Математика ЕГЭ Профиль
Русский язык ЕГЭ

Тренировочные варианты "Школково". Уровень Максим Олегович

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Уровень Максим Олегович. Тренировочный вариант №2

Задание 1

Прыжок с парашютом стоит \(1800\) рублей. В воскресение действует акция: на группу парашютистов каждый третий прыжок в подарок. Сколько в сумме заплатит группа из \(12\) человек, если все прыгнут в воскресенье по разу? Ответ дайте в рублях.

Так как для группы парашютистов каждый третий прыжок бесплатно, то можно считать, что \(3\) прыжка стоят \(1800 \cdot 2 = 3600\) рублей. Группа из \(12\) человек совершит \(12 = 3 \cdot 4\) прыжков, то есть можно считать, что будет совершено \(4\) серии по \(3\) прыжка в каждой. Группа из \(12\) человек заплатит в сумме \(4 \cdot 3600 = 14400\) рублей.

Ответ: 14400

Задание 2

На рисунке показано изменение температуры в пустыне Сахара в течение \(5\) часов с полуночи. По горизонтали указывается время, отсчитываемое с полуночи, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по рисунку, за сколько часов температура поднимается с \(20\) градусов до \(40\).



По рисунку видно, что температура достигает значения в \(20\) градусов Цельсия в \(2\) часа, а значения в \(40\) градусов Цельсия в \(4\) часа. Температура поднимается с \(20\) градусов Цельсия до \(40\) за \(4 - 2 = 2\) часа.

Ответ: 2

Задание 3

Основания \(AD\) и \(BC\) трапеции \(ABCD\) равны соответственно \(20\) и \(12\), одна из боковых сторон равна \(10\), площадь трапеции \(ABCD\) равна \(80\). Найдите острый угол трапеции \(ABCD\), который образует эта боковая сторона с одним из оснований. Ответ дайте в градусах.

Пусть \(AB = 10\), \(BE\) – перпендикуляр к \(AD\), точка \(E\) лежит на \(AD\).

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, тогда \(80 = 0,5(20 + 12)\cdot BE\).

\(BE = 5 = 0,5\cdot AB\). Треугольник \(ABE\), – прямоугольный, причём \(BE = 0,5\cdot AB\), тогда угол, лежащий против катета \(BE\), равен \(30^{\circ}\).

\(\angle BAE = 30^{\circ}\) – единственный острый угол трапеции \(ABCD\), который образует \(AB\) с одним из оснований.

Ответ: 30

Задание 4

Монетку подбросили \(1001\) раз. Какова вероятность того, что выпало более \(500\) орлов? Ответ округлите до десятых.

Вероятность выпадения более \(500\) орлов равна вероятности выпадения более \(500\) решек (орёл и решка “равноправны”). Но “выпало более \(500\) решек” – то же самое, что “выпало менее \(501\) орла”. Таким образом, вероятность выпадения более \(500\) орлов равна вероятности выпадения менее \(501\) орла.

Но события “выпало более \(500\) орлов” и “выпало менее \(501\) орла” в объединении содержат все возможные исходы серии из \(1001\) подбрасывания.

При этом эти события не могут наступить одновременно, следовательно, вероятность того, что наступит какое-нибудь из них равна сумме их вероятностей и равна \(1\).

Таким образом, вероятность события “выпало более \(500\) орлов” равна \(0,5\).

Ответ: 0,5

Задание 5

Найдите корень уравнения \[\cos{\left(\dfrac{\pi\sqrt{2}}{3} x\right)} = \cos{\left(\dfrac{0,3\pi\sqrt{2}}{3}\right)}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\cos x = a\) имеет вид: \(x = \pm \mathrm{arccos}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), тогда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi\sqrt{2}}{3} x = \pm \dfrac{0,3\pi\sqrt{2}}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = \pm 0,3 + 3\sqrt{2}n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 0,3\) при \(n = 0\).

