Математика
Русский язык

Тренировочные варианты "Школково". Уровень Максим Олегович

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Уровень Максим Олегович. Тренировочный вариант №2

Задание 1

Прыжок с парашютом стоит \(1800\) рублей. В воскресение действует акция: на группу парашютистов каждый третий прыжок в подарок. Сколько в сумме заплатит группа из \(12\) человек, если все прыгнут в воскресенье по разу? Ответ дайте в рублях.

Так как для группы парашютистов каждый третий прыжок бесплатно, то можно считать, что \(3\) прыжка стоят \(1800 \cdot 2 = 3600\) рублей. Группа из \(12\) человек совершит \(12 = 3 \cdot 4\) прыжков, то есть можно считать, что будет совершено \(4\) серии по \(3\) прыжка в каждой. Группа из \(12\) человек заплатит в сумме \(4 \cdot 3600 = 14400\) рублей.

Ответ: 14400

Задание 2

На рисунке показано изменение температуры в пустыне Сахара в течение \(5\) часов с полуночи. По горизонтали указывается время, отсчитываемое с полуночи, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по рисунку, за сколько часов температура поднимается с \(20\) градусов до \(40\).



По рисунку видно, что температура достигает значения в \(20\) градусов Цельсия в \(2\) часа, а значения в \(40\) градусов Цельсия в \(4\) часа. Температура поднимается с \(20\) градусов Цельсия до \(40\) за \(4 - 2 = 2\) часа.

Ответ: 2

Задание 3

Основания \(AD\) и \(BC\) трапеции \(ABCD\) равны соответственно \(20\) и \(12\), одна из боковых сторон равна \(10\), площадь трапеции \(ABCD\) равна \(80\). Найдите острый угол трапеции \(ABCD\), который образует эта боковая сторона с одним из оснований. Ответ дайте в градусах.

Пусть \(AB = 10\), \(BE\) – перпендикуляр к \(AD\), точка \(E\) лежит на \(AD\).

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, тогда \(80 = 0,5(20 + 12)\cdot BE\).

\(BE = 5 = 0,5\cdot AB\). Треугольник \(ABE\), – прямоугольный, причём \(BE = 0,5\cdot AB\), тогда угол, лежащий против катета \(BE\), равен \(30^{\circ}\).

\(\angle BAE = 30^{\circ}\) – единственный острый угол трапеции \(ABCD\), который образует \(AB\) с одним из оснований.

Ответ: 30

Задание 4

Монетку подбросили \(1001\) раз. Какова вероятность того, что выпало более \(500\) орлов? Ответ округлите до десятых.

Вероятность выпадения более \(500\) орлов равна вероятности выпадения более \(500\) решек (орёл и решка “равноправны”). Но “выпало более \(500\) решек” – то же самое, что “выпало менее \(501\) орла”. Таким образом, вероятность выпадения более \(500\) орлов равна вероятности выпадения менее \(501\) орла.

Но события “выпало более \(500\) орлов” и “выпало менее \(501\) орла” в объединении содержат все возможные исходы серии из \(1001\) подбрасывания.

При этом эти события не могут наступить одновременно, следовательно, вероятность того, что наступит какое-нибудь из них равна сумме их вероятностей и равна \(1\).

Таким образом, вероятность события “выпало более \(500\) орлов” равна \(0,5\).

Ответ: 0,5

Задание 5

Найдите корень уравнения \[\cos{\left(\dfrac{\pi\sqrt{2}}{3} x\right)} = \cos{\left(\dfrac{0,3\pi\sqrt{2}}{3}\right)}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\cos x = a\) имеет вид: \(x = \pm \mathrm{arccos}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), тогда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi\sqrt{2}}{3} x = \pm \dfrac{0,3\pi\sqrt{2}}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = \pm 0,3 + 3\sqrt{2}n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 0,3\) при \(n = 0\).

