Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

Некоторые известные типы рациональных уравнений *

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Готовиться с нами - ЛЕГКО!


Эффективное решение существует!

Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.

Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить, выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.

После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся виды рациональных уравнений.

 

 

\(\color{red}{I.}\) Уравнения вида \(x+\dfrac1x=a\), где \(a\) – число.

 

Способ решения данных уравнений — это перенос всех слагаемых в одну сторону и приведение к общему знаменателю:

\[x+\dfrac 1x-a=0 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{x^2-ax+1}x=0 \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x^2-ax+1=0\\ x\ne 0 \end{cases}\]

Заметим, что первое уравнение системы никогда не будет иметь решением \(x=0\) (т.к. тогда мы имеем \(1=0\), что неверно), значит, в уравнениях такого вида автоматически выполняется условие \(x\ne 0\).

 

Утверждение

 

Выражение \(x+\dfrac 1x\) при всех \(x>0\) больше или равно \(2\), а при всех \(x<0\) — меньше или равно \(-2\).
Иными словами, при всех \(x\ne 0\)

\[\left|x+\dfrac1x\right|\geqslant 2\]

Доказательство

 

1) Пусть \(x>0\). Докажем, что \(x+\dfrac 1x\geqslant 2\). Рассмотрим выражение \(x+\dfrac1x-2\):

\[x+\dfrac 1x-2=\dfrac{x^2-2x+1}x=\dfrac{(x-1)^2}x\]

Так как \(x>0\) и любое выражение в квадрате неотрицательно, то есть \((x-1)^2\geqslant 0\), то вся полученная дробь \(\geqslant 0\).
Следовательно, \(\dfrac{(x-1)^2}x\geqslant 0\), откуда \(x+\dfrac 1x\geqslant 2\).  

2) Пусть \(x<0\). Докажем, что \(x+\dfrac 1x\leqslant -2\). Поступим аналогичным образом:

\[x+\dfrac 1x+2=\dfrac{x^2+2x+1}x=\dfrac{(x+1)^2}x\]

Так как \(x<0\) и любое выражение в квадрате неотрицательно, то есть \((x+1)^2\geqslant 0\), то вся полученная дробь \(\leqslant 0\).
Следовательно, \(\dfrac{(x+1)^2}x\leqslant 0\), откуда \(x+\dfrac 1x\leqslant -2\).  

Замечание

 

1) \(x+\dfrac1x=2\) тогда и только тогда, когда \(x=1\);

 

2) \(x+\dfrac 1x=-2\) тогда и только тогда, когда \(x=-1\).

 

Следствие

 

Таким образом, уравнение I имеет решения тогда и только тогда, когда \(|a|\geqslant 2\).

 

Замечание

 

Уравнения вида \(f(x)+\dfrac 1{f(x)}=a\).

 

Данные уравнения с помощью замены \(f(x)=t\) сводятся к уравнению I: \(t+\dfrac 1t=a\).

 

\(\color{red}{II.}\) Уравнения вида \(Ax^4+Bx^3+Cx^2+Bx+A=0, \ A\ne 0\).

 

Заметим, что в данном уравнении \(x=0\) никогда не является решением, т.к. иначе мы получим \(A=0\), что исключено условием.
Значит, мы имеем право разделить левую и правую части уравнения на \(x^2\ne 0\):

\[\begin{aligned} Ax^4+Bx^3+Cx^2+Bx+A=0 \quad \Leftrightarrow \quad Ax^2+Bx+C+\dfrac Bx+\dfrac A{x^2}=0 \quad \Leftrightarrow \\[2ex] &\Leftrightarrow A\left(x^2+\dfrac 1{x^2}\right)+B\left(x+\dfrac 1x\right) +C=0 \end{aligned}\]

Заметим, что \(\left(x+\dfrac 1x\right)^2=x^2+2\cdot x\cdot \dfrac 1x+\dfrac 1{x^2}=x^2+\dfrac 1{x^2}+2\), следовательно \(x^2+\dfrac 1{x^2}=\left(x+\dfrac 1x\right)^2-2\).

