Математика
Русский язык

Тренировочные варианты "Школково". Уровень составитель ЕГЭ

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Уровень составитель ЕГЭ. Тренировочный вариант №1

Задание 1

Авиабилет стоит \(12000\) рублей. Двум пассажирам из группы в десять человек была сделана скидка в \(6\%\). Сколько в сумме отдали эти \(10\) пассажиров за перелёт?

Билет со скидкой стоит \(12000 \cdot (1 - 0,06) = 11280\) рублей. Из группы в десять человек двое летели со скидкой, остальные восемь платили по \(12000\) рублей за билет. В сумме эти \(10\) пассажиров отдали \(12000 \cdot 8 + 11280 \cdot 2 = 118560\) рублей.

Ответ: 118560

Задание 2

На рисунке жирными точками показано количество конфет, съеденных Лерой с \(7\) по \(20\) день диеты. По горизонтали указывается день от начала диеты, по вертикали – количество съеденных конфет в соответствующий день. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, через сколько дней после начала диеты Лера в первый раз за указанный промежуток времени съела в день \(3\) конфеты.



По рисунку видно, что в первый раз за данный период Лера съела \(3\) конфеты через \(9\) дней после начала диеты.

Ответ: 9

Задание 3

Острый угол ромба \(ABCD\) равен \(60^{\circ}\), одна из его сторон равна \(10\). Найдите меньшую из диагоналей этого ромба.



Пусть \(\angle A = 60^{\circ}\). В ромбе все стороны равны, тогда треугольник \(ABD\) – равнобедренный, у которого один из углов равен \(60^{\circ}\), следовательно, треугольник \(ABD\) – равносторонний и \(BD = 10\).

Треугольник \(ABC\) – тупоугольный. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда \(AC > AB = BD\), значит, \(BD\) – меньшая из диагоналей.

Ответ: 10

Задание 4

Из множества натуральных чисел от \(21\) до \(30\) наугад выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на \(3\) или на \(13\)?

Так как вероятности выбора любого числа из данного множества одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества чисел из данного множества, которые делятся на \(3\) или на \(4\), к количеству всевозможных чисел из данного множества.

Так как число от \(21\) до \(30\) не может одновременно делиться на \(3\) и на \(13\), то события \( \)“число делится на \(3\)\(\ \)и\(\ \)“число делится на \(13\)\( \) несовместны.

В данном множестве на \(3\) делятся: \(21\), \(24\), \(27\), \(30\), а на \(13\) делятся: \(26\). Всего в множестве натуральных чисел от \(21\) до \(30\) имеется \(10\) чисел, тогда вероятность того, что наугад взятое из них делится на \(3\) или на \(13\) равна \[\dfrac{5}{10} = 0,5.\]

Ответ: 0,5

Задание 5

Найдите сумму корней уравнения

\[\begin{aligned} \pi x - \dfrac{1}{\pi} x^3 - 2\pi + \dfrac{2}{\pi} x^2 = 0, \end{aligned}\]

если известно, что все они различны.

Перепишем уравнение по убыванию степеней переменной:

\[-\dfrac1{\pi}x^3+\dfrac2{\pi}x^2+\pi x-2\pi=0.\]

По теореме Виета для уравнения третьей степени \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) сумма его корней (при учёте того, что все они различны) равна \(-\dfrac{b}{a}\), следовательно, сумма корней рассматриваемого уравнения равна \[-\dfrac{\frac{2}{\pi}}{-\frac{1}{\pi}} = 2.\]

Ответ: 2

Задание 6

В параллелограмме \(ABCD\): \(AB = 6\), \(BC = 5\), \(\sin{\angle A} + \sin{\angle B} + \sin{\angle C} + \sin{\angle D} = 3,24\). Найдите площадь параллелограмма \(ABCD\).




 

В параллелограмме противоположные углы равны, а односторонние углы в сумме составляют \(180^{\circ}\).

Так как \(\sin{(\pi - \alpha)} = \sin{\alpha}\), то \(\sin{\angle A} + \sin{\angle B} + \sin{\angle C} + \sin{\angle D} = 4 \sin{\angle A}\), откуда находим \(\sin{\angle A} = 0,81\).

Площадь параллелограмма равна произведению двух его непараллельных сторон на синус угла между ними, тогда \[S_{ABCD} = 6\cdot 5\cdot 0,81 = 24,3.\]

Ответ: 24,3

Задание 7

На рисунке изображены график функции \(y = f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\). Найдите значение производной функции \(f'(x)\) в точке \(x_0\).

