Математика
Русский язык

Метод площадей для решения задач

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

\(\blacktriangleright\) Теорема 1. Если вершину треугольника перемещать по прямой, параллельной противолежащей стороне, то площадь при этом останется прежней.

 

Доказательство: Рассмотрим три треугольника \(\triangle ABC, \triangle A_1BC, \triangle A_2BC\). Т.к. \(A_1A_2\parallel BC\), то расстояние от любой точки одной из этих прямых до другой прямой одинаково. То есть высоты, опущенные из точек \(A, A_1, A_2\) на прямую \(BC\) будут равны: \(AH=A_1H_1=A_2H_2=h\). Т.к. у этих треугольников общее основание \(BC\), то: \[S_{\triangle ABC}=S_{\triangle A_1BC}=S_{\triangle A_2BC}=\dfrac12BC\cdot h\]

 

\(\blacktriangleright\) Теорема 2. Если два треугольника имеют равные высоты (общую высоту), то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.

 

Доказательство: Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ABC_1\): т.к. высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противолежащую сторону, то \(AH\) — высота и \(\triangle ABC\), и \(\triangle ABC_1\). Следовательно: \[\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABC_1}}=\dfrac{\frac12 AH\cdot BC}{\frac12 AH\cdot BC_1}=\dfrac{BC}{BC_1}\]

 

\(\blacktriangleright\) Теорема 3. Если два треугольника имеют одинаковые стороны (общую сторону), то их площади относятся как высоты, которые к этим сторонам проведены.

 

Доказательство: Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ABC_1\). Проведем на их общую сторону \(AB\) высоты \(CH\) и \(C_1H_1\). Тогда: \[\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABC_1}}=\dfrac{\frac12 CH\cdot AB}{\frac12 C_1H_1\cdot AB}=\dfrac{CH}{C_1H_1}\]

 

\(\blacktriangleright\) Следствие: Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади.

 

Доказательство: по теореме 2 площади \(\triangle ABM\) и \(\triangle CBM\) относятся как основания \(AM\) и \(CM\). Но \(AM=CM \Rightarrow S_{\triangle ABM}=S_{\triangle CBM}\).

 

\(\blacktriangleright\) Следствие: Все три медианы треугольника делят его на шесть треугольников, равных по площади.

 

Доказательство: т.к. \(AK\) — медиана \(\triangle ABC\), то \(S_{\triangle_1}+S_{\triangle_2}+S_{\triangle_3}=S_{\triangle_4}+S_{\triangle_5}+S_{\triangle_6}\).

 

Т.к. \(OK\) — медиана \(\triangle OBC\), то \(S_{\triangle_3}=S_{\triangle_4}\). Следовательно, \(S_{\triangle_1}+S_{\triangle_2}=S_{\triangle_5}+S_{\triangle_6} \ (*)\).

 

Т.к. \(ON\) — медиана \(\triangle AOB\), то \(S_{\triangle_1}=S_{\triangle_2}\), аналогично, \(S_{\triangle_5}=S_{\triangle_6}\). Следовательно, подставляя эти равенства в \((*)\), получим: \(2S_{\triangle_1}=2S_{\triangle_6} \Rightarrow S_{\triangle_1}=S_{\triangle_6} \Rightarrow S_{\triangle_2}=S_{\triangle_5}\).

 

Аналогично доказывается, что \(S_{\triangle_4}=S_{\triangle_5}\). Таким образом, площади всех этих треугольников равны.

 

\(\blacktriangleright\) Теорема 4. Если два треугольника имеют по равному углу (общему углу), то их площади относятся как произведения сторон, образующих эти углы.

 

Доказательство: Рассмотрим треугольники \(\triangle B_1AC_1\) и \(\triangle BAC\), имеющие равный (общий) \(\angle A\). Т.к. площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, то: \[\dfrac{S_{\triangle BAC}}{S_{\triangle B_1AC_1}}=\dfrac{\frac12 \sin \angle A\cdot BA\cdot AC}{\frac12 \sin \angle A\cdot B_1A\cdot AC_1}=\dfrac{BA\cdot AC}{B_1A\cdot AC_1}\]

 

\(\blacktriangleright\) Следствие: Биссектриса угла треугольника делит его на два треугольника, площади которых относятся как стороны, образующие этот угол.

 

Доказательство: \(\dfrac{S_{\triangle ABR}}{S_{\triangle CBR}}=\dfrac{\frac12 \sin \alpha \cdot AB\cdot BR}{\frac12 \sin \alpha\cdot CB\cdot BR}=\dfrac{AB}{CB}\)

 

\(\blacktriangleright\) Теорема 5. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

 

Доказательство: т.к. треугольники подобны, то все стороны одного треугольника в \(k\) раз больше всех сторон другого, а углы между сходственными сторонами равны. Значит, \[\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A_1B_1C_1}}=\dfrac{\frac12 \sin \angle C\cdot BC\cdot AC}{\frac12 \sin \angle C_1\cdot B_1C_1\cdot A_1C_1}=\dfrac{ka\cdot kb}{a\cdot b}=k^2\]

 

\(\blacktriangleright\) Следствие: Все три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, и, как следствие, равных по площади.

 

Доказательство: \(\triangle_1, \triangle_2, \triangle_3 \sim \triangle ABC\) с коэффициентом подобия \(\dfrac12\). Следовательно, \(S_{\triangle_1}=S_{\triangle_2}=S_{\triangle_3}=\dfrac14S_{\triangle ABC} \Rightarrow S_{\triangle_4}=S_{\triangle ABC}-3S_{\triangle_1}=\dfrac14S_{\triangle ABC}\)

Задачи на применение методов измерения площадей в ЕГЭ по математике встречаются ежегодно, поэтому при подготовке к прохождению аттестационного испытания учащимся непременно стоит повторить теорию по данной теме. Уметь справляться с такими заданиями обязательно должны выпускники, сдающие как базовый, так и профильный уровень экзамена. Разобравшись с основной теорией и практическими упражнениями на вычисление площадей плоских фигур, старшеклассники смогут решать задачи с любым количеством действий и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Как подготовиться к экзамену?

Зачастую найти источник, в котором представлен весь базовый теоретический материал, оказывается не так легко, как может показаться на первый взгляд. В нужный момент школьного учебника может просто не быть под рукой. А найти необходимые формулы иногда оказывается достаточно сложно даже в Интернете.

Образовательный портал «Школково» поможет вам подготовиться к сдаче аттестационного испытания. Все основы теории по теме «Измерение площадей плоских фигур» систематизированы и изложены нашими специалистами с учетом их богатого опыта в максимально доступной форме. Ознакомившись с представленной информацией, выпускники смогут восполнить пробелы в знаниях.

Чтобы качественно подготовиться к ЕГЭ, школьникам из Москвы и других городов необходимо не только повторить теорию по теме «Вычисление площадей плоских фигур», но и попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Найти задачи вы можете в разделе «Каталог». Для каждого задания наши специалисты прописали подробный алгоритм решения и указали правильный ответ. Последовательно выполняя простые и более сложные упражнения по данной теме, учащиеся смогут отработать навык решения подобных задач. Перечень заданий в соответствующем разделе постоянно дополняется и обновляется.

Ознакомиться с теорией и попрактиковаться в решении задач на вычисление площади треугольника и других фигур, подобных тем, которые включены в ЕГЭ, можно в режиме онлайн. При необходимости любое упражнение можно сохранить в «Избранное». Еще раз повторив базовую теорию, выпускник может в дальнейшем вернуться к задаче на вычисление площади фигуры с целью обсуждения алгоритма ее решения со своим преподавателем.