Ответ: 0,3

Задание 6

Хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(P\), причём \(AP = 6\), \(PB = 4\), \(PC = 3\). Найдите \(PD\).

Произведение отрезков одной из пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой. Покажем это:
Соединим \(AC\) и \(BD\):

Рассмотрим треугольники \(APC\) и \(PBD\):
\(\angle APC = \angle BPD\), как вертикальные,
\(\angle ACD\) и \(\angle ABD\) – вписанные, опирающиеся на одну дугу, следовательно, \(\angle ACD = \angle ABD\).

Таким образом, треугольники \(APC\) и \(PBD\) – подобны по двум углам. Из их подобия следует, что \[\dfrac{CP}{PB} = \dfrac{AP}{PD}\] (в подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны), откуда можно получить \(CP \cdot PD = AP \cdot PB\).
В данной задаче имеем: \(3 \cdot PD = 6 \cdot 4\), откуда \(PD = 8\).

Ответ: 8

Задание 7

На рисунке изображён график функции \(y = F(x)\) – одной из первообразных некоторой функции \(y = f(x)\), определённой на интервале \((-1,1; 8,3)\). Определите по рисунку количество решений уравнения \(f(x) = 0\) на отрезке \([-1; 6]\).

По определению первообразной \(f(x) = F'(x)\), тогда уравнение \(f(x) = 0\) равносильно \(F'(x) = 0\). Производная функции равна \(0\) в точности в тех точках, где касательная к её графику параллельна оси \(Ox\).

По рисунку видно, что на отрезке \([-1; 6]\) касательная к графику \(y = F(x)\) параллельна оси \(Ox\) в \(6\) точках (в точках с абсциссами \(x = -0,5\), \(x = 1\), \(x = 2\), \(x = 3\), \(x = 5\)).

Ответ: 5

Задание 8

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб с длиной ребра равной \(\sqrt[4]{17}\). Точка \(M\) лежит на ребре \(DD_1\) так, что \(MD_1 = 3MD\). Найдите площадь сечения куба, проведённого через точку \(M\) и ребро \(AB\).



Пусть \(N\) – точка на \(CC_1\), такая что \(NC_1 = 3NC\), тогда \(MN\parallel CD\parallel AB\), следовательно, сечение, проходящее через точку \(M\) и ребро \(AB\) – четырёхугольник \(AMNB\), причём \((AA_1D_1D) \bot MN\), следовательно, \(AM \bot MN\). Аналогично \(MN\bot BN\bot AB\), то есть \(AMNB\) – прямоугольник. \[S_{AMNB} = AM\cdot MN = AM\cdot \sqrt[4]{17}.\] Найдём \(AM\) по теореме Пифагора: \[AM = \sqrt{AD^2 + MD^2} = \sqrt{AD^2 + (0,25AD)^2} = \sqrt{\dfrac{17}{16}AD^2} = \dfrac{\sqrt{17}}{4}AD = \dfrac{\sqrt[4]{17^3}}{4}.\] Тогда \(S_{AMNB} = \dfrac{\sqrt[4]{17^3}}{4} \cdot \sqrt[4]{17} = \dfrac{17}{4} = 4,25\).

Ответ: 4,25

Задание 9

Найдите \(g(\mathrm{arccos}\, \alpha)\), если \(g(r) = \cos r + 1\), \(\alpha = 0,5\).

\[g(\mathrm{arccos}\, \alpha) = \cos (\mathrm{arccos}\, \alpha) + 1 = \alpha + 1,\] что при \(\alpha = 0,5\) равно \(0,5 + 1 = 1,5\).

Ответ: 1,5

Задание 10

Материальная точка \(N\) движется в поле силы тяжести. Для неё справедлив закон сохранения энергии в виде \[\dfrac{mv^2}{2}+mgz = h,\] где \(v = 6\, м/с\) – ее скорость, \(g = 10\, м/с^2\) – ускорение свободного падения, \(z\) – высота над уровнем моря, на которой находится точка (в метрах), \(h\) – ее механическая энергия в Дж, \(m\) – ее масса в кг. Определите, какое наименьшее значение может иметь масса точки, чтобы существовало значение \(z \in [5; 10]\), при котором механическая энергия оказалась бы не менее, чем \(236\, Дж\). Ответ дайте в килограммах.