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

По рисунку видно, что касательная проходит через точки \((0,5; 1)\) и \((1,5; 1,5)\), тогда тангенс угла наклона касательной составляет \(0,5 : 1 = 0,5\), следовательно, \(f'(x_0) = 0,5\).

Ответ: 0,5

Задание 8

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб. Точка \(N\) – середина ребра \(BB_1\), а точка \(M\) – середина отрезка \(BD\). Найдите \(\mathrm{tg}^2\, \alpha\), где \(\alpha\) – угол между прямой, содержащей \(MN\) и плоскостью \((A_1B_1C_1D_1)\). Ответ дайте в градусах.




 

\(NM\) – средняя линия в треугольнике \(DBB_1\), тогда \(NM \parallel B_1D\) и \(\alpha\) равен углу между \(B_1D\) и плоскостью \((A_1B_1C_1D_1)\).

Так как \(DD_1\) – перпендикуляр к плоскости \(A_1B_1C_1D_1\), то \(B_1D_1\) проекция \(B_1D\) на плоскость \((A_1B_1C_1D_1)\) и угол между \(B_1D\) и плоскостью \((A_1B_1C_1D_1)\) есть угол между \(B_1D\) и \(B_1D_1\).

Пусть ребро куба \(x\), тогда по теореме Пифагора \[B_1D_1^2 = x^2 + x^2\qquad\Rightarrow\qquad B_1D_1 = x\sqrt{2},\] аналогично по теореме Пифагора \[B_1D = x\sqrt{3}.\] В треугольнике \(B_1D_1D\) тангенс угла между \(B_1D\) и \(B_1D_1\) равен \(\dfrac{DD_1}{B_1D_1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\), откуда \(\mathrm{tg}^2\, \alpha = \dfrac{1}{2}\).

Ответ: 0,5

Задание 9

Найдите значение выражения \((\log_{17}289) \cdot \left(\log_{500}\dfrac{1}{500}\right)\).

По определению логарифма \(\log_{17}289\) – это степень, в которую надо возвести 17, чтобы получить 289. Таким образом, \(\log_{17}289 = 2\). Аналогично можно сделать вывод, что \[\log_{500}\dfrac{1}{500} = -1.\] Итого: \((\log_{17}289) \cdot \left(\log_{500}\dfrac{1}{500}\right) = -2\).

Ответ: -2

Задание 10

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона: \(pV = \nu RT\), где \(p\) – давление в паскалях, \(V\) – объем в \(м^3\), \(\nu\) – количество вещества в молях, \(T\) – температура в кельвинах, \(R\) – универсальная газовая постоянная, равная \(8,31\, Дж/(К\cdot моль)\). В какое минимальное число раз надо увеличить температуру совершенного газа, чтобы при неизменном давлении его объем вырос не менее, чем в \(5\) раз?

Обозначим начальные параметры с индексом \(0\). При увеличении объема не менее чем в \(5\) раз имеем: \[\nu R T \geqslant 5pV_0 = 5\nu R T_0,\] откуда \(T \geqslant 5T_0\), то есть чтобы чтобы при неизменном давлении газа его объем вырос не менее чем в \(5\) раз надо увеличить его температуру минимум в \(5\) раз.

Ответ: 5

Задание 11

На озере расположены пристани А и В. Расстояние между пристанями равно \(90\, км\). Моторная лодка проплыла от А до В с постоянной скоростью, после чего сразу отправилась обратно со скоростью на \(5\, км/ч\) больше прежней. На середине пути из В в А лодка замедлилась и поплыла со скоростью на \(2,5\, км/ч\) меньшей, чем по дороге из А в В. В результате лодка затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость лодки на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Пусть \(v\, км/ч\) – скорость лодки по пути от А до В, тогда

 

\(\dfrac{90}{v}\, ч\) – время, затраченное лодкой на путь из А в В,

 

\(\dfrac{45}{v + 5}\, ч\) – время, затраченное лодкой на первую половину пути из В в А,

 

\(\dfrac{45}{v - 2,5}\) – время, затраченное лодкой на вторую половину пути из В в А.

 

Так как в итоге лодка проплыла из В в А за такое же время, как и из А в В, то: \[\dfrac{90}{v} = \dfrac{45}{v + 5} + \dfrac{45}{v - 2,5},\] откуда \(v = 10\, км/ч\).

Ответ: 10

Задание 12

Найдите точку локального максимума функции

\(y = (x + 1)\cdot e^{-x + \sqrt{2}} + e^{2}\).