Ответ: 0,3

Задание 6

Хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(P\), причём \(AP = 6\), \(PB = 4\), \(PC = 3\). Найдите \(PD\).

Произведение отрезков одной из пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой. Покажем это:
Соединим \(AC\) и \(BD\):

Рассмотрим треугольники \(APC\) и \(PBD\):
\(\angle APC = \angle BPD\), как вертикальные,
\(\angle ACD\) и \(\angle ABD\) – вписанные, опирающиеся на одну дугу, следовательно, \(\angle ACD = \angle ABD\).

Таким образом, треугольники \(APC\) и \(PBD\) – подобны по двум углам. Из их подобия следует, что \[\dfrac{CP}{PB} = \dfrac{AP}{PD}\] (в подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны), откуда можно получить \(CP \cdot PD = AP \cdot PB\).
В данной задаче имеем: \(3 \cdot PD = 6 \cdot 4\), откуда \(PD = 8\).

Ответ: 8

Задание 7

На рисунке изображён график функции \(y = F(x)\) – одной из первообразных некоторой функции \(y = f(x)\), определённой на интервале \((-1,1; 8,3)\). Определите по рисунку количество решений уравнения \(f(x) = 0\) на отрезке \([-1; 6]\).

По определению первообразной \(f(x) = F'(x)\), тогда уравнение \(f(x) = 0\) равносильно \(F'(x) = 0\). Производная функции равна \(0\) в точности в тех точках, где касательная к её графику параллельна оси \(Ox\).

По рисунку видно, что на отрезке \([-1; 6]\) касательная к графику \(y = F(x)\) параллельна оси \(Ox\) в \(6\) точках (в точках с абсциссами \(x = -0,5\), \(x = 1\), \(x = 2\), \(x = 3\), \(x = 5\)).

Ответ: 5

Задание 8

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб с длиной ребра равной \(\sqrt[4]{17}\). Точка \(M\) лежит на ребре \(DD_1\) так, что \(MD_1 = 3MD\). Найдите площадь сечения куба, проведённого через точку \(M\) и ребро \(AB\).



Пусть \(N\) – точка на \(CC_1\), такая что \(NC_1 = 3NC\), тогда \(MN\parallel CD\parallel AB\), следовательно, сечение, проходящее через точку \(M\) и ребро \(AB\) – четырёхугольник \(AMNB\), причём \((AA_1D_1D) \bot MN\), следовательно, \(AM \bot MN\). Аналогично \(MN\bot BN\bot AB\), то есть \(AMNB\) – прямоугольник. \[S_{AMNB} = AM\cdot MN = AM\cdot \sqrt[4]{17}.\] Найдём \(AM\) по теореме Пифагора: \[AM = \sqrt{AD^2 + MD^2} = \sqrt{AD^2 + (0,25AD)^2} = \sqrt{\dfrac{17}{16}AD^2} = \dfrac{\sqrt{17}}{4}AD = \dfrac{\sqrt[4]{17^3}}{4}.\] Тогда \(S_{AMNB} = \dfrac{\sqrt[4]{17^3}}{4} \cdot \sqrt[4]{17} = \dfrac{17}{4} = 4,25\).

Ответ: 4,25

Задание 9

Найдите \(g(\mathrm{arccos}\, \alpha)\), если \(g(r) = \cos r + 1\), \(\alpha = 0,5\).

\[g(\mathrm{arccos}\, \alpha) = \cos (\mathrm{arccos}\, \alpha) + 1 = \alpha + 1,\] что при \(\alpha = 0,5\) равно \(0,5 + 1 = 1,5\).