Для некоторого \(z\in[5; 10]\) должно выполняться \[18m + 10mz \geqslant 236\qquad\Leftrightarrow\qquad (18 + 10z)m \geqslant 236\qquad\Leftrightarrow\qquad m\geqslant \dfrac{118}{9 + 5z}.\]

Рассмотрим отдельно выражение \(\dfrac{118}{9 + 5z}\) при \(z\in[5; 10]\):

\(5 \leqslant z \leqslant 10\), тогда \(25 \leqslant 5z \leqslant 50\), тогда \(34 \leqslant 9 + 5z \leqslant 59\), тогда \[\dfrac{1}{59} \leqslant\dfrac{1}{9+5z} \leqslant\dfrac{1}{34}\qquad\Leftrightarrow\qquad 2 \leqslant\dfrac{118}{9+5z} \leqslant\dfrac{118}{34}.\] В итоге на \(z\in[5;10]\): \[m \geqslant \dfrac{118}{9 + 5z} \geqslant 2,\] следовательно, для выполнения условия задачи \(m\) не может быть меньше \(2\), причём при \(z = 10\) неравенство \[m\geqslant \dfrac{118}{9 + 5z}\] принимает вид \(m\geqslant 2\), следовательно, наименьшее допустимое значение массы точки \(N\) равно \(2\, кг\).

Ответ: 2

Задание 11

Зарплата учителя каждый год растёт на \(2\%\) по сравнению с предыдущим годом. В \(2011\) году зарплата учителя составляла \(250\,000\) рублей в год. Какой оказалась зарплата учителя за \(2014\) год? Ответ дайте в рублях.

Последовательность зарплат в рублях, выплаченных за \(2011\), \(2012\) и т.д. года соответственно, представляет собой геометрическую прогрессию.

Её первый член равен \(250000\). Её четвёртый член \(b_4 = 250000 \cdot (1 + 0,02)^3 = 265302\). Таким образом, \(265302\) рубля составила зарплата учителя за \(2014\) год.

Ответ: 265302

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции

\(y = -\log_{17}(2x^2 - 2\sqrt{2}x + 2)\).

ОДЗ: \(2x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 > 0\). Решим на ОДЗ:

1) Обозначим \(2x^2-2\sqrt{2}x+2=t(x)\), тогда \(y(t)=-\log_{17}t\).

\[y' = y'_t\cdot t'_x = (-\log_{17}t)'\cdot(2x^2-2\sqrt{2}x+2)' = -\dfrac{1}{\ln 17}\cdot\dfrac{1}{t}\cdot(4x-2\sqrt{2}) = -\dfrac{1}{\ln 17}\cdot\dfrac{4x-2\sqrt{2}}{2x^2-2\sqrt{2}x+2}.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-\dfrac{1}{\ln 17}\cdot\dfrac{4x-2\sqrt{2}}{2x^2-2\sqrt{2}x+2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt{2} = 0\] – на ОДЗ, откуда находим корень \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Производная функции \(y\) не существует при \(2x^2-2\sqrt{2}x+2 = 0\), но у данного уравнения отрицательный дискриминант, следовательно, у него нет решений. Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

 

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика:



Таким образом, наибольшее значение функция достигает в \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\):

\(y\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\log_{17}1 = 0\),

Итого: \(0\) – наибольшее значение функции \(y\).

Ответ: 0

Задание 13

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} (\mathrm{tg}^2\,(2x) + \mathrm{ctg}^2\,(2x) - 2)\cdot \mathrm{arcsin}\, (x^2) = 0. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \([-\pi; 0]\).

