которых знаменатель исходной дроби отличен от 0, то есть, при тех \(x\), при которых исходное выражение имеет смысл.

Ответ: -5

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{7\cdot(7 - 2x^2)}{(x-\sqrt{3,5})(x+\sqrt{3,5})}\) при тех значениях \(x\), при которых оно имеет смысл.

Добавить задание в избранное

\[\dfrac{7\cdot(7 - 2x^2)}{(x-\sqrt{3,5})(x+\sqrt{3,5})} = \dfrac{7\cdot(7 - 2x^2)}{x^2-(\sqrt{3,5})^2} = \dfrac{7\cdot(7 - 2x^2)}{x^2-3,5} = \dfrac{-14\cdot(x^2 - 3,5)}{x^2-3,5} = -14\] – при тех значениях \(x\), при которых знаменатель исходной дроби отличен от 0, то есть, при тех \(x\), при которых исходное выражение имеет смысл.

Ответ: -14

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{17^2x^3 - 17x^2}{x^2(17x - 1)}\) при тех значениях \(x\), при которых оно имеет смысл.

Добавить задание в избранное

\[\dfrac{17^2x^3 - 17x^2}{x^2(17x - 1)} = \dfrac{17x^2(17x - 1)}{x^2(17x - 1)} = 17\] – при тех значениях \(x\), при которых знаменатель исходной дроби отличен от 0, то есть, при тех \(x\), при которых исходное выражение имеет смысл.

Ответ: 17

Решение задач ЕГЭ на преобразование дробно-рациональных выражений - обязательная часть аттестационного испытания. Уметь справляться с ними должны выпускники, сдающие как базовый уровень экзамена, так и профильный. Зная, что такое дробно-рациональные выражения, и как осуществляется их упрощение, учащиеся смогут решить задачу с любым количеством действий и рассчитывать на конкурентные баллы по итогам сдачи ЕГЭ.

Важные нюансы

Упрощение дробных буквенных выражений осуществляется в соответствии с определенными правилами. Все знаменатели и числители необходимо раскладывать на множители, применяя формулы сокращенного умножения. Они помогут привести сложные буквенные дробные выражения к более простому виду. Рекомендуем освежить с памяти формулы квадрата суммы, квадрата разности, куба суммы и разности, разность квадратов, а также сумму и разность кубов. Повторить данный материал можно, посетив раздел «Теоретическая справка» на образовательном портале «Школково». Там вы найдете всю необходимую информацию, подобранную нашими специальными для выпускников средних школ.

Для лучшего усвоения теоретических данных и отработки навыков рекомендуем выполнить упражнения – примеры на преобразование дробно-рациональных выражений, подобные тем, что встречаются в ЕГЭ. Их можно найти в разделе «Каталог». Задания здесь регулярно обновляются и дополняются. Попрактиковаться в решении задач на преобразование целых и дробных рациональных выражений можно в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.