1) \(y' = e^{-x + \sqrt{2}} - (x + 1)\cdot e^{-x + \sqrt{2}} = -x\cdot e^{-x + \sqrt{2}}\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-x\cdot e^{-x + \sqrt{2}} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\] (так как \(e^{t} > 0\) при любом \(t\)). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 0\) – точка локального максимума функции \(y\).

Ответ: 0

Задание 13

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \sin(2x) - 2\sqrt{3}\cos^2x-4\sin x + 4\sqrt{3}\cos x = 0. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]\).

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное.
По формуле синуса двойного угла: \[2\sin x\cdot\cos x - 2\sqrt{3}\cos^2x-4\sin x + 4\sqrt{3}\cos x = 0.\] Сгруппируем первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:

\[\begin{aligned} 2\sin x(\cos x - 2) - 2\sqrt{3}\cos x(\cos x - 2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (\cos x - 2)(\sin x - \sqrt{3}\cos x) = 0. \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл: \[\cos x = 2\qquad \text{или}\qquad \sin x - \sqrt{3}\cos x = 0.\] Так как \(-1 \leqslant\cos x\leqslant 1\), то \(\cos x = 2\) не подходит.
\[\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0.\] Так как те \(x\), при которых \(\cos x = 0\) не могут быть решениями, то на \(\cos x\) можно разделить: \[\mathrm{tg}\, x = \sqrt{3}.\]

Решения уравнения \(\mathrm{tg}\, x = a\) имеют вид \(x = \mathrm{arctg}\, a + \pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,   решения уравнения \(\mathrm{tg}\, x = \sqrt{3}\) имеют вид \(x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k, k\in\mathbb{Z}\).

б) \[\pi \leqslant \dfrac{\pi}{3} + \pi k \leqslant \dfrac{5\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{2}{3} \leqslant k \leqslant \dfrac{13}{6},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда подходят \(x\) при \(k = 1\) и \(k = 2\): \(x = \dfrac{4\pi}{3}\) и \(x = \dfrac{7\pi}{3}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{3} + \pi k, k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{4\pi}{3}\), \(\dfrac{7\pi}{3}\).

Задание 14

Дана правильная треугольная пирамида \(SABC\) с вершиной \(S\). Проведите плоскость через середину ребра \(AC\) и точки пересечения медиан граней \(ASB\) и \(CSB\). Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если \(AB=21, AS=12\sqrt2\).

1) Пусть\(K\) – середина \(AC\), \(SX, AL\) – медианы грани \(ASB\), \(CL, SY\) – медианы грани \(CSB\), \(AL\cap SX=M, CL\cap SY=N\). \(SO\) – высота пирамиды.

 

Найдем сечение пирамиды плоскостью \(MNK\).
Т.к. пирамида правильная, то \(\triangle SXY\) – равнобедренный, \(SM=SN=\dfrac{2}{3}SX \Rightarrow MN\parallel XY \Rightarrow MN\parallel (ABC)\). Таким образом, плоскость \(MNK\) содержит прямую \(MN\), параллельную \(ABC\), следовательно, плоскость \(MNK\) пересечет плоскость \(ABC\) по прямой, параллельной \(MN\) (если это не так, то линия пересечения этих плоскостей \(l\cap MN=E \Rightarrow E\in (ABC)\) и \(E\in MN \Rightarrow MN\) не может быть параллельна \((ABC)\)).

 

 

Прямая, проходящая через точку \(K\) и параллельная \(MN\) (или \(XY\)) – это \(AC\). Следовательно, сечением является равнобедренный треугольник \(ALC\).

 

2) Пусть \(LK\cap SO=H\). Тогда по теореме о трех перпендикулярах \(HK\perp AC\) как наклонная (\(HO\perp (ABC), OK\perp AC\) как проекция). Следовательно, и \(LK\perp AC\).

 

Тогда \(S_{ALC}=\dfrac{1}{2}AC\cdot LK\).

 


 

Рассмотрим \(\triangle SKB: \ BK=AB\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{21\sqrt3}{2} \Rightarrow \cos B=\dfrac{7\sqrt3}{12\sqrt2}\).

 

Тогда по теореме косинусов для \(\triangle KLB\):

 

\(KL^2=\dfrac{729}{4} \Rightarrow KL=\dfrac{27}{2}\)

 

Значит, \(S_{ALC}=\dfrac{567}{4}\).

Ответ:

\(\dfrac{567}{4}\).