ОДЗ: \[\sin 2x \neq 0,\quad \cos 2x \neq 0,\quad -1 \leqslant x^2 \leqslant 1\] (так как \(\mathrm{tg}\, (2x)\) не теряет смысл при \(\cos (2x) \neq 0\), \(\mathrm{ctg}\, (2x)\) не теряет смысл при \(\sin (2x) \neq 0\), \(\mathrm{arcsin}\, (x^2)\) не теряет смысл при \(-1 \leqslant x^2 \leqslant 1\)). Решим на ОДЗ:

а) Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла.

 

Рассмотрим сначала уравнение \[\mathrm{arcsin}\, (x^2) = 0.\] По определению \(\mathrm{arcsin}\, (x^2)\) – это угол в радианах, лежащий на \(\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]\), синус которого равен \(x^2\). \[\mathrm{arcsin}\, (x^2) = 0\qquad\Rightarrow\qquad \sin (0) = x^2 \qquad\Rightarrow\qquad x^2 = 0\qquad\Rightarrow\qquad x = 0.\]

Однако, \(x = 0\) не подходит по ОДЗ, следовательно \(x = 0\) – не является корнем исходного уравнения.

 

Рассмотрим теперь \[\mathrm{tg}^2\,(2x) + \mathrm{ctg}^2\, (2x) - 2 = 0\] заметим, что на ОДЗ \(\mathrm{tg}\, (2x)\cdot\mathrm{ctg}\, (2x) = 1\), тогда \(\mathrm{ctg}\, (2x) = \dfrac{1}{\mathrm{tg}\, (2x)}\).   Сделаем замену \(\mathrm{tg}\, (2x) = t\), тогда рассматриваемое уравнение примет вид

\[\begin{aligned} t^2 + \dfrac{1}{t^2} - 2 = 0, \end{aligned}\]

причём на ОДЗ \(0 \neq \mathrm{tg}\,(2x) = t\), тогда можно домножить последнее уравнение на \(t^2\): \(t^4 + 1 - 2t^2 = 0\quad\Leftrightarrow\quad t^4 + 1 - 2t^2 = (t^2 - 1)^2\quad\Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \quad (t^2 - 1)^2 = 0\quad\Leftrightarrow\quad t^2 - 1 = 0\quad\Leftrightarrow\quad t = \pm 1.\)

Так как \(t = \mathrm{tg}\,(2x)\), то \(\mathrm{tg}\,(2x) = \pm 1\), откуда находим \(2x = \pm \dfrac{\pi}{4} + \pi k\), тогда \(x = \pm \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi k}{2}\), где \(k\in\mathbb{Z}\). Однако, на ОДЗ \(-1 \leqslant x^2 \leqslant 1\), то есть \(-1 \leqslant x \leqslant 1\):

\[-1 \leqslant \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi k}{2} \leqslant 1\qquad \Leftrightarrow\qquad -\dfrac{8}{\pi} \leqslant 1 + 4 k \leqslant \dfrac{8}{\pi},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда по ОДЗ среди таких корней подходит только корень при \(k = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{8}\).

\[-1 \leqslant -\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi k}{2} \leqslant 1\qquad \Leftrightarrow\qquad -\dfrac{8}{\pi} \leqslant -1 + 4 k \leqslant \dfrac{8}{\pi},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда по ОДЗ среди таких корней подходит только корень при \(k = 0\): \(x = -\dfrac{\pi}{8}\).

б) Среди корней \(\pm \dfrac{\pi}{8}\) на отрезок \([-\pi; 0]\) попадает только \(-\dfrac{\pi}{8}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{8}\), \(-\dfrac{\pi}{8}\)

 

б) \(-\dfrac{\pi}{8}\)

Задание 14

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Диагонали основания \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Найдите сечение куба плоскостью \(\alpha\), проходящей через точку \(A\) перпендикулярно прямой \(A_1O\).

