Математика
Русский язык

7. Взаимосвязь функции и ее производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = x\), образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\). Найдите \(\mathrm{tg}\, \alpha\).

Добавить задание в избранное


 

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

Так как для прямой \(y = x\) коэффициент \(k\) равен \(1\), то \(\mathrm{tg}\, \alpha = 1\).

Ответ: 1

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = 2x - 3\), образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\). Найдите \(\mathrm{tg}\, \alpha\).

Добавить задание в избранное


 

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

Так как для прямой \(y = 2x - 3\) коэффициент \(k\) равен \(2\), то \(\mathrm{tg}\, \alpha = 2\).

Ответ: 2

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = -x + 2\), образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\). Найдите \(\mathrm{tg}\, \alpha\).

Добавить задание в избранное


 

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

Так как для прямой \(y = -x + 2\) коэффициент \(k\) равен \(-1\), то \(\mathrm{tg}\, \alpha = -1\).

Ответ: -1

Задание 4
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = kx + 77\), образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\). Найдите \(k\), если \(\mathrm{tg}\, \alpha = 12\).

Добавить задание в избранное

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

Так как тангенс угла \(\alpha\) между прямой \(y = kx + 77\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(12\), то \(k = \mathrm{tg}\, \alpha = 12\).

Ответ: 12

Задание 5
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = kx + 0,2\), образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\). Найдите \(k\), если \(\mathrm{tg}\, \alpha = -3,3\).

Добавить задание в избранное

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

Так как тангенс угла \(\alpha\) между прямой \(y = kx + 0,2\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(-3,3\), то \(k = \mathrm{tg}\, \alpha = -3,3\).

Ответ: -3,3

Задание 6
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = kx\), образует с положительным направлением оси \(Ox\) угол \(\alpha\). Найдите \(k\), если \(\mathrm{tg}\, \alpha = 0\).

Добавить задание в избранное

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

Так как тангенс угла \(\alpha\) между прямой \(y = kx\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(0\), то \(k = \mathrm{tg}\, \alpha = 0\).

Ответ: 0

Задание 7
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая \(y = kx - 2016\) образует угол \(45^{\circ}\) с положительным направлением оси \(Ox\). Найдите \(k\).

Добавить задание в избранное


 

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

 

Так как угол между прямой \(y = kx - 2016\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(\dfrac{\pi}{4}\), то \(k = \mathrm{tg}\, \dfrac{\pi}{4} = 1\).

Ответ: 1

1 2 3

Задания по теме «Взаимосвязь функции и ее производной» являются обязательной частью ЕГЭ по математике. Как правило, эту тему учащиеся подробно изучают в 8-9 классе. Неудивительно, что при подготовке к сдаче единого государственного экзамена выпускники нуждаются в повторении основных формул из темы «Исследование функции с помощью производной». При этом такие задания включаются и в базовый, и в профильный уровень экзамена. Именно поэтому выполнять необходимые построения для того, чтобы быстро получить правильный ответ, должны уметь все старшеклассники. Понимая, что такое производная функция, чему может быть равно ее значение, и умея ее исследовать и производить правильные вычисления, учащиеся смогут рассчитывать на получение достаточно высоких баллов по итогам написания ЕГЭ.

Базовые моменты, которые необходимо усвоить

Чтобы найти производную функции в точке и успешно справляться с задачами, в которых требуется краткое или подробное решение, важно учесть несколько основных нюансов. Учащимся стоит запомнить, что:

  • В интервалах возрастания производные заданных функций имеют положительные значения.

  • Если речь идет об интервалах убывания, знак меняется на отрицательный.

  • Производная в определенной точке равняется угловому коэффициенту касательной, которая проведена к графику функции в этой же точке.

  • Значение производной в точках экстремума соответствует нулю.

Как сделать процесс подготовки к аттестационному испытанию более легким и эффективным?

Занимаясь перед экзаменом, многие старшеклассники сталкиваются с проблемой поиска полезного источника информации. Учебника в нужный момент может просто не оказаться под рукой. А поиск нужных формул, примеров их применения и построения производной функции порой бывает достаточно трудоемким, даже в Интернете в онлайн-режиме.

Образовательный математический портал «Школково» предлагает придерживаться нового подхода к подготовке к единому государственному экзамену. Занимаясь на нашем сайте, старшеклассники смогут определить наиболее сложные для себя темы и ликвидировать пробелы в знаниях.

Чтобы задания по теме «Связь функции и производной» не вызывали затруднений, мы рекомендуем начать подготовку не с разбора примеров их решения и нахождения нужного значения на заданном промежутке, а с повторения базовой теоретической информации. Этот материал вы найдете в соответствующем разделе нашего сайта. Он изложен настолько понятно, что усвоить его смогут школьники с разным уровнем подготовки.

После повторения базовой информации мы предлагаем попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Обширная база заданий представлена в разделе «Каталог». Мы сгруппировали как простые, так и более сложные задачи по теме «Нахождение функции с помощью производной» и для каждой из них подробно прописали алгоритм решения, чтобы школьники смогли понять, как правильно вычислить ответ. База заданий в соответствующем разделе постоянно дополняется и обновляется.

Практиковаться в выполнении упражнений к ЕГЭ на сайте «Школково» имеют возможность все выпускники вне зависимости от региона их проживания. Если необходимо, любое задание можно сохранить в разделе «Избранное». Так учащиеся смогут оперативно вернуться к нужной задаче, еще раз повторить алгоритм ее решения и обсудить его с преподавателем или репетитором.