Ответ: 1,5

Задание 10

Материальная точка \(N\) движется в поле силы тяжести. Для неё справедлив закон сохранения энергии в виде \[\dfrac{mv^2}{2}+mgz = h,\] где \(v = 6\, м/с\) – ее скорость, \(g = 10\, м/с^2\) – ускорение свободного падения, \(z\) – высота над уровнем моря, на которой находится точка (в метрах), \(h\) – ее механическая энергия в Дж, \(m\) – ее масса в кг. Определите, какое наименьшее значение может иметь масса точки, чтобы существовало значение \(z \in [5; 10]\), при котором механическая энергия оказалась бы не менее, чем \(236\, Дж\). Ответ дайте в килограммах.

Для некоторого \(z\in[5; 10]\) должно выполняться \[18m + 10mz \geqslant 236\qquad\Leftrightarrow\qquad (18 + 10z)m \geqslant 236\qquad\Leftrightarrow\qquad m\geqslant \dfrac{118}{9 + 5z}.\]

Рассмотрим отдельно выражение \(\dfrac{118}{9 + 5z}\) при \(z\in[5; 10]\):

\(5 \leqslant z \leqslant 10\), тогда \(25 \leqslant 5z \leqslant 50\), тогда \(34 \leqslant 9 + 5z \leqslant 59\), тогда \[\dfrac{1}{59} \leqslant\dfrac{1}{9+5z} \leqslant\dfrac{1}{34}\qquad\Leftrightarrow\qquad 2 \leqslant\dfrac{118}{9+5z} \leqslant\dfrac{118}{34}.\] В итоге на \(z\in[5;10]\): \[m \geqslant \dfrac{118}{9 + 5z} \geqslant 2,\] следовательно, для выполнения условия задачи \(m\) не может быть меньше \(2\), причём при \(z = 10\) неравенство \[m\geqslant \dfrac{118}{9 + 5z}\] принимает вид \(m\geqslant 2\), следовательно, наименьшее допустимое значение массы точки \(N\) равно \(2\, кг\).

Ответ: 2

Задание 11

Зарплата учителя каждый год растёт на \(2\%\) по сравнению с предыдущим годом. В \(2011\) году зарплата учителя составляла \(250\,000\) рублей в год. Какой оказалась зарплата учителя за \(2014\) год? Ответ дайте в рублях.

Последовательность зарплат в рублях, выплаченных за \(2011\), \(2012\) и т.д. года соответственно, представляет собой геометрическую прогрессию.

Её первый член равен \(250000\). Её четвёртый член \(b_4 = 250000 \cdot (1 + 0,02)^3 = 265302\). Таким образом, \(265302\) рубля составила зарплата учителя за \(2014\) год.

Ответ: 265302

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции

\(y = -\log_{17}(2x^2 - 2\sqrt{2}x + 2)\).

ОДЗ: \(2x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 > 0\). Решим на ОДЗ:

1) Обозначим \(2x^2-2\sqrt{2}x+2=t(x)\), тогда \(y(t)=-\log_{17}t\).

\[y' = y'_t\cdot t'_x = (-\log_{17}t)'\cdot(2x^2-2\sqrt{2}x+2)' = -\dfrac{1}{\ln 17}\cdot\dfrac{1}{t}\cdot(4x-2\sqrt{2}) = -\dfrac{1}{\ln 17}\cdot\dfrac{4x-2\sqrt{2}}{2x^2-2\sqrt{2}x+2}.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-\dfrac{1}{\ln 17}\cdot\dfrac{4x-2\sqrt{2}}{2x^2-2\sqrt{2}x+2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt{2} = 0\] – на ОДЗ, откуда находим корень \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Производная функции \(y\) не существует при \(2x^2-2\sqrt{2}x+2 = 0\), но у данного уравнения отрицательный дискриминант, следовательно, у него нет решений. Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

 

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика:



Таким образом, наибольшее значение функция достигает в \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\):

\(y\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\log_{17}1 = 0\),

Итого: \(0\) – наибольшее значение функции \(y\).

Ответ: 0

Задание 13

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} (\mathrm{tg}^2\,(2x) + \mathrm{ctg}^2\,(2x) - 2)\cdot \mathrm{arcsin}\, (x^2) = 0. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \([-\pi; 0]\).