Если \(A_1O\perp \alpha\), то \(A_1O\) перпендикулярно двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Проведем эти две прямые.

 

Рассмотрим плоскость \(AA_1C_1C\) (\(A_1O\) лежит в этой плоскости). Проведем в ней \(AQ\perp A_1O\). Теперь необходимо через их точку пересечения (точку \(Q\)) провести еще одну прямую перпендикулярно \(A_1O\).

 

Рассмотрим для этого плоскость \(A_1BD\) (\(A_1O\) лежит в этой плоскости). Проведем через точку \(Q\) прямую \(RS\perp A_1O\). Т.к. по теореме о трех перпендикулярах \(A_1O\perp BD\) как наклонная (\(A_1A\perp (ABC), AO\perp BD\)), то \(RS\parallel BD\).

 

Проведем прямые \(AR\) и \(AS\). Они могут пересечь либо сами ребра \(BB_1\) и \(DD_1\), либо их продолжения. Т.к. от этого зависит вид сечения, определим расположение точек \(R\) и \(S\):


 

Обозначим ребро куба за \(a\). Тогда \(AO=\dfrac{a\sqrt2}{2}\). Следовательно, в треугольнике \(A_1AO\) имеем \(AO<A_1A \Rightarrow A_1Q>QO \Rightarrow A_1R>RB \Rightarrow \) точка \(M\) будет находиться на ребре \(BB_1\). Аналогично с точкой \(P\).

Таким образом, получим линии пересечения граней \(AM\) и \(AP\).

 

Т.к. грани куба \(ABB_1\parallel DCC_1, ADD_1\parallel BCC_1\), то плоскость \(\alpha\) пересечет их по прямым \(PK\parallel AM, MN\parallel AP\). Таким образом, искомое сечение \(APKNM\).

Ответ:

Рисунок

Задание 15

Пусть \(x_0\) – какое-то из решений уравнения \[x = e^{\frac{1}{x}}.\] Решите неравенство

\[\begin{aligned} x^x\geqslant e \end{aligned}\]

Так как \(e^y > 0\) – при любых \(y\), то у уравнения \(x = e^{\frac{1}{x}}\) не может быть неположительных решений, следовательно, \(x_0 > 0\), следовательно, \[\ln x_0 = \dfrac{1}{x_0}.\]

ОДЗ исходного неравенства: \[x > 0.\] На ОДЗ \(x^x = e^{\ln x^x} = e^{x\ln x}\), тогда на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству \[e^{x\ln x}\geqslant e^1\qquad\Leftrightarrow\qquad x\ln x\geqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \ln x\geqslant \dfrac{1}{x}.\]

На ОДЗ:
функция \(f(x) = \ln x\) – возрастает,   функция \(g(x) = \dfrac{1}{x}\) – убывает,   следовательно, на ОДЗ у уравнения \[f(x) = g(x)\qquad\Leftrightarrow\qquad\ln x = \dfrac{1}{x}\] не более одного корня. Заметим, что ОДЗ уравнения \(\ln x = \dfrac{1}{x}\) совпадает с ОДЗ исходного неравенства, следовательно, на ОДЗ \[f(x) = g(x)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = x_0.\]

Так как на промежутке \((0; +\infty)\) \(f(x)\) – возрастает, а \(g(x)\) – убывает, то при \(x\in(0; x_0)\) выполнено \[f(x) < g(x),\] а при \(x\in[x_0; +\infty)\) выполнено \[f(x) \geqslant g(x)\,.\]

Таким образом, \(\ln x\geqslant \dfrac{1}{x}\) только при \(x\geqslant x_0\).

Ответ:

\([x_0; +\infty)\)

Задание 16

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть нам дан \(\triangle ABC\), проведем в нем биссектрисы \(AA_1, BB_1, CC_1\) и докажем что они пересекаются в одной точке.


