Математика
Русский язык

Модуль. Корни

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Факт 1.
\(\bullet\) Модуль вещественного числа \(a\) – это неотрицательное число \(|a|\), равное расстоянию от точки \(a\) до \(0\) на вещественной прямой:


 

Факт 2.
\(\bullet\) Если \(a\) – неотрицательное число, то \(|a|=a\).
Пример: \(|5|=5\); \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\).   \(\bullet\) Если \(a\) – отрицательное число, то \(|a|=-a\).
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\); \(\qquad |1-\sqrt2|=-(1-\sqrt2)=\sqrt2-1\).  

Факт 3.
\(\bullet\) Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\] \[{\large{(\sqrt{a})^2=a}}, \text{ при условии } a\geqslant 0\] Пример: 1) \(\sqrt{(1-\sqrt2)^2}=|1-\sqrt2|=\sqrt2-1\), т.к. \(\sqrt2>1\);

 

\(\phantom{00000}\) 2) \((\sqrt{2-\sqrt2})^2=2-\sqrt2\).   \(\bullet\) Данные формулы – частный случай формул (\(2n\) – четное число): \[\sqrt[2n]{a^{2n}}=|a|\] \[(\sqrt[2n]{a})^{2n}=a, a\geqslant 0\]
\(\bullet\) Под корнем нечетной степени может находиться любое число, следовательно (\(2n+1\) – нечетное число): \[\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}}=\left(\sqrt[2n+1]{a}\right)^{2n+1}=a\] Пример: \(\sqrt[13]{(-5)^{13}}=\left(\sqrt[13]{-5}\right)^{13}=-5\).