Математика
Русский язык

16. Задачи по планиметрии

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи с окружностями

\(\blacktriangleright\) Радикальная ось — прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей.
Линия центров окружностей — прямая, проходящая через центры двух окружностей.

 

Радикальная ось перпендикулярна линии центров окружностей. Отрезки касательных, проведенных из любой точки радикальной оси к этим окружностям, равны.

 

\(\blacktriangleright\) Пусть две окружности с центрами \(M\) и \(N\) касаются внешним образом в точке \(A\). Две общие касательные (внутренняя и внешняя) \(a\) и \(b\) этих окружностей пересекаются в точке \(B\). Точки касания — точки \(A, K_1, K_2\). Тогда \[{\large{K_1B=AB=K_2B}}\] \[{\large{\angle K_1AK_2=90^\circ}}\]

 

\(\blacktriangleright\) Пусть две окружности касаются внешним образом в точке \(A\). Через точку \(A\) проведены две прямые \(B_1B_2\) и \(C_1C_2\), пересекающие каждую окружность в двух точках, как показано на рисунке. Тогда: \[{\large{\triangle AB_1C_1 \sim \triangle AB_2C_2}}\] \[{\large{B_1C_1\parallel B_2C_2}}\]

 

\(\blacktriangleright\) Формула Эйлера: Пусть \(R\) — радиус описанной около треугольника окружности, \(r\) — радиус вписанной окружности. Тогда расстояние между центрами этих окружностей вычисляется по формуле:

 

\(\blacktriangleright\) Теорема о бабочке: Пусть через середину хорды \(AB\) — точку \(O\), проведены две хорды \(MN\) и \(KP\). Пусть \(MP\cap AB=X, KN\cap AB=Y\). Тогда \[{\large{OX=OY}}\]

 

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

В окружность вписан четырехугольник \(MNKP\), причем площади треугольников \(MNP\) и \(MKP\) равны.
Докажите, что треугольник \(NOK\) – равнобедренный, где \(O\) – точка пересечения отрезков \(MK\) и \(NP\).

Добавить задание в избранное

Т.к. \(S_{\triangle MNP}=S_{\triangle MKP}\) и эти треугольники имеют общее основание \(MP\), то \[\frac12\cdot MP\cdot NH_1=\frac12\cdot MP\cdot KH_2 \quad \Rightarrow \quad NH_1=KH_2\]


 

Таким образом, точки \(N\) и \(K\) находятся на одинаковом расстоянии от прямой \(MP\), следовательно, \(NK\parallel MP\). Таким образом, \(MNKP\) – трапеция, вписанная в окружность. Т.к. параллельные прямые отсекают от окружности равные дуги, то меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{MN}=\buildrel\smile\over{KP}\). Т.к. равные дуги стягиваются равными хордами, то отрезки \(MN\) и \(KP\) равны. Следовательно, трапеция \(MNKP\) является равнобедренной.

 

В равнобедренной трапеции \(\triangle MOP\) и \(\triangle NOK\) являются равнобедренными, чтд.

 

Действительно, вписанные углы \(\angle NKM\) и \(\angle KNP\) равны, т.к. опираются на равные дуги, следовательно, \(\triangle NOK\) – равнобедренный.

Ответ:

Доказательство

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Две хорды окружности взаимно перпендикулярны. Найдите расстояние от точки их пересечения до центра окружности, если расстояние между их серединами равно \(2\).

Добавить задание в избранное

Пусть \(Q\) – точка пересечения взаимно перпендикулярных хорд \(MN\) и \(TE\), \(O\) – центр окружности. Тогда необходимо найти \(OQ\).

 

Пусть \(A\) и \(B\) – середины этих хорд, то есть \(AB=2\). Тогда \(OA\) и \(OB\) – перпендикуляры к этим хордам.


 

Действительно, \(\triangle MON\) – равнобедренный (\(OM=ON\) – радиусы), поэтому медиана \(OA\) в нем является и высотой. Аналогично доказывается, что \(OB\perp TE\).

