Нахождение угла между прямой и плоскостью

Рассмотрим рисунок:



Пусть \(A_1B_1=24\) – проекция \(AB\) на плоскость \(\alpha\), значит, \(AA_1\perp \alpha\), \(BB_1\perp \alpha\). Так как две прямые, перпендикулярные к плоскости, лежат в одной плоскости, то \(A_1ABB_1\) – прямоугольная трапеция. Проведем \(AH\perp BB_1\). Тогда \(AH=A_1B_1=24\). Следовательно, по теореме Пифагора \[HB=\sqrt{AB^2-AH^2}=7.\] Заметим также, что угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, следовательно, искомый угол – угол между \(AB\) и \(A_1B_1\). Так как \(AH\parallel A_1B_1\), то угол между \(AB\) и \(A_1B_1\) равен углу между \(AB\) и \(AH\).
Тогда \[\sin\angle BAH=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac7{25}=0,28.\]

Ответ: 0,28

Проведем перпендикуляр \(OH\) на плоскость треугольника.



Рассмотрим \(\triangle OAH, \triangle OBH, \triangle OCH\). Они являются прямоугольными и равны по катету и гипотенузе. Следовательно, \(AH=BH=CH\). Значит, \(H\) – точка, находящаяся на одинаковом расстоянии от вершин треугольника \(ABC\). Следовательно, \(H\) – центр описанной около него окружности. Так как \(\triangle ABC\) – правильный, то \(H\) – точка пересечения медиан (они же высоты и биссектрисы).
Так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, а \(AH\) – проекция \(AO\) на плоскость треугольника, то угол между \(AO\) и плоскостью треугольника равен \(\angle OAH\).
Пусть \(AA_1\) – медиана в \(\triangle ABC\), следовательно, \[AA_1=\sqrt{AB^2-BA_1^2}=\dfrac{3\sqrt3}2.\] Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины, то \[AH=\dfrac23AA_1=\sqrt3.\] Тогда из прямоугольного \(\triangle OAH\):\[\cos OAH=\dfrac{AH}{AO}=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]

Заметим, что из равенства треугольников \(OAH, OBH, OCH\) следует, что \(\angle OAH=\angle OBH=\angle OCH=60^\circ\).

Ответ: 60

Из условия следует, что прямая \(p\) пересекает плоскостью \(\pi\). Пусть \(p\cap l=O\), \(l\cap \pi=L\), \(p\cap\pi=P\).



Тогда \(\angle POL\) – угол между прямыми \(p\) и \(l\).
Так как угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то \(\angle OPL\) – угол между \(p\) и \(\pi\). Заметим, что \(\triangle OPL\) прямоугольный с \(\angle L=90^\circ\). Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\), то \(\angle POL+\angle OPL=90^\circ\).

Замечание.
Если прямая \(p\) не пересекает прямую \(l\), то проведем прямую \(p'\parallel p\), пересекающую \(l\). Тогда угол между прямой \(p\) и \(l\) будет равен углу между \(p'\) и \(l\). Аналогично угол между \(p\) и \(\pi\) будет равен углу между \(p'\) и \(\pi\). А для прямой \(p'\) уже верно предыдущее решение.

Ответ: 90

\(NM\) – средняя линия в треугольнике \(DBB_1\), тогда \(NM \parallel B_1D\) и \(\alpha\) равен углу между \(B_1D\) и плоскостью \((A_1B_1C_1D_1)\).

Так как \(DD_1\) – перпендикуляр к плоскости \(A_1B_1C_1D_1\), то \(B_1D_1\) проекция \(B_1D\) на плоскость \((A_1B_1C_1D_1)\) и угол между \(B_1D\) и плоскостью \((A_1B_1C_1D_1)\) есть угол между \(B_1D\) и \(B_1D_1\).

Пусть ребро куба \(x\), тогда по теореме Пифагора \[B_1D_1^2 = x^2 + x^2\qquad\Rightarrow\qquad B_1D_1 = x\sqrt{2}.\] В треугольнике \(B_1D_1D\) тангенс угла между \(B_1D\) и \(B_1D_1\) равен \(\mathrm{tg}\,\angle DB_1D_1=\dfrac{DD_1}{B_1D_1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\mathrm{tg}\,\alpha\), откуда \(\mathrm{tg}^2\, \alpha = \dfrac{1}{2}\).

Ответ: 0,5

Так как \(NB\) – часть \(BB_1\), а \(BB_1\perp (ABC)\), то и \(NB\perp (ABC)\). Следовательно, \(BM\) – проекция \(NM\) на плоскость \((ABC)\). Значит, угол \(\alpha\) равен \(\angle NMB\).

Пусть ребро куба равно \(x\). Тогда \(NB=0,5x\). По теореме Пифагора \(BD=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt2x\). Так как по условию \(BM:MD=1:2\), то \(BM=\frac13BD\), следовательно, \(BM=\frac{\sqrt2}3x\).

Тогда из прямоугольного \(\triangle NBM\): \[\mathrm{ctg}\,\alpha=\mathrm{ctg}\,\angle NMB=\dfrac{BM}{NB}=\dfrac{2\sqrt2}3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm{ctg}^2\,\alpha=8.\]

Ответ: 8

Искомый угол будет совпадать с углом между диагональю куба и диагональю любой его грани, т.к. в данном случае диагональ куба будет являться наклонной, диагональ грани – проекцией этой наклонной на плоскость грани. Таким образом, искомый угол будет равен, например, углу \(C_1AC\). Eсли обозначить ребро куба за \(x\), то \(AC=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt2 x\), тогда квадрат котангенса искомого угла: \[\mathrm{ctg^2}\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]

Ответ: 2

Проведем \(OH\perp(ABC)\).



Тогда \(AH\) – проекция прямой \(OA\) на плоскость \(ABC\) и необходимо найти косинус угла \(\angle OAH\).
Заметим, что \(\triangle OAB=\triangle OAC\) как прямоугольные по катету и гипотенузе. Следовательно, \(AB=AC\). Следовательно, \(\triangle ABH=\triangle ACH\) также как прямоугольные по катету и гипотенузе. Значит, \(\angle BAH=\angle CAH=30^\circ\).
По теореме Пифагора \[AB=\sqrt{AO^2-OB^2}=\sqrt3.\] Следовательно, \[\cos 30^\circ=\dfrac{AB}{AH}\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac{AB}{\cos 30^\circ}=2.\] Так как \(OH\perp (ABC)\), то \(OH\) перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, значит, \(\triangle OAH\) – прямоугольный. Тогда \[\cos \angle OAH=\dfrac{AH}{AO}=\dfrac25=0,4.\]

Ответ: 0,4