ОДЗ: \[\sin 2x \neq 0,\quad \cos 2x \neq 0,\quad -1 \leqslant x^2 \leqslant 1\] (так как \(\mathrm{tg}\, (2x)\) не теряет смысл при \(\cos (2x) \neq 0\), \(\mathrm{ctg}\, (2x)\) не теряет смысл при \(\sin (2x) \neq 0\), \(\mathrm{arcsin}\, (x^2)\) не теряет смысл при \(-1 \leqslant x^2 \leqslant 1\)). Решим на ОДЗ:

а) Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла.

 

Рассмотрим сначала уравнение \[\mathrm{arcsin}\, (x^2) = 0.\] По определению \(\mathrm{arcsin}\, (x^2)\) – это угол в радианах, лежащий на \(\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]\), синус которого равен \(x^2\). \[\mathrm{arcsin}\, (x^2) = 0\qquad\Rightarrow\qquad \sin (0) = x^2 \qquad\Rightarrow\qquad x^2 = 0\qquad\Rightarrow\qquad x = 0.\]

Однако, \(x = 0\) не подходит по ОДЗ, следовательно \(x = 0\) – не является корнем исходного уравнения.

 

Рассмотрим теперь \[\mathrm{tg}^2\,(2x) + \mathrm{ctg}^2\, (2x) - 2 = 0\] заметим, что на ОДЗ \(\mathrm{tg}\, (2x)\cdot\mathrm{ctg}\, (2x) = 1\), тогда \(\mathrm{ctg}\, (2x) = \dfrac{1}{\mathrm{tg}\, (2x)}\).   Сделаем замену \(\mathrm{tg}\, (2x) = t\), тогда рассматриваемое уравнение примет вид

\[\begin{aligned} t^2 + \dfrac{1}{t^2} - 2 = 0, \end{aligned}\]

причём на ОДЗ \(0 \neq \mathrm{tg}\,(2x) = t\), тогда можно домножить последнее уравнение на \(t^2\): \(t^4 + 1 - 2t^2 = 0\quad\Leftrightarrow\quad t^4 + 1 - 2t^2 = (t^2 - 1)^2\quad\Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \quad (t^2 - 1)^2 = 0\quad\Leftrightarrow\quad t^2 - 1 = 0\quad\Leftrightarrow\quad t = \pm 1.\)

Так как \(t = \mathrm{tg}\,(2x)\), то \(\mathrm{tg}\,(2x) = \pm 1\), откуда находим \(2x = \pm \dfrac{\pi}{4} + \pi k\), тогда \(x = \pm \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi k}{2}\), где \(k\in\mathbb{Z}\). Однако, на ОДЗ \(-1 \leqslant x^2 \leqslant 1\), то есть \(-1 \leqslant x \leqslant 1\):

\[-1 \leqslant \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi k}{2} \leqslant 1\qquad \Leftrightarrow\qquad -\dfrac{8}{\pi} \leqslant 1 + 4 k \leqslant \dfrac{8}{\pi},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда по ОДЗ среди таких корней подходит только корень при \(k = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{8}\).

\[-1 \leqslant -\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi k}{2} \leqslant 1\qquad \Leftrightarrow\qquad -\dfrac{8}{\pi} \leqslant -1 + 4 k \leqslant \dfrac{8}{\pi},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда по ОДЗ среди таких корней подходит только корень при \(k = 0\): \(x = -\dfrac{\pi}{8}\).

б) Среди корней \(\pm \dfrac{\pi}{8}\) на отрезок \([-\pi; 0]\) попадает только \(-\dfrac{\pi}{8}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{8}\), \(-\dfrac{\pi}{8}\)

 

б) \(-\dfrac{\pi}{8}\)

Задание 14

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Диагонали основания \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Найдите сечение куба плоскостью \(\alpha\), проходящей через точку \(A\) перпендикулярно прямой \(A_1O\).