 

Воспользуемся свойством биссектрисы для всех трех биссектрис:  

Для биссектрисы \(AA_1: \ \dfrac{BA_1}{A_1C} =\dfrac{AB}{AC}\)  

Для биссектрисы \(BB_1: \ \dfrac{CB_1}{B_1A} =\dfrac{BC}{BA}\)  

Для биссектрисы \(CC_1: \ \dfrac{AC_1}{C_1B} =\dfrac{CA}{CB}\)  

Воспользуемся теоремой Чевы: \[\dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} \cdot \dfrac{AC_1}{C_1B} = \dfrac{AB}{AC} \cdot \dfrac{BC}{BA} \cdot \dfrac{CA}{CB} = \dfrac{AB\cdot BC \cdot CA}{AB\cdot BC \cdot CA} =1.\]

Следовательно, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Ответ:

Доказательство

Задание 17

В прямоугольной комнате площадью \(42 \ \text{м}^2\) требуется установить плинтуса по всему периметру. Стоимость \(1\, м\) плинтуса составляет \(280\) рублей. При каких целых линейных размерах комнаты затраты на покупку плинтуса будут наименьшими?

1 способ.

 

Пусть ширина комнаты равна \(a\, м\), а длина – \(b\, м\). Тогда \(a\cdot b=42 \Rightarrow a=\dfrac{42}{b}\). Запишем, сколько составит затрата на плинтус:

\(Sum = 280(a+b)=280(b+\dfrac{42}{b})\).

Наименьшее значение этого выражения будет достигаться при наименьшем значении выражения \(b+\dfrac{42}{b}\). Рассмотрим функцию \(f(x)=x+\dfrac{42}{x}\).
\(f'(x)=1-\dfrac{42}{x^2}\)
\(f'(x)=0 \Rightarrow x=\pm \sqrt{42}\)
Т.к. \(0<x\leqslant 42 \ (\text{ потому что это ширина комнаты площадью 42 м}^2) \Rightarrow \text{при } 0<x<\sqrt{42}\) функция \(f(x)\) убывает, а при \(\sqrt{42}<x \leqslant 42\) – возрастает. Следовательно, наименьшее значение будет достигаться либо при \(x=6\), либо при \(x=7\) (т.к. \(x\) – целое). Проверив оба значения, получаем размеры комнаты: \(6\times 7\).

 

2 способ.

 

Разложим \(42\) на простые сомножители: \(42=2\cdot 3\cdot 7\). Т.к. ширина и длина – целые, то возможные варианты: \(2\) и \(21\), \(3\) и \(14\), \(6\) и \(7\), \(1\) и \(42\). Тогда затрата на плинтус в этих случаях составит:
\(280\cdot 2(2+21)\), \(\ 280\cdot 2(3+14)\), \(\ 280\cdot 2(6+7)\), \(\ 280\cdot 2(1+42)\) соответственно. Заметим, что наименьшее значение достигается при размерах комнаты \(6\times 7\).

Ответ:

\(6\times 7\)

Задание 18

Найдите все положительные значения параметра \(a\), при которых уравнение

\[\begin{multline*} 5((ax-2)^3-(x^2-2)^3+3e^{ax}-3e^{x^2})=\\ =6e^{x^2}\cdot \ \sin{2x^2} - 6e^{ax}\cdot \ \sin{2ax} +3e^{x^2}\cdot \ \cos{2x^2} - 3e^{ax}\cdot \ \cos{2ax} \end{multline*}\]

имеет как минимум \(2\) решения.

Перенесем все слагаемые, содержащие \(ax\), влево, а содержащие \(x^2\) – вправо, и рассмотрим функцию
\[f(t)=5(t-2)^3+15e^t+6e^t\cdot \sin{2t} +3e^t\cdot \cos{2t}\]

Тогда исходное уравнение примет вид:
\[f(ax)=f(x^2)\]

Найдем производную:
\[f'(t)=15(t-2)^2+15e^t\cdot (1+\cos{2t})\]

Т.к. \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos{2t} \geqslant 0\), то \(f'(t)\geqslant 0\) при любых \(t\in \mathbb{R}\).

