а) \(S_{ABC} = p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, а \(r\) – радиус вписанной в \(ABC\) окружности. 
Пусть \(h\) – длина той высоты, которая равна \(3r\), \(a\) – длина стороны, высота к которой имеет длину \(h\), \(P\) – периметр треугольника \(ABC\).
В итоге имеем: \[\dfrac{1}{2}h\cdot a = S_{ABC} = p\cdot r = p\cdot\dfrac{h}{3},\] откуда \(a = \dfrac{P}{3}\), тогда \(b + c = \dfrac{2P}{3} = 2a\), где \(b\) и \(c\) длины других сторон треугольника.
б) Длины сторон треугольника \(ABC\) образуют арифметическую прогрессию: если обозначить \(a - c = d\), то \(a = c + d\), \(b = c + 2d\).
Пусть \(d > 0\). Тогда \(b\) наибольшая сторона треугольника \(ABC\) и существование треугольника \(ABC\) с длинами сторон \(a\), \(b\) и \(c\) равносильно выполнению неравенства \[b < a + c\qquad\Leftrightarrow\qquad c + 2d < 2c + d\qquad\Leftrightarrow\qquad d < c.\] Так как длины всех сторон треугольника \(ABC\) – целые числа, то \(d\) – целое, следовательно, \(d\leq c - 1\).
Так как \(c\) – меньшая из сторон, то \(c\leq 4\), тогда \(d\leq 3\), откуда \(a\leq 7\), \(b\leq 10\), тогда \[P_{\triangle ABC}\leq 4 + 7 + 10 = 21.\] При этом случай \(c = 4\), \(a = 7\), \(b = 10\) подходит, следовательно, при \(d > 0\) максимально возможный периметр равен 21.
При \(d = 0\) треугольник \(ABC\) равносторонний и \(P_{\triangle ABC} = 12 < 21\).
Случай \(d < 0\) рассматривается аналогично (меняется только то, что \(c > a > b\), следовательно, достаточно в рассуждении из случая \(d > 0\) всюду поменять местами \(b\) и \(c\)).
Таким образом, наибольший возможный периметр треугольника \(ABC\) равен 21.
Ответ:
б) \(21\).