Если \(A_1O\perp \alpha\), то \(A_1O\) перпендикулярно двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Проведем эти две прямые.

 

Рассмотрим плоскость \(AA_1C_1C\) (\(A_1O\) лежит в этой плоскости). Проведем в ней \(AQ\perp A_1O\). Теперь необходимо через их точку пересечения (точку \(Q\)) провести еще одну прямую перпендикулярно \(A_1O\).

 

Рассмотрим для этого плоскость \(A_1BD\) (\(A_1O\) лежит в этой плоскости). Проведем через точку \(Q\) прямую \(RS\perp A_1O\). Т.к. по теореме о трех перпендикулярах \(A_1O\perp BD\) как наклонная (\(A_1A\perp (ABC), AO\perp BD\)), то \(RS\parallel BD\).

 

Проведем прямые \(AR\) и \(AS\). Они могут пересечь либо сами ребра \(BB_1\) и \(DD_1\), либо их продолжения. Т.к. от этого зависит вид сечения, определим расположение точек \(R\) и \(S\):


 

Обозначим ребро куба за \(a\). Тогда \(AO=\dfrac{a\sqrt2}{2}\). Следовательно, в треугольнике \(A_1AO\) имеем \(AO<A_1A \Rightarrow A_1Q>QO \Rightarrow A_1R>RB \Rightarrow \) точка \(M\) будет находиться на ребре \(BB_1\). Аналогично с точкой \(P\).

Таким образом, получим линии пересечения граней \(AM\) и \(AP\).

 

Т.к. грани куба \(ABB_1\parallel DCC_1, ADD_1\parallel BCC_1\), то плоскость \(\alpha\) пересечет их по прямым \(PK\parallel AM, MN\parallel AP\). Таким образом, искомое сечение \(APKNM\).

Ответ:

Рисунок

Задание 15

Пусть \(x_0\) – какое-то из решений уравнения \[x = e^{\frac{1}{x}}.\] Решите неравенство

\[\begin{aligned} x^x\geqslant e \end{aligned}\]

Так как \(e^y > 0\) – при любых \(y\), то у уравнения \(x = e^{\frac{1}{x}}\) не может быть неположительных решений, следовательно, \(x_0 > 0\), следовательно, \[\ln x_0 = \dfrac{1}{x_0}.\]

ОДЗ исходного неравенства: \[x > 0.\] На ОДЗ \(x^x = e^{\ln x^x} = e^{x\ln x}\), тогда на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству \[e^{x\ln x}\geqslant e^1\qquad\Leftrightarrow\qquad x\ln x\geqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \ln x\geqslant \dfrac{1}{x}.\]

На ОДЗ:
функция \(f(x) = \ln x\) – возрастает,   функция \(g(x) = \dfrac{1}{x}\) – убывает,   следовательно, на ОДЗ у уравнения \[f(x) = g(x)\qquad\Leftrightarrow\qquad\ln x = \dfrac{1}{x}\] не более одного корня. Заметим, что ОДЗ уравнения \(\ln x = \dfrac{1}{x}\) совпадает с ОДЗ исходного неравенства, следовательно, на ОДЗ \[f(x) = g(x)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = x_0.\]

Так как на промежутке \((0; +\infty)\) \(f(x)\) – возрастает, а \(g(x)\) – убывает, то при \(x\in(0; x_0)\) выполнено \[f(x) < g(x),\] а при \(x\in[x_0; +\infty)\) выполнено \[f(x) \geqslant g(x)\,.\]

Таким образом, \(\ln x\geqslant \dfrac{1}{x}\) только при \(x\geqslant x_0\).

Ответ:

\([x_0; +\infty)\)

Задание 16

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть нам дан \(\triangle ABC\), проведем в нем биссектрисы \(AA_1, BB_1, CC_1\) и докажем что они пересекаются в одной точке.