 

Таким образом, в четырехугольнике \(OAQB\) три угла – прямые (\(\angle A=\angle Q=\angle B=90^\circ\)), следовательно, этот четырехугольник по признаку является прямоугольником. Т.к. в прямоугольнике диагонали равны, то \(AB=OQ=2\).

Ответ: 2

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Четырехугольник \(ABCD\) описан около окружности с центром \(O\). Докажите, что \(\angle AOB+\angle COD=180^\circ\).

Добавить задание в избранное

Если окружность вписана в многоугольник, то ее центр лежит на пересечении биссектрис углов этого многоугольника. Действительно, окружность вписана в угол \(A\), следовательно, центр окружности лежит на биссектрисе этого угла. Аналогично можно сказать и про остальные углы.


 

Введем обозначения: \(\angle A=2x, \angle B=2y, \angle C=2z, \angle D=2t\). Сумма углов четырехугольника равна \(360^\circ\), следовательно, \[2x+2y+2z+2t=360^\circ \quad \Rightarrow \quad x+y+z+t=180^\circ.\] Из \(\triangle AOB\): \(\angle AOB=180^\circ-x-y\);
из \(\triangle COD\): \(\angle COD=180^\circ-z-t\).
Таким образом, \[\angle AOB+\angle COD=180^\circ-x-y+180^\circ-z-t= 360^\circ-(x+y+z+t)=360^\circ-180^\circ=180^\circ.\]

Ответ:

Доказательство

Задание 4
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Даны две концентрические окружности радиусов \(1\) и \(3\) с общим центром \(O\). Третья окружность касается их обеих. Найдите угол между касательными к третьей окружности, проведенными из точки \(O\).

Добавить задание в избранное

Если две окружности касаются, то их центры и точка касания лежат на одной прямой. Таким образом, для первой и третьей окружности точки \(O\), \(Q\) и \(P\) лежат на одной прямой, для второй и третьей — точки \(O\), \(Q\) и \(E\) лежат на одной прямой. Таким образом, все эти четыре точки лежат на одной прямой.


 

Значит, \(OP=3\), \(OE=1\), следовательно, \(EP=3-1=2\) — диаметр третьей окружности, следовательно, ее радиус \(EQ=1\).

 

Пусть касательные к третьей окружности касаются ее в точках \(A\) и \(B\). Тогда радиусы \(QA\) и \(QB\) перпендикулярны к касательным \(OA\) и \(OB\) соответственно. Таким образом, \(\triangle AOQ=\triangle BOQ\) по катету и гипотенузе, следовательно, \(\angle AOQ=\angle BOQ\).

 

Найдем \(\angle AOQ\). Заметим, что в \(\triangle AOQ\) катет \(AQ=1\), гипотенуза \(OQ=2\). Следовательно, \(\angle AOQ=30^\circ\) как угол, лежащий против катета, равного половине гипотенузы.
А значит весь \(\angle AOB=30^\circ+30^\circ=60^\circ\).

Ответ:

\(60^\circ\)

Задание 5
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Через концы диаметра окружности проведены две хорды, пересекающиеся на окружности, сумма длин которых равна \(14\). Найдите сумму длин расстояний от центра окружности до этих хорд.

Добавить задание в избранное

Пусть \(AB\) – диаметр, \(O\) – центр окружности, \(AC\) и \(BC\) – хорды, \(AC+BC=14\).


 

Т.к. \(\angle ACB\) – вписанный и опирающийся на диаметр, то \(\angle ACB=90^\circ\). Проведем \(OH\perp AC, OP\perp BC\). В четырехугольнике \(OHCP\) три угла прямые, следовательно, по признаку он является прямоугольником. Таким образом, \(OH=CP\), \(OP=HC\).

 

Заметим, что т.к. радиус, перпендикулярный к хорде, делит ее пополам, то \(AH=HC\), \(CP=PB\). Таким образом, \[OH+OP=CP+HC=\frac12BC+\frac12AC=\dfrac12\left(BC+AC\right)= \frac12\cdot 14=7.\]

Ответ: 7

Задание 6
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что отличная от \(B\) точка пересечения окружностей, построенных на сторонах \(BA\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) как на диаметрах, лежит на прямой \(AC\).

