ОДЗ: \[\sin 2x \neq 0,\quad \cos 2x \neq 0,\quad -1 \leqslant x^2
\leqslant 1\] (так как \(\mathrm{tg}\, (2x)\) не теряет смысл при \(\cos (2x) \neq 0\), \(\mathrm{ctg}\, (2x)\) не теряет смысл при \(\sin
(2x) \neq 0\), \(\mathrm{arcsin}\, (x^2)\) не теряет смысл при \(-1
\leqslant x^2 \leqslant 1\)). Решим на ОДЗ:
а) Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла.
Рассмотрим сначала уравнение \[\mathrm{arcsin}\, (x^2) = 0.\] По определению \(\mathrm{arcsin}\, (x^2)\) – это угол в радианах, лежащий на \(\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]\), синус которого равен \(x^2\). \[\mathrm{arcsin}\, (x^2) = 0\qquad\Rightarrow\qquad \sin (0) = x^2
\qquad\Rightarrow\qquad x^2 = 0\qquad\Rightarrow\qquad x = 0.\]
Однако, \(x = 0\) не подходит по ОДЗ, следовательно \(x = 0\) – не является корнем исходного уравнения.
Рассмотрим теперь \[\mathrm{tg}^2\,(2x) + \mathrm{ctg}^2\, (2x) - 2
= 0\] заметим, что на ОДЗ \(\mathrm{tg}\, (2x)\cdot\mathrm{ctg}\, (2x) = 1\), тогда \(\mathrm{ctg}\, (2x) = \dfrac{1}{\mathrm{tg}\, (2x)}\).
Сделаем замену \(\mathrm{tg}\, (2x) = t\), тогда рассматриваемое уравнение примет вид
\[\begin{aligned}
t^2 + \dfrac{1}{t^2} - 2 = 0,
\end{aligned}\]
причём на ОДЗ \(0 \neq \mathrm{tg}\,(2x) = t\), тогда можно домножить последнее уравнение на \(t^2\): \(t^4 + 1 - 2t^2 =
0\quad\Leftrightarrow\quad t^4 + 1 - 2t^2 = (t^2 -
1)^2\quad\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \quad (t^2 - 1)^2 = 0\quad\Leftrightarrow\quad t^2
- 1 = 0\quad\Leftrightarrow\quad t = \pm 1.\)
Так как \(t = \mathrm{tg}\,(2x)\), то \(\mathrm{tg}\,(2x) = \pm 1\), откуда находим \(2x = \pm \dfrac{\pi}{4} + \pi k\), тогда \(x = \pm
\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi k}{2}\), где \(k\in\mathbb{Z}\). Однако, на ОДЗ \(-1 \leqslant x^2 \leqslant 1\), то есть \(-1 \leqslant x \leqslant 1\):
\[-1 \leqslant \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi k}{2} \leqslant 1\qquad
\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{8}{\pi} \leqslant 1 + 4 k \leqslant
\dfrac{8}{\pi},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда по ОДЗ среди таких корней подходит только корень при \(k = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{8}\).
\[-1 \leqslant -\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi k}{2} \leqslant 1\qquad
\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{8}{\pi} \leqslant -1 + 4 k \leqslant
\dfrac{8}{\pi},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда по ОДЗ среди таких корней подходит только корень при \(k = 0\): \(x = -\dfrac{\pi}{8}\).
б) Среди корней \(\pm \dfrac{\pi}{8}\) на отрезок \([-\pi; 0]\) попадает только \(-\dfrac{\pi}{8}\).
Ответ:
а) \(\dfrac{\pi}{8}\), \(-\dfrac{\pi}{8}\)
б) \(-\dfrac{\pi}{8}\)