 

Сделаем замену \(x+\dfrac 1x=t\), причем \(|t|\geqslant 2\). Тогда уравнение примет вид:

\[A(t^2-2)+Bt+C=0\]

Таким образом, мы получили квадратное уравнение относительно переменной \(t\), решив которое, найдем \(t\) и сделаем обратную замену, после чего найдем \(x\).

 

Пример

 

Решить уравнение \(6x^4-13x^3+12x^2-13x+6=0\).

 

Разделим на \(x^2\) и перегруппируем слагаемые:

\[6\left(x^2+\dfrac 1{x^2}\right) -13\left(x+\dfrac 1x\right)+12=0\]

Пусть \(x+\dfrac 1x=t \quad \Rightarrow \quad x^2+\dfrac 1{x^2}=t^2-2 \quad \Rightarrow \)

\[6(t^2-2)-13t+12=0 \quad \Rightarrow \quad t_1=0, \ t_2=\dfrac{13}6\]

Т.к. \(|t|\geqslant 2\), то корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену:

 

\(x+\dfrac 1x=\dfrac{13}6 \quad \Rightarrow x_1=\dfrac 32, \ x_2=\dfrac 23\).

 

Замечание

 

Если уравнение I имеет два различных корня, то они всегда будут взаимно обратными числами. То есть \(\frac 32\) и \(\frac 23\), \(\frac 12\) и \(2\) и т.д.
(напомним, что числа называются взаимно обратными, если их произведение равно \(1\)).

 

Следующее уравнение также можно отнести к возвратным уравнениям, потому что способ его решения аналогичен предыдущему примеру.

 

Пример

 

Решить уравнение \(2x^4-15x^3+40x^2-45x+18=0\).

 

Заметим, что в данном уравнении \(x=0\) не является корнем. Поэтому разделим правую и левую части уравнения на \(x^2\):

\[2x^2-15x+40-\dfrac {45}x+\dfrac {18}{x^2}=0 \quad \Leftrightarrow \quad 2\left(x^2+\dfrac 9{x^2}\right)-15\left(x+\dfrac 3x\right)+40=0\]

Сделаем замену \(x+\dfrac 3x=t\), тогда \(\left(x+\dfrac 3x\right)^2=x^2+6+\dfrac 9{x^2}\), значит, \(x^2+\dfrac 9{x^2}=t^2-6\).

 

\[2(t^2-6) -15t+40=0 \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &t=4\\ &t=\dfrac72 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x+\dfrac3x=4\\[4pt] &x+\dfrac3x=\dfrac72 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x^2-4x+3=0\\ &2x^2-7x+6=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=3\\ &x=1\\&x=2\\ &x=\frac32 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Значит, ответ \(x\in \Big\{1;\dfrac32;2;3\Big\}\).

 

Замечание

 

Уравнение из предыдущего примера можно отнести к типу уравнений, которые в общем виде записываются так:

\[Ax^4+Bx^3+Cx^2+kBx+k^2A=0\]

Пример

 

Решить уравнение \(40x^4-78x^3-53x^2+78x+40=0\).

 

Заметим, что \(x=0\) не является корнем данного уравнения, значит, разделим уравнение на \(x^2\):

\[40x^2-78x-53+\dfrac{78}x+\dfrac{40}{x^2}=0 \quad \Leftrightarrow \quad 40\left(x^2+\dfrac1{x^2}\right)-78\left(x-\dfrac1x\right)-53=0\]

Сделаем замену: \(x-\dfrac 1x=t\); тогда \(\left(x-\dfrac1x\right)^2=x^2-2+\dfrac 1{x^2}\), следовательно, \(x^2+\dfrac1{x^2}=t^2+2\):

\[40(t^2+2)-78t-53=0 \quad \Leftrightarrow \quad 40t^2-78t+27=0 \quad \Rightarrow \quad t_1=\dfrac32, \ t_2=\dfrac9{20}\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x-\dfrac1x=\dfrac32\\[4pt] &x-\dfrac1x=\dfrac9{20} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &2x^2-3x-2=0\\ &20x^2-9x-20=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=2\\[4pt] &x=-\dfrac12\\[4pt] &x=\dfrac54\\[4pt] &x=-\dfrac45 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Значит, ответ: \(x\in \Big\{-\dfrac45; -\dfrac12; \dfrac54; 2\Big\}\).  