 

Воспользуемся свойством биссектрисы для всех трех биссектрис:  

Для биссектрисы \(AA_1: \ \dfrac{BA_1}{A_1C} =\dfrac{AB}{AC}\)  

Для биссектрисы \(BB_1: \ \dfrac{CB_1}{B_1A} =\dfrac{BC}{BA}\)  

Для биссектрисы \(CC_1: \ \dfrac{AC_1}{C_1B} =\dfrac{CA}{CB}\)  

Воспользуемся теоремой Чевы: \[\dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} \cdot \dfrac{AC_1}{C_1B} = \dfrac{AB}{AC} \cdot \dfrac{BC}{BA} \cdot \dfrac{CA}{CB} = \dfrac{AB\cdot BC \cdot CA}{AB\cdot BC \cdot CA} =1.\]

Следовательно, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Ответ:

Доказательство

Задание 17

В прямоугольной комнате площадью \(42 \ \text{м}^2\) требуется установить плинтуса по всему периметру. Стоимость \(1\, м\) плинтуса составляет \(280\) рублей. При каких целых линейных размерах комнаты затраты на покупку плинтуса будут наименьшими?

1 способ.

 

Пусть ширина комнаты равна \(a\, м\), а длина – \(b\, м\). Тогда \(a\cdot b=42 \Rightarrow a=\dfrac{42}{b}\). Запишем, сколько составит затрата на плинтус:

\(Sum = 280(a+b)=280(b+\dfrac{42}{b})\).

Наименьшее значение этого выражения будет достигаться при наименьшем значении выражения \(b+\dfrac{42}{b}\). Рассмотрим функцию \(f(x)=x+\dfrac{42}{x}\).
\(f'(x)=1-\dfrac{42}{x^2}\)
\(f'(x)=0 \Rightarrow x=\pm \sqrt{42}\)
Т.к. \(0<x\leqslant 42 \ (\text{ потому что это ширина комнаты площадью 42 м}^2) \Rightarrow \text{при } 0<x<\sqrt{42}\) функция \(f(x)\) убывает, а при \(\sqrt{42}<x \leqslant 42\) – возрастает. Следовательно, наименьшее значение будет достигаться либо при \(x=6\), либо при \(x=7\) (т.к. \(x\) – целое). Проверив оба значения, получаем размеры комнаты: \(6\times 7\).

 

2 способ.

 

Разложим \(42\) на простые сомножители: \(42=2\cdot 3\cdot 7\). Т.к. ширина и длина – целые, то возможные варианты: \(2\) и \(21\), \(3\) и \(14\), \(6\) и \(7\), \(1\) и \(42\). Тогда затрата на плинтус в этих случаях составит:
\(280\cdot 2(2+21)\), \(\ 280\cdot 2(3+14)\), \(\ 280\cdot 2(6+7)\), \(\ 280\cdot 2(1+42)\) соответственно. Заметим, что наименьшее значение достигается при размерах комнаты \(6\times 7\).

Ответ:

\(6\times 7\)

Задание 18

Найдите все положительные значения параметра \(a\), при которых уравнение

\[\begin{multline*} 5((ax-2)^3-(x^2-2)^3+3e^{ax}-3e^{x^2})=\\ =6e^{x^2}\cdot \ \sin{2x^2} - 6e^{ax}\cdot \ \sin{2ax} +3e^{x^2}\cdot \ \cos{2x^2} - 3e^{ax}\cdot \ \cos{2ax} \end{multline*}\]

имеет как минимум \(2\) решения.

Перенесем все слагаемые, содержащие \(ax\), влево, а содержащие \(x^2\) – вправо, и рассмотрим функцию
\[f(t)=5(t-2)^3+15e^t+6e^t\cdot \sin{2t} +3e^t\cdot \cos{2t}\]

Тогда исходное уравнение примет вид:
\[f(ax)=f(x^2)\]

Найдем производную:
\[f'(t)=15(t-2)^2+15e^t\cdot (1+\cos{2t})\]

Т.к. \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos{2t} \geqslant 0\), то \(f'(t)\geqslant 0\) при любых \(t\in \mathbb{R}\).