Задание 15

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 125^x + 7\cdot 25^x + 12\cdot 5^x + \log_5 15625\leqslant 25^x + 5^x \end{aligned}\]

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Так как \(\log_5 15625 = \log_5 5^6 = 6\), то исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 125^x + 6\cdot 25^x + 11\cdot 5^x + 6\leqslant 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(5^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} t^3 + 6t^2 + 11t + 6\leqslant 0 \end{aligned}\]

Можно угадать корень левой части последнего неравенства: \(t = -1\). Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на \(t - t_0\), где \(t_0\) – его корень, тогда \[\begin{array}{rr|l} t^3+6t^2+11t+6&&\negthickspace\underline{\qquad t+1 \qquad}\\ \underline{t^3+\ t^2} \phantom{000000000}&&\negthickspace \ t^2 + 5t + 6\\[-3pt] 5t^2 + 11t\,\phantom{000}&&\\ \underline{5t^2 + 5t\,}\phantom{000}&&\\[-3pt] 6t + 6 &&\\ \underline{6t + 6}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} (t + 1)(t^2 + 5t + 6)\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t + 1)(t + 2)(t + 3)\leqslant 0, \end{aligned}\]

то есть оно не выполняется при \(t > 0\), следовательно, ответ: \[x\in\varnothing\,.\]

Ответ:

\(\varnothing\)

Задание 16

\(ABCDEF\) – выпуклый шестиугольник, про который известно, что \(\angle A > 120^\circ\), \(\angle B\leqslant 70^\circ\), \(\angle C \geqslant 130^\circ\), \(\angle E \geqslant 110^\circ\).

а) Докажите, что около хотя бы одного из четырёхугольников \(ABCD\), \(ACDE\) и \(ACDF\) нельзя описать окружность.

б) Найдите периметр \(ABCDEF\), если \(AB + CD + EF = 11\).

а) Если около четырёхугольника \(ABCD\) можно описать окружность, то она будет описанной и для треугольника \(ACD\).

Если около четырёхугольника \(ACDE\) можно описать окружность, то она будет описанной и для треугольника \(ACD\).

Если около четырёхугольника \(ACDF\) можно описать окружность, то она будет описанной и для треугольника \(ACD\).

Так как около треугольника можно описать ровно одну окружность, то описанные около четырёхугольников \(ABCD\), \(ACDE\) и \(ACDF\) окружности должны совпасть, следовательно, тогда шестиугольник \(ABCDEF\) также будет вписанным.

Таким образом, достаточно показать, что около \(ABCDEF\) нельзя описать окружность.


 

Пусть шестиугольник \(ABCDEF\) – вписанный, тогда

\[\begin{aligned} &\angle A + \angle C + \angle E = 0,5\cdot\smile BCDEF + 0,5\cdot\smile BAFED + 0,5\cdot\smile FABCD =\\ &= 0,5(360^\circ - \smile BAF) + 0,5(360^\circ - \smile BCD) + 0,5(360^\circ - \smile FED) =\\ &= 540^\circ - 0,5(\smile BAF + \smile BCD + \smile FED) = 360^\circ, \end{aligned}\]

но \(\angle A + \angle C + \angle E > 360^\circ\), следовательно, около \(ABCDEF\) нельзя описать окружность, откуда следует, что около хотя бы одного из четырёхугольников \(ABCD\), \(ACDE\) и \(ACDF\) нельзя описать окружность.

 

б)

 

Пользуясь тем, что отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны, обозначим длины отрезков касательных, проведённых из точки \(A\), через \(a\), длины отрезков касательных, проведённых из точки \(B\), через \(b\) и т.д.

\[11 = AB + CD + EF = a + b + c + d + e + f = 0,5\cdot P_{ABCDEF},\] откуда \(P_{ABCDEF} = 22\).

Ответ:

б) \(22\).

Задание 17

Елена решила сделать вклад в банк в размере \(351\,000\) рублей под целое число \(y \%\) годовых. Какую наибольшую годовую ставку ей может предложить банк, чтобы к началу третьего года сумма на счете Елены не превысила \(1\,092\,000\) рублей? Известно, что Елена планирует в конце первого и второго годов дополнительно после начисления процентов вносить на счет треть от суммы, имеющейся на счете на начало текущего года.

