Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

Простейшие иррациональные уравнения. Примеры

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Факт 1.
\(\bullet\) Иррациональное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) под знаком корня любой степени.
\(\bullet\) Простейшее иррациональное уравнение (второй степени): ОДЗ данного уравнения – это \(f(x)\geqslant 0\) (так как под квадратным корнем не может стоять отрицательное выражение).
Вспомним, что квадратный корень из числа не может быть равен отрицательному числу. Следовательно, если \(g(x)<0\), то уравнение не будет иметь решений.
Таким образом, только при условии \(g(x)\geqslant 0\) уравнение может иметь решения.
Значит: \[\sqrt{f(x)}=g(x) \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g^2(x)\\ g(x)\geqslant 0\quad \text{— условие, при котором уравнение может иметь решения}\\ f(x)\geqslant 0\quad \text{— ОДЗ} \end{cases}\] Замечание*: условие \(f(x)\geqslant 0\) на самом деле автоматически выполняется в данной системе (потому что \(f=g^2\), а квадрат любого выражения всегда \(\geqslant 0\), следовательно, и \(f\geqslant 0\)), поэтому его можно отбросить. Данным замечанием пользоваться не обязательно, тем более, если вы не чувствуете уверенности в том, что не допустите ошибок (то есть не перепутаете \(g\) с \(f\)).   Пример: решить уравнение \(\sqrt{x+3,25}=-1,5x\).
Решение.
Не используя замечание*, ОДЗ нашего уравнения: \(x+3,25\geqslant 0\), условие, при котором уравнение может иметь решения: \(-1,5x\geqslant 0\).
Зафиксировав эти условия, можно возвести обе части уравнения в квадрат, тогда мы получим: \[x+3,25=(-1,5x)^2\quad\Leftrightarrow\quad x+3,25=2,25x^2\quad \Leftrightarrow\quad 2,25x^2-x-3,25=0\] Для того, чтобы “не мучиться” с десятичными дробями, предлагаем перевести их в рациональные (тогда все вычисления станут проще). Так как \(0,25=\frac14\), то \(2,25=2+\frac14=\frac94\). Аналогично \(3,25=\frac{13}4\). Тогда получаем уравнение: \[\dfrac94x^2-x-\dfrac{13}4=0 \ \Big|\cdot 4\quad\Leftrightarrow\quad 9x^2-4x-13=0\] Дискриминант \(D=4^2+4\cdot 9\cdot 13=484=22^2\). Следовательно, корни \[\begin{aligned} &x_1=\dfrac{4+22}{2\cdot 9}=\dfrac{13}9\\[2ex] &x_2=\dfrac{4-22}{2\cdot 9}=-1\end{aligned}\] Проверкой убеждаемся, что корень \(x=\frac{13}9\) не подходит в неравенство \(-1,5x\geqslant 0\), следовательно, не является корнем нашего уравнения. А вот корень \(x=-1\) подходит под оба неравенства. Следовательно, ответ: \(x=-1\).   \(\bullet\) Простейшее иррациональное уравнение (третьей степени): Данное уравнение имеет решения при любых значениях \(f(x)\) и \(g(x)\). Таким образом, на ОДЗ данного уравнения нет никаких ограничений, то есть ОДЗ – это \(x\in\mathbb{R}\).
Таким образом, \[\sqrt[3]{f(x)}=g(x)\quad\Leftrightarrow\quad f(x)=g^3(x)\] Пример: решить уравнение \(\sqrt[3]{x^2+3}=2\).
Решение.
Решим уравнение: \[x^2+3=2^3\quad\Leftrightarrow\quad x^2=8-3=5\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm \sqrt5\] Таким образом, данное уравнение имеет два решения \(x=-\sqrt5\) и \(x=\sqrt5\).  

Факт 2.
На самом деле, схема решения простейших иррациональных уравнений четных степеней такая же, как и для уравнений второй степени, а для уравнений нечетных степеней – такая же, как и для уравнений третьей степени.
Например, уравнение \(\sqrt[4]{x^4+x}=x\) решается так: \[\sqrt[4]{x^4+x}=x \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x^4+x=x^4\\ x\geqslant 0\\ x^4+x\geqslant0 \quad \text{(необязательное неравенство)} \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x=0\\ x\geqslant 0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Уравнение \(\sqrt[7]{x^3+3}=2\) решается так: \[\sqrt[7]{x^3+3}=2\quad\Leftrightarrow\quad x^3+3=2^7\quad \Leftrightarrow\quad x^3=128-3=125\quad\Leftrightarrow\quad x=5\]