Причем \(f'(t)=0\), если \((t-2)^2=0\) и \(1+\cos{2t}=0\) одновременно, что не выполняется ни при каких \(t\). Следовательно, \(f'(t)> 0\) при любых \(t\in \mathbb{R}\).

 

Таким образом, функция \(f(t)\) строго возрастает при всех \(t\in \mathbb{R}\).

Значит, уравнение \(f(ax)=f(x^2)\) равносильно уравнению \(ax=x^2\).

 

Уравнение \(x^2-ax=0\) при \(a=0\) имеет один корень \(x=0\), а при \(a\ne 0\) имеет два различных корня \(x_1=0\) и \(x_2=a\).
Следовательно, ответ: \(a\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).

Ответ:

\((-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).

Задание 19

Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии положительных чисел иметь ровно \(2\) общих члена?

Пусть первая прогрессия имеет вид \(a_1, ..., a_n, ...\),

пусть вторая прогрессия имеет вид \(b_1, ..., b_n, ...\).

 

\(\bullet\) Рассмотрим сначала случай, когда разности \(d_a\) и \(d_b\) прогрессий отличны от \(0\).

Пусть существуют пары натуральных чисел \((k_1; m_1)\) и \((k_2; m_2)\) такие что \(a_{k_1} = b_{m_1}\) и \(a_{k_2} = b_{m_2}\). Так как обе последовательности состоят только из положительных чисел, то обе они возрастают, следовательно, можно считать, что \(k_1 < k_2\), \(m_1 < m_2\).

Тогда

\[a_{k_1} + d_a(k_2 - k_1) = a_{k_2} = b_{m_2} = b_{m_1} + d_b(m_2 - m_1),\]

но \(a_{k_1} = b_{m_1}\), следовательно,

\[d_a(k_2 - k_1) = d_b(m_2 - m_1)\qquad\Rightarrow\qquad d_a\cdot 2(k_2 - k_1) = d_b\cdot 2(m_2 - m_1).\]

Так как \(k_2 > k_1\), то \(2k_2 - k_1 > 0\), тогда \((2k_2 - k_1)\in\mathbb{N}\) и существует \[a_{2k_2 - k_1} = d_a((2k_2 - k_1) - k_1) = d_a\cdot 2(k_2 - k_1).\] Так как \(m_2 > m_1\), то \(2m_2 - m_1 > 0\), тогда \((2m_2 - m_1)\in\mathbb{N}\) и существует \[b_{2m_2 - m_1} = d_b((2m_2 - m_1) - m_1) = d_b\cdot 2(m_2 - m_1).\]

Но \(d_a\cdot 2(k_2 - k_1) = d_b\cdot 2(m_2 - m_1)\), следовательно, \[a_{2k_2 - k_1} = b_{2m_2 - m_1},\] то есть эти прогрессии имеют минимум \(3\) общих члена. (На самом деле у них бесконечно много общих членов, что показывается аналогично).

 

\(\bullet\) Рассмотрим теперь случай, когда одна из разностей \(d_a\) и \(d_b\) равна \(0\).

Пусть \(d_a = 0\), \(d_b\neq 0\), тогда \(d_b > 0\) (последовательности из положительных чисел), тогда \(b_1, ..., b_n, ...\) – возрастает, а \(a_1, ..., a_n, ...\) – постоянна, следовательно, у уравнения \(a_k = b_m\) может быть не более одного решения, но по условию их должно быть два, то есть этот случай не подходит.

Пусть \(d_a = 0\), \(d_b = 0\), тогда обе последовательности – постоянны, следовательно, у уравнения \(a_k = b_m\) не может быть двух решений.

В итоге, две бесконечные арифметические прогрессии положительных чисел не могут иметь ровно \(2\) общих члена.

Ответ:

Нет