Составим таблицу, обозначив за \(t=\dfrac{100+y}{100}, \ A=351\,000\): \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма на счете} & \text{Сумма на счете} & \text{Сумма на счете}\\ & \text{до начисления }\% & \text{после начисления }\% & \text{после дополнительного взноса} \\ \hline &&&\\ 1 & A & t A & t A+\dfrac{1}{3}A\\ &&&\\ \hline &&&\\ 2 & tA+\dfrac{1}{3}A & t\left(tA+\dfrac{1}{3}A\right) & t\left(tA+\dfrac{1}{3}A\right)+\dfrac{1}{3}\left(tA+\dfrac{1}{3}A\right) \\ &&&\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, на начало третьего года на счете у Елены будет та же сумма, которая была на счете на конец второго года после начисления процентов и после внесения второго дополнительного взноса, т.е.

\(t\left(tA+\dfrac{1}{3}A\right)+\dfrac{1}{3}\left(tA+\dfrac{1}{3}A\right)\).

Необходимо, чтобы \(t(tA+\dfrac{1}{3}A)+\dfrac{1}{3}(tA+\dfrac{1}{3}A) \leqslant 1\,092\,000\)

Заметим, что \(1\,092\,000=\dfrac{28\cdot 351\,000}{9}=\dfrac{28}{9}A \Rightarrow\) неравенство примет вид:

\(3t^2+2t-9 \leqslant 0 \Rightarrow t \leqslant \dfrac{2\sqrt7-1}{3}\), т.к. \(t>0\).

Значит, \( y \leqslant \dfrac{200}{3}(\sqrt7-2)\)

Оценим \(\dfrac{200}{3}(\sqrt7-2)\):

\(2645<\sqrt{7000000}<2646 \Rightarrow\\ 2645<1000\sqrt7<2646 \Rightarrow\\ 0,645<\sqrt7-2<0,646 \Rightarrow\\ \\ 43<\dfrac{200}{3}(\sqrt7-2)<\dfrac{129,2}{3}\)

Таким образом, т.к. \(\dfrac{129,2}{3}=43\dfrac{1}{15}\), наибольшее целое \(y=43 \%\).

Ответ:

\(43\%\).

Задание 18

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых ровно один корень уравнения \[ax^2+4x+a+1=0\] больше \(1\).

Рассмотрим два случая:

1) \(a=0\). Тогда уравнение становится линейным и \(x=-\dfrac{1}{4}\). Это значения параметра нам не подходит.

 

2) \(a\ne 0\). Тогда уравнение является квадратным.Его дискриминант \(D=4(4-a^2-a)\).

 

а) Если \(D=0 \Rightarrow a=\dfrac{-1\pm \sqrt{17}}{2} \Rightarrow\) уравнение \(ax^2+4x+a+1=0\) имеет один корень \(x=-\dfrac{2}{a}\).

 

При \(a=\dfrac{-1+ \sqrt{17}}{2}\) это корень \(x=-\dfrac{4}{\sqrt{17}-1}<0<1\), следовательно, это значение параметра не подходит.

 

При \(a=\dfrac{-1- \sqrt{17}}{2}\) это корень \(x=\dfrac{4}{\sqrt{17}+1}=\dfrac{4(\sqrt{17}-1)}{\sqrt{17}^2-1^2}=\dfrac{\sqrt{17}-1}{4}<1\),

 

следовательно, это значение параметра также не подходит.

 

б) Если \(D>0 \Rightarrow a\in \left(\dfrac{-1- \sqrt{17}}{2} ;\dfrac{-1+ \sqrt{17}}{2} \right) \Rightarrow\) уравнение \(ax^2+4x+a+1=0\) имеет два корня.

 

Графиком функции \(f(x)=ax^2+4x+a+1\) при каждом фиксированном \(a\) является парабола,

причем при \(a\in \left(0;\dfrac{-1+ \sqrt{17}}{2}\right)\) ветви направлены вверх, при \(a\in \left(\dfrac{-1- \sqrt{17}}{2};0\right)\) ветви направлены вниз:




 

Для того, чтобы уравнение имело ровно один корень больше \(1\), нужно:

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} 0<a<\dfrac{-1+ \sqrt{17}}{2}\\ f(1)<0 \end{cases}\\[5pt] &\begin{cases} \dfrac{-1- \sqrt{17}}{2}<a<0\\ f(1)>0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Longrightarrow \quad -\dfrac{5}{2}<a<0\]

Ответ:

\(a\in \left(-\dfrac{5}{2};0\right)\).

Задание 19

Докажите, что среди любых \(n+1\) натуральных чисел найдутся два, разность которых делится на \(n\).

Всего при делении на \(n\) существует \(n\) различных остатков, а так как чисел \(n+1\), то по принципу Дирихле найдутся \(2\) числа с одинаковыми остатками, следовательно, их разность будет делиться на \(n\).

Ответ:

Доказательство