Добавить задание в избранное

Пусть \(K\) – вторая точка пересечения окружностей.


 

\(\angle AKB=90^\circ\) как вписанный угол, опирающийся на диаметр \(AB\). Аналогично \(\angle CKB=90^\circ\) как вписанный угол, опирающийся на диаметр \(BC\). Таким образом, через точку \(K\) к прямой \(BK\) проведены две прямые \(AK\) и \(CK\), перпендикулярные \(BK\). Следовательно, эти прямые либо совпадают, либо параллельны. Но т.к. они имеют общую точку \(K\), то они не могут быть параллельны, то есть они совпадают. Значит, точки \(A, C\) и \(K\) лежат на одной прямой, чтд.

Ответ:

Доказательство

Задание 7
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Катеты прямоугольного треугольника равны \(a\) и \(b\), а гипотенуза равна \(c\). Докажите, что радиус вписанной окружности равен \[\dfrac{a+b-c}2\]

Добавить задание в избранное

1 способ

Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ABC\), пусть \(BC=a, AC=b, AB=c\). Проведем радиусы \(ON, OK, OM\) в точки касания. Обозначим также радиус \(ON=r\).


 

Рассмотрим четырехугольник \(CNOM\). У него 3 угла прямые, следовательно, по признаку он является прямоугольником. Также соседние стороны (\(ON=OM=r\)) у него равны. Следовательно, все его стороны равны \(r\) (то есть это квадрат). Таким образом, \(CN=CM=r\).

 

Значит, \(BN=a-r\), \(AM=b-r\). Т.к. отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны, то \(BK=BN=a-r\), \(AK=AM=b-r\).
Таким образом, гипотенуза \(AB=a-r+b-r=a+b-2r\). Но с другой стороны гипотенуза равна \(c\). Таким образом, \[a+b-2r=c \quad \Rightarrow \quad r=\dfrac{a+b-c}2\]

2 способ

Как известно, площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. Т.к. \(S=\frac12ab\), \(p=\frac12\left(a+b+c\right)\), то

\[\frac12ab=\frac12\left(a+b+c\right)\cdot r \quad \Rightarrow \quad r=\dfrac{ab}{a+b+c}\]

По теореме Пифагора \(a^2+b^2=c^2\), следовательно, \(a^2+b^2-c^2=0\). Сделаем преобразования:

 

\(r=\dfrac{ab}{a+b+c}=\dfrac{ab(a+b-c)}{(a+b+c)(a+b-c)}= \dfrac{ab(a+b-c)}{(a+b)^2-c^2}=\)  

\(=\dfrac{ab(a+b+c)}{a^2+2ab+b^2-c^2}= \dfrac{ab(a+b-c)}{2ab}=\dfrac{a+b-c}2.\)

Ответ:

Доказательство

Планиметрические задачи с окружностями в ЕГЭ по математике традиционно встречаются из года в год. Находить правильное решение в подобных заданиях нужно уметь каждому ученику вне зависимости от того, базовый или профильный уровень экзамена ему предстоит сдавать. Освоив задачи по теме «Геометрия окружности», учащиеся смогут успешно выполнить ЕГЭ по математике и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам прохождения аттестационного испытания.

Готовьтесь к экзамену вместе с образовательным порталом «Школково»

Приступая к решению задач с окружностями в ЕГЭ, рекомендуем освежить в памяти параметры и свойства вписанных и описанных фигур. Кроме того, в некоторых заданиях понадобится применить базовые теоремы. Всю необходимую теоретическую информацию, которая поможет вам в решении задач на окружность в ЕГЭ по математике, вы найдете на образовательном портале «Школково». Наши специалисты подготовили материал и представили его в максимально доступной форме. Ознакомиться с ним можно в разделе «Теоретическая справка». Закрепить полученные знания и отточить навык выполнения задач на окружности при подготовке к ЕГЭ вам помогут соответствующие упражнения. Подборка простых и более сложных заданий представлена в блоке «Каталог». Раздел регулярно обновляется и дополняется.

Попрактиковаться в решении задач по планиметрии с окружностями, подобным тем, которые встречаются в ЕГЭ математике, можно в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.