Математика
Русский язык

Иррациональные уравнения. Примеры

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Иррациональные уравнения – это уравнения вида

\[\sqrt[n]{R_1(x)} = R_2(x), \label{Eq}\]

где \(R_1(x)\) и \(R_2(x)\) – функции, \(n\in\mathbb{N}\), и уравнения, к нему сводящиеся.

 

Теорема

Иррациональное уравнение при чётных \(n\) равносильно системе

\[\begin{cases} R_1(x) = R^n_2(x)\\ R_2(x) \geq 0. \label{Sys} \end{cases}\]

Иррациональное уравнение при нечётных \(n\) равносильно уравнению

\[R_1(x) = R^n_2(x).\]

Доказательство

Пусть \(n\) чётное. Пусть \(x_0\) – корень уравнения \(\sqrt[n]{R_1(x)} = R_2(x)\), тогда \(R_2(x_0) = \sqrt[n]{R_1(x_0)} \geq 0\).

В силу того, что любое число можно возвести в степень \(n\in\mathbb{N}\), получаем:

\[\begin{aligned} \sqrt[n]{R_1(x_0)} = R_2(x_0)\qquad\Rightarrow\qquad R_1(x_0) = R_2^n(x_0) \end{aligned}\]

Таким образом, \(R_1(x_0) = R^n_2(x_0)\) и \(R_2(x_0) \geq 0\), то есть \(x_0\) является также и решением системы

\[\begin{cases} R_1(x) = R^n_2(x)\\ R_2(x) \geq 0. \end{cases}\]

Обратно, пусть \(x_0\) – решение системы

\[\begin{cases} R_1(x) = R^n_2(x)\\ R_2(x) \geq 0, \end{cases}\]

тогда \(R_1(x_0) = R^n_2(x_0)\) и \(R_2(x_0) \geq 0\). Так как \(R_2(x_0) \geq 0\), то \(R^n_2(x_0)\geq 0\), тогда \(R_1(x_0) = R^n_2(x_0)\geq 0\), то есть число \(R_1(x_0)\) неотрицательно (как и равное ему \(R^n_2(x_0)\)), следовательно, из него можно извлечь корень степени \(n\in\mathbb{N}\):

\[\begin{aligned} R_1(x_0) = R_2^n(x_0)\qquad\Rightarrow\qquad \sqrt[n]{R_1(x_0)} = R_2(x_0), \end{aligned}\]

то есть \(x_0\) является также и решением уравнения \(\sqrt[n]{R_1(x)} = R_2(x)\).

В итоге, всякое решение уравнения  является решением системы  и наоборот, следовательно, они равносильны.

Случай нечётного \(n\) рассматривается аналогично.