Определения
Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.
Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины.
Различают выпуклые и невыпуклые четырехугольники.
Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону.
В школьном курсе рассматриваются только выпуклые четырехугольники. Поэтому далее “выпуклый четырехугольник” будем сокращенно называть “четырехугольник”.
Теорема
Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\).
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\) и проведем его диагональ \(AC\). Она разбила четырехугольник на два треугольника. Сумма углов любого треугольника равна \(180^\circ\), следовательно:
\[\begin{multline*} 360^\circ=180^\circ+180^\circ=(\angle DAC+\angle D+\angle ACD) + (\angle CAB+\angle B+\angle ACB)=\\ =\angle D+\angle B +(\angle DAC+\angle CAB)+(\angle ACD+\angle ACB)=\angle D+\angle B+\angle A+\angle C \end{multline*}\]
Теорема Вариньона
Выпуклый четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом.
Доказательство*
С доказательством данной теоремы рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Средняя линия треугольника”.
Проведем диагонали четырехугольника \(ABCD\). Рассмотрим \(\triangle ABC\): \(MN\) – средняя линия этого треугольника, следовательно, \(MN\parallel AC\).
Рассмотрим \(\triangle ADC\): \(PK\) – средняя линия этого треугольника, следовательно, \(PK\parallel AC\).
Таким образом, \(MN\parallel AC\parallel PK\).
Аналогичным образом доказывается, что \(MP\parallel BD\parallel NK\).
Следовательно, по определению \(MNKP\) – параллелограмм.
Теорема
Если в четырехугольнике \(ABCD\) диагонали взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон равны: \[AB^2+CD^2=BC^2+AD^2\]
Доказательство
По теореме Пифагора:
\[\begin{aligned} &AB^2=x^2+a^2\\ &CD^2=b^2+y^2\\ &BC^2=x^2+b^2\\ &AD^2=a^2+y^2 \end{aligned}\]
Из равенств видно, что \(AB^2+CD^2=x^2+a^2+y^2+b^2=BC^2+AD^2\)
Замечание
Все известные четырехугольники, изучаемые в школьной программе, подчиняются следующей схеме:
Таким образом, любой четырехугольник из этой схемы обладает свойствами всех предыдущих четырехугольников, из которых он следует.
Например, прямоугольник обладает свойствами параллелограмма и произвольного выпуклого четырехугольника; квадрат обладает свойствами прямоугольника, параллелограмма, выпуклого четырехугольника.
© 2024 Все права защищены | Карта сайта
Политика конфиденциальности
Пользовательское соглашение