Причем \(f'(t)=0\), если \((t-2)^2=0\) и \(1+\cos{2t}=0\) одновременно, что не выполняется ни при каких \(t\). Следовательно, \(f'(t)> 0\) при любых \(t\in \mathbb{R}\).

 

Таким образом, функция \(f(t)\) строго возрастает при всех \(t\in \mathbb{R}\).

Значит, уравнение \(f(ax)=f(x^2)\) равносильно уравнению \(ax=x^2\).

 

Уравнение \(x^2-ax=0\) при \(a=0\) имеет один корень \(x=0\), а при \(a\ne 0\) имеет два различных корня \(x_1=0\) и \(x_2=a\).
Следовательно, ответ: \(a\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).

Ответ:

\((-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).

Задание 19

Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии положительных чисел иметь ровно \(2\) общих члена?

Пусть первая прогрессия имеет вид \(a_1, ..., a_n, ...\),

пусть вторая прогрессия имеет вид \(b_1, ..., b_n, ...\).

 

\(\bullet\) Рассмотрим сначала случай, когда разности \(d_a\) и \(d_b\) прогрессий отличны от \(0\).

Пусть существуют пары натуральных чисел \((k_1; m_1)\) и \((k_2; m_2)\) такие что \(a_{k_1} = b_{m_1}\) и \(a_{k_2} = b_{m_2}\). Так как обе последовательности состоят только из положительных чисел, то обе они возрастают, следовательно, можно считать, что \(k_1 < k_2\), \(m_1 < m_2\).

Тогда

\[a_{k_1} + d_a(k_2 - k_1) = a_{k_2} = b_{m_2} = b_{m_1} + d_b(m_2 - m_1),\]

но \(a_{k_1} = b_{m_1}\), следовательно,

\[d_a(k_2 - k_1) = d_b(m_2 - m_1)\qquad\Rightarrow\qquad d_a\cdot 2(k_2 - k_1) = d_b\cdot 2(m_2 - m_1).\]

Так как \(k_2 > k_1\), то \(2k_2 - k_1 > 0\), тогда \((2k_2 - k_1)\in\mathbb{N}\) и существует \[a_{2k_2 - k_1} = d_a((2k_2 - k_1) - k_1) = d_a\cdot 2(k_2 - k_1).\] Так как \(m_2 > m_1\), то \(2m_2 - m_1 > 0\), тогда \((2m_2 - m_1)\in\mathbb{N}\) и существует \[b_{2m_2 - m_1} = d_b((2m_2 - m_1) - m_1) = d_b\cdot 2(m_2 - m_1).\]

Но \(d_a\cdot 2(k_2 - k_1) = d_b\cdot 2(m_2 - m_1)\), следовательно, \[a_{2k_2 - k_1} = b_{2m_2 - m_1},\] то есть эти прогрессии имеют минимум \(3\) общих члена. (На самом деле у них бесконечно много общих членов, что показывается аналогично).

 

\(\bullet\) Рассмотрим теперь случай, когда одна из разностей \(d_a\) и \(d_b\) равна \(0\).

Пусть \(d_a = 0\), \(d_b\neq 0\), тогда \(d_b > 0\) (последовательности из положительных чисел), тогда \(b_1, ..., b_n, ...\) – возрастает, а \(a_1, ..., a_n, ...\) – постоянна, следовательно, у уравнения \(a_k = b_m\) может быть не более одного решения, но по условию их должно быть два, то есть этот случай не подходит.

Пусть \(d_a = 0\), \(d_b = 0\), тогда обе последовательности – постоянны, следовательно, у уравнения \(a_k = b_m\) не может быть двух решений.

В итоге, две бесконечные арифметические прогрессии положительных чисел не могут иметь ровно \(2\) общих члена.

Ответ:

Нет