 

\(\color{red}{III.}\) Уравнения вида \(a\cdot f^2(x)+b\cdot f(x)\cdot g(x)+c\cdot g^2(x)=0\).

 

1) Проверим, являются ли корни уравнения \(g(x)=0\) решением исходного уравнения. Если да – то запишем их в конечный ответ, а далее будем предполагать, что \(g(x)\ne 0\) ни при каких \(x\).

 

2) Теперь, когда \(g(x)\ne 0\), разделим правую и левую части уравнения на \(g^2(x)\):

\[a\cdot \dfrac{f^2(x)}{g^2(x)}+b\cdot \dfrac{f(x)g(x)}{g^2(x)}+c\cdot \dfrac{g^2(x)}{g^2(x)}=0 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)^2+b\cdot \dfrac{f(x)}{g(x)}+c=0\]

 

С помощью замены \(\dfrac{f(x)}{g(x)}=t\) данное уравнение сводится к квадратному:

\[at^2+bt+c=0,\]

решив которое, можно найти \(t\), сделать обратную замену и найти \(x\).

 

3) В дополнение к ответу из второго пункта не забываем записать ответ (если таковой имелся) из первого пункта.

 

Пример

 

Решить уравнение \(6(x^2-16)^2+5(x^2-16)(x^2-7x+12)+(x^2-7x+12)^2=0\).

 

1) Будем делить правую и левую части на \((x^2-7x+12)^2\). Поэтому предварительно проверим, может ли \(x^2-7x+12=0\), то есть являются ли корни этого уравнения корнями исходного уравнения.

\[x^2-7x+12=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1=4, \ x_2=3\]

Подставим в исходное уравнение \(x_1\): \(6(16-16)^2+5(16-16)\cdot 0+0^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\).

 

Значит, \(x_1=4\) является решением исходного уравнения.

 

Аналогично проверим \(x_2\): \(6(9-16)^2+5(9-16)\cdot 0+0^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad 294=0\).

 

Значит, \(x_2=3\) не является решением исходного уравнения.

 

Далее предполагаем, что \(x^2-7x+12\ne 0\).

 

2) После деления уравнения на \((x^2-7x+12)^2\) получим следующее уравнение:

\[6\cdot \left(\dfrac{x^2-16}{x^2-7x+12}\right)^2+5\cdot \dfrac{x^2-16}{x^2-7x+12}+1=0\]

Сделаем замену: \(\dfrac{x^2-16}{x^2-7x+12}=t\), тогда:

\[6t^2+5t+1=0 \quad \Rightarrow \quad t_1=-\dfrac12, \ t_2=-\dfrac 13\]

Сделаем обратную замену:  

\(\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{x^2-16}{x^2-7x+12}=-\dfrac12\\[4pt] &\dfrac{x^2-16}{x^2-7x+12}=-\dfrac13 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{3x^2-7x-20}{x^2-7x+12}=0\\[4pt] &\dfrac{4x^2-7x-36}{x^2-7x+12}=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \)  

\(\Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &3x^2-7x-20=0\\ &4x^2-7x-36=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ x^2-7x+12\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=4\\[3pt] &x=-\dfrac53\\[3pt] &x=4\\[3pt] &x=-\dfrac94 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ x\ne 4\\ x\ne 3 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=-\dfrac53\\[3pt] &x=-\dfrac94 \end{aligned} \end{gathered} \right. \)

 

3) Таким образом, ответ: \(x\in \Big\{-\dfrac94; -\dfrac53; 4\Big\}\).  

 

\(\color{red}{IV.}\) Уравнения вида \((x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=f(x)\).

 

Для данных уравнений нет конкретного способа решения. Как правило, для того, чтобы решить подобное уравнение, нужно разбить четыре скобки в левой части на две пары так, чтобы после перемножения скобок в каждой паре получилась “удобная” замена. Поэтому рассмотрим несколько примеров.

 

Пример

 

Решить уравнение \((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24\).

 

Сгруппируем скобки так:

\[(x+1)(x+4)\cdot (x+2)(x+3)=24 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2+5x+4)\cdot (x^2+5x+6)=24\]

Сделаем замену \(x^2+5x+4=t\). Тогда уравнение примет вид:

\[t\cdot (t+2)=24 \quad \Leftrightarrow \quad t^2+2t-24=0 \quad \Rightarrow t_1=-6, \ t_2=4\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x^2+5x+4=-6\\ &x^2+5x+4=4 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x^2+5x+10=0\\ &x^2+5x=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=0\\ &x=-5 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Таким образом, \(x\in \{-5;0\}\).

 

Замечание

 

Если бы мы просто раскрыли все скобки, то получили бы уравнение четвертой степени, для которого нет универсального способа решения.

 

Пример

 

Решить уравнение \((x-1)(x-2)(x-4)(x-8)=4x^2\).

 

Сгруппируем скобки так:

\[(x-2)(x-4)\cdot (x-1)(x-8)=4x^2 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2-6x+8)\cdot (x^2-9x+8)=4x^2\]

Заметим, что в данном уравнении \(x=0\) не является решением, следовательно, можно разделить правую и левую части уравнения на \(x^2\):

\[\dfrac{x^2-6x+8}x\cdot \dfrac{x^2-9x+8}x=\dfrac{4x^2}{x^2} \quad \Leftrightarrow \quad \left(x-6+\dfrac8x\right)\cdot \left(x-9+\dfrac8x\right)=4\]

Теперь можно сделать замену \(x+\dfrac8x=t\):

\[(t-6)(t-9)=4 \quad \Leftrightarrow \quad t^2-15t+50=0 \quad \Rightarrow t_1=5, \ t_2=10\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x+\dfrac8x=5\\[4pt] &x+\dfrac8x=10 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x^2-5x+8=0\\ &x^2-10x+8=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=5-\sqrt{17}\\ &x=5+\sqrt{17} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Таким образом, ответ \(x\in\{5-\sqrt{17};5+\sqrt{17}\}\).  

\(\color{red}{V.}\) Уравнения вида \((x+a)^n +(x+b)^n=f(x)\).

 

Как правило, в данных уравнениях \(n\) не превышает \(5\). Поэтому нам понадобятся следующие формулы сокращенного умножения:

\[\begin{aligned} & (x+a)^3=x^3+3x^2a+3xa^2+a^3\\ & (x+a)^4=x^4+4x^3a+6x^2a^2+4xa^3+a^4\\ & (x+a)^5=x^5+5x^4a+10x^3a^2+10x^2a^3+5xa^4+a^5 \end{aligned}\]

В данных задачах необходимо сделать замену \(x+\dfrac{a+b}2=t\). Тогда \(x+a=t+\dfrac{a-b}2, \quad x+b=t-\dfrac{a-b}2\) и уравнение примет вид:

\[\left(t+\dfrac{a-b}2\right)^n+\left(t-\dfrac{a-b}2\right)^n=f(x)\]

После возведения в степень по формулам, приведенным выше, часть слагаемых взаимно уничтожится. Рассмотрим на примере.

 

Пример

 

Решить уравнение \((x+3)^4+(x+5)^4=16\).

 

Сделаем замену \(t=x+\dfrac{3+5}2=x+4\). Тогда \(x+3=t-1, \ x+5=t+1\):

 

\(\begin{aligned} &(t-1)^4+(t+1)^4=16 \quad \Leftrightarrow \quad (t^4-4t^3+6t^2-4t+1)+ (t^4+4t^3+6t^2+4t+1)=16 \quad \Leftrightarrow \\[1ex] &\Leftrightarrow \quad 2(t^4+6t^2+1)=16 \quad \Leftrightarrow \quad t^4+6t^2-7=0 \end{aligned}\)

 

Данное уравнение является биквадратным и с помощью замены \(t^2=z, z\geqslant 0\) сводится к квадратному: \[z^2+6z-7=0 \quad \Rightarrow \quad z_1=-7, \ z_2=1\]

Заметим, что корень \(z_1\) не подходит. Вернемся к переменной \(t\):

\[t^2=1 \quad \Rightarrow \quad t_1=1, \ t_2=-1\]

Вернемся к переменной \(x\):

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x+4=1\\ &x+4=-1 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=-3\\ &x=-5 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Таким образом, ответ \(x\in \{-5;-3\}\).

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

  1. Потому что это расширяет кругозор. Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
  2. Потому что это